雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word 版本可編輯,有幫助歡迎下載支持.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)富源縣第一中學(xué) 李耀明一、教材分析1. 教材中的地位及作用本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容， 也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，是深入研究雙曲線，靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì) 解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的 解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。2. 教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。 教學(xué)參考書中明確要求：學(xué)生

2、要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程， 研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí) 現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。（1） 知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 a, b, c 的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明；能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。（2） 能力目標(biāo)：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)

3、系中曲線與方程的概念的理解。（3） 德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的，1 文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.變化的觀點(diǎn)分析理解事物。3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中， 學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn)，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的

4、實(shí)際水平和認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。4. 教學(xué)方法這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸 近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一

5、定的困難。因此，在教學(xué)過程中著 重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑， 激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形） 特征，培養(yǎng)思維的深刻性。例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。二、教學(xué)程序（一）.設(shè)計(jì)思路復(fù)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)1 文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.類比雙曲線的幾何性質(zhì)特有的幾何性質(zhì)（從特殊到一般的規(guī)律探索） 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明加強(qiáng)應(yīng)用深化知識(shí)、鞏固提高（二）.教學(xué)流程1.復(fù)

6、習(xí)引入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，請同學(xué)們來回顧這些知識(shí)點(diǎn)，對學(xué)習(xí)的舊知識(shí)加以復(fù)習(xí)鞏固，同時(shí)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先進(jìn)性，結(jié)合圖像來演示。 2觀察、類比這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一 般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率，對知識(shí)的理解不能浮于表面只會(huì)看圖，也要會(huì)從方程的角度來解釋，抓 住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加

7、強(qiáng)學(xué)生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點(diǎn)（實(shí)軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，借助于類 比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。3. 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明（1） 發(fā)現(xiàn)由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線x 2 - y 2 = 1 的圖形為引例，讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐，通過列表描點(diǎn)，就能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處1 文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線

8、的圖形只有那四個(gè)性質(zhì)是不行的。從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)y = 1 的圖像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x、y 軸無限接近，x此時(shí) x、y 軸是 y =1 的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生x猜想雙曲線 x 2 - y 2 = 1 有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 x 2 - y 2 = 1 ，可解出 y 2 = x 2 - 1 ， y = x 2 -1 ，當(dāng) x 無限增大時(shí)，y 也隨之增大 ， 不 容 易 發(fā) 現(xiàn) 它 們 之 間

9、 的 微 妙 關(guān) 系 。 但 是 如 果 將 式 子 變 形 為x 2 -1x 2y =x，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x 無限增大， 11 - 1x 2x 2逐漸減小、無限接近于 0，而 yx就逐漸增大、無限接近于 1( yx< 1)；若將 yx變形為y - 0 ，即說明此時(shí)x - 0雙曲線在第一象限，當(dāng) x 無限增大時(shí)，其上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比 1 小，但與斜率為 1 的直線無限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 y = x 的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線 x 2 - y 2 = 1 的圖形在遠(yuǎn)處與直線 y = ± x 無限接近，此時(shí)我們就

10、稱直線 y = ± x 叫做雙曲線 x 2 - y 2 = 1的漸近線。這樣從已有知識(shí)出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線 x 2 - y 2a 2b 2= 1(a>0，b>0)的 漸 近 線 ， 讓 學(xué) 生 同 樣 利 用 類 比 的 方 法 ， 將 其 變 形 為y 2 =b 2x 2 - 1 ，a 2y 2 =2b(x 2a 2- a 2 ) ，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化ba1 - a 2x 2bya 2趨勢，繼

11、續(xù)變形為 y =x 2- a 2 ，=，可發(fā)現(xiàn)當(dāng) x 無限增大時(shí)，逐axx 2yb漸減小、無限接近于0，逐漸增大、無限接近于，即說明對于雙曲線在第一象xa限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比 b 小，與斜率為 b 的直線無限接近，且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 y = ± baaax 下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線 x 2 - y 2a 2b 2= 1(a>0，b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線 y = ± b x 無a限接近，直線 y = ± b x 叫做雙曲線 x 2 - y 2= 1(a>0，b>0)的漸近線。我就

12、是這樣將aa 2b 2漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲 透于其中，學(xué)生也易接受。（2） 證明如何證明直線 y = ± b x 是雙曲線 x 2 - y 2= 1(a>0，b>0)的漸近線呢？aa 2b 2啟發(fā)思考：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（x,d 0）啟發(fā)思考：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明？ 啟發(fā)思考：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用 x 表示 d（工具是什么：點(diǎn)到直線的距離公式）啟發(fā)思考：讓學(xué)生設(shè)點(diǎn)，而 d 的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問題進(jìn)

13、行轉(zhuǎn)化？分析：要證明直線 y = ± bax 是雙曲線x2 - y2 a2b2= 1 (a>0，b>0)的漸近線，即要證明隨著 x 的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離MQ越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算MQ。但因MQ不好直接求得，因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求MN。x 2 - a 2 b (x -a) =abx +x 2 - a 2（| MQ | ¾¾ ® 0 ）x®¥啟發(fā)思考：這樣證明后，還須交代什么？（在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況）引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線的

14、漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。（3） 深化再來研究實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線y 2 -a 2x 2 = 1 (a>0，b>0)的漸近線方程就會(huì)變得b 2容易很多，此時(shí)可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的漸近線方程即為 y = ± a x 。b這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線過實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平行與坐標(biāo)軸的直線 x = ±a, y = ±b 所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結(jié)合，來加強(qiáng)對雙曲線的漸近線的理解。4. 離心率的幾何意義橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度

15、，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到：e = c , c > a, e > 1 ，這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的a簡單結(jié)論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對漸近線的理解。c 2 - a 2c 2a 2-1e2 -1b由等式 c 2- a 2= b 2 ，可得：=aa=，不難發(fā)現(xiàn)： e），就越接近于越大，就越大，雙曲越?。ㄔ浇咏?1b0，雙曲線開口越?。籩baa線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。5. 例題分析為突出本節(jié)內(nèi)容，使

16、學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這樣的例題： 例 1.求雙曲線 9x216y2=144 的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個(gè)雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強(qiáng)對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。變 1：求雙曲線 9y216x2=144 的實(shí)半軸長和虛半軸長、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程， 后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量；但求漸近線時(shí)可直接求出，也可以利用對稱性來求解。關(guān)鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變？試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。（小結(jié)列表）變 2：已知雙曲線的漸近線方程是y = ± 4 x ，且經(jīng)過點(diǎn)( 15 ,3),求雙曲線的標(biāo)34準(zhǔn)方程。選題目的：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法 1：分焦點(diǎn)在x 軸，焦點(diǎn)在y 軸分別求解；方法 2：確定點(diǎn)所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求 a、b。深化知識(shí)，加強(qiáng)應(yīng)用，使知識(shí)系統(tǒng)化。例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練