第六章 彎曲應力(習題解答)

1、6-3、圖示矩形截面梁受集中力作用，試計算1-1橫截面上a、b、c、d四點的正應力。解：（1）外力分析，判變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析，彎矩圖如圖（b）所示，1-1橫截面的彎矩為：（3）應力分析，梁上邊有彎矩圖，上側纖維受拉。1-1橫截面上的a點處于拉伸區(qū)，正應力為正；c點處于中性層上，正應力為零；b、d兩點處于壓縮區(qū)，正應力為負。題6-3圖 題6-5圖6-5、兩根矩形截面簡支木梁受均布荷載q作用，如圖所示。梁的橫截面有兩種情況，一是如圖(b)所示是整體，另一種情況如圖(c)所示是由兩根方木疊合而成（二方木間不加

2、任何聯(lián)系且不考慮摩擦）。若已知第一種情況整體時梁的最大正應力為10MPa，試計算第二種情況時梁中的最大正應力，并分別畫出危險截面上正應力沿高度的分布規(guī)律圖示。解：（1）外力分析，判變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。第一種情況中性層為過軸線的水平縱向面，中性軸z軸過整體形心C與載荷垂直，沿水平方向。而第二種情況，兩根木梁以各自的水平縱向面為中性層發(fā)生彎曲，兩根中性軸為與荷載垂直的水平形心主軸。如圖所示。（2）內力分析，判危險面：彎矩圖如圖（b）所示，跨中截面為危險面。（3）應力分析，判危險點：對于第一種情況，橫截面為一個整體，跨中截面的上下邊緣點正應力強度的危險點。而第二種情

3、況，上下兩塊有各自的中性軸，因此，兩根梁跨中的上下邊緣均為正應力強度的危險點。第一種情況：第二種情況：6-6、試計算圖示矩形截面簡支梁的1-1截面上a、b、c三點的剪應力。解：（1）外力分析，判變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析，剪力圖如圖（b）所示，1-1橫截面的剪力為：（3）應力分析， 1-1橫截面上的a點既有正應力，也有剪應力；c點處于中性層上，剪應力最大；b為邊緣點，剪應力為零。題6-6圖 題6-7圖6-7、圖示外伸梁，截面為工字鋼28a。試求橫截面上的最大剪應力。解：（1）外力分析，判變形。荷載在縱向對稱面內

4、，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析，判危險面。剪力圖如圖（b）所示，危險面在AC段。（3）應力分析， AC段中性層上各點剪應力最大。查表工字鋼NO.28at得：6-8、圖a、b所示矩形截面梁受均布荷載作用，若圖中虛線所示縱向面和橫向面從梁中截出一部分，如圖c所示。試求在縱向面abcd上內力素組成的合力，并說明它與什么力相平衡。題6-8圖解：（1）外力分析，判變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析。剪力圖如圖（b）所示。（3）應力分析。 Abcd縱向面為中性層的一部分，欲求

5、其上內力，必先求出橫截面的cd線的各點剪應力，再由剪應力雙生定理求出縱向面的cd線各點的剪應力，然后再積分求縱向面上剪應力的組成的合力V。取如圖微面積bdx，微面積上的剪力為，積分求V6-9 外伸梁ACD的荷載、截面形狀和尺寸如圖所示，試繪制出梁的剪力圖和彎矩圖，并計算梁內橫截面上的最大正應力和最大剪應力。題6-9圖解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生彎曲變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。求截面慣性矩：（2）內力分析，判危險面。彎矩圖、剪力圖如圖(b)所示。 ，因為，截面不關于中性軸對稱，具有最大正負彎矩的截面都是正應力強度的

6、危險面，即B、C兩截面均為正是正應力強度的危險面。C的右截面是剪應力強度的危險面。（3）應力分析，求最大正應力和最大剪應力B截面具有最大正彎矩，上壓下拉；C截面具有最大負彎矩，上拉下壓，故C截面的上邊緣具有最大的拉應力；最大的壓應力可能出現(xiàn)在B截面的上邊緣或C截面的下邊緣。最大剪應力出現(xiàn)在C的右截面的中性軸上。故， ，。6-10 圖示矩形截面懸臂梁，其橫截面尺寸為b、h，梁長為l。（1）試證明在離自由端x遠的橫截面上，切向內力元素dA的合力等于橫截面上的剪力，而法向內力元素dA的合力偶之矩等于該截面的彎矩。（2）如果沿梁的中性層切出梁的下半部分，問在中性層上的剪應力 沿梁長度的變化規(guī)律如何？該

7、中性層上總剪力V 的水平力有多大？與什么力平衡。解：（1）在離自由端x遠的橫截面上，距中性軸y遠的點的應力 ， 故，（2）求距離自由端x遠的橫截面上中性軸上點的剪應力x。根據(jù)剪應力互等定律知中性層上距離自由端x遠的點故，該中性層上總剪力V 的水平力：該剪力與A截面的下半部分法向內力元素dA的合力平衡。（軸力）6-12、鑄鐵梁的荷載及橫截面尺寸旭圖所示。材料的容許拉應力，容許壓應力。試校核梁的正應力強度。已知橫截面形心距截面下邊緣157.5mm。題6-12圖解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生彎曲變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向

8、。求截面慣性矩：求支反力（2）內力分析，判危險面。彎矩圖、剪力圖如圖(b)所示。 ，。 （3）應力分析，判危險點：B截面具有最大負彎矩，上拉下壓，上下邊緣點都是正應力強度的危險點。E截面具有最大正彎矩，上壓下拉，下邊緣點是危險點。（4）正應力強度校核：由于拉壓強度不同，必須同時考慮B、E這兩個具有最大正負彎矩的截面。故，正應力強度足夠。6-13、圖示簡支梁，其橫截面尺寸如圖b所示，。若梁材料的容許拉應力，容許壓應力。試計算梁的容許均布荷載集度。題6-13圖解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生彎曲變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向

9、。求截面慣性矩：（2）內力分析，判危險面。彎矩圖如圖(b)所示，危險面是跨中橫截面。 （3）應力分析，判危險點：跨中橫截面具有最正負彎矩，上壓下拉，由于，故上下邊緣點都是正應力強度的危險點。（4）正應力強度校核： 故，梁的容許均布荷載集度6-14 圖示梁由兩根槽鋼組成。鋼的容許應力，試選擇梁的槽鋼型號。解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生彎曲變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心C與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析，判危險面。彎矩圖如圖(c) 、(d)所示，正應力強度的危險面是跨中橫截面，剪應力強度的危險面靠近支座。（3）應力分析，判危險點：由于截面關

10、于中性軸z對稱，故D危險面的上下邊緣點是正應力強度危險點, A的右截面、B的左截面的中性軸上各點為剪應力強度危險點。 （4）由正應力強度條件，選擇槽鋼型號 查表選擇NO.28b工字鋼的略大于所需的。（5）由剪應力強度條件，校核所選擇工字鋼型號查表得No.28b的：故：由兩根槽鋼組合梁的截面幾何性質： 故采用兩根No.28b槽鋼。6-15 某一跨度為l=8m的簡支梁，在跨度中央受集中力P=80作用。該梁如圖示由兩根36a工字鋼鉚接而成。鉚釘直徑d=20mm,鉚釘間距s=150mm。鉚釘?shù)娜菰S剪應力，鋼梁的容許正應力。（1）試校核鉚釘?shù)膹姸?。?）當P值及作用于梁跨中央的條件不變時，試確定簡支梁的

11、容許跨度l。解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生彎曲變形。荷載在縱向對稱面內，與軸線垂直，梁發(fā)生平面彎曲。中性軸z軸過形心載荷垂直，上下對稱水平方向。查表得No.36a的：兩根工字鋼組合梁的截面幾何性質： （2）內力分析，判危險面。彎矩圖如圖(c) 、(d)所示，正應力強度的危險面是跨中橫截面，梁各橫截面均為剪應力強度的危險面。（3）應力分析，判危險點：由于截面關于中性軸z對稱，故跨中截面的上下邊緣點是正應力強度危險點,梁中性層上各點為剪應力強度危險點。 （4）按剪應力強度條件校核鉚釘強度：1）求中性層上各點的剪應力2）求中性層上的剪力V中3）求每個鉚釘?shù)募魬α汗灿?由于鉚釘間距s相等

12、,切前后對稱布置, 每個鉚釘?shù)募袅ο嗟?，設每個的剪力在其橫截面內均勻分布，故每個鉚釘?shù)拿x剪應力為：（5）由正應力強度條件確定簡支梁的容許跨度l 故，簡支梁的容許跨度l =18m6-17 圖示起重機行走在由兩根工字鋼所組成的簡支梁上，起重機的重量及其起吊重量如圖示。設全部荷載平均分配在兩根工字鋼梁上，材料的容許應力。試求當起重機行至梁跨中央時，需要多大的工字鋼才能滿足強度要求。題6-17圖解：（1）外力分析研究小車，可求得工字鋼施與其約束反力，如圖所示。研究工字梁，由作用力和反作用力定律知鋼所受小車施與其的反作用力。荷載與梁軸垂直，梁將發(fā)生平面彎曲。中性軸z過形心與載荷垂直，沿水平方向。（2）

13、內力分析，判危險面，彎矩圖、剪力圖如圖所示，。正應力強度的危險面是D截面,剪應力強度的危險面是DB桿段各橫截面。（3）應力分析，判危險點。由于D截面關于中性軸z對稱，故D危險面的上下邊緣點是正應力強度危險點, DB桿段各橫截面的中性軸上各點為剪應力強度危險點。 （4）由正應力強度條件，選擇工字鋼型號。查表選擇NO.25b工字鋼的略大于所需的。（5）由剪應力強度條件，校核所選擇工字鋼型號。查表得No.25a的故采用兩根No.25b工字鋼。6-18圖示擋水墻由一排正方形截面的豎直木樁上釘木板所做成。木板的計算簡圖臺圖b,木樁的計算簡圖如圖c。木材的容許彎曲正應力，容許剪應力。設計正方形木樁的邊長和

14、所需木板的厚度d。題6-18圖解：（1）外力分析，判變形。荷載與板軸垂直，將發(fā)生平面彎曲。中性軸過形心與載荷垂直。（2）內力分析，判危險面，彎矩圖、剪力圖如圖所示。樁的正應力強度和剪應力強度的危險面是固定端：。板的正應力強度的危險面是跨中截面,剪應力強度的危險面在靠近木樁的兩端：（3）應力分析，判危險點。由于截面關于中性軸對稱，故危險面上離中性軸最遠的邊緣點是正應力強度危險點,剪力最大截面的中性軸各點是剪應力強度的危險點。 （4）由強度條件，設計木樁的邊長a，及板的厚度d.。故，木樁的邊長a，故，木板的厚度d，6-20 當荷載P直接作用在跨長為的簡支梁AB中截面時，梁內最大正應力超過的30%。

15、為了消除此過載現(xiàn)象。如圖所示配置輔助梁CD。試計算輔助梁所需的最小跨長a。解： （1）外力分析，荷載與軸線垂直，發(fā)生平面彎曲變形。（2）內力分析，判危險面。彎矩圖如圖(b) 、(b)所示，(b) 圖中正應力強度的危險面是跨中橫截面，(b) 圖中主梁正應力強度的危險面是CD段。（3）應力分析，判危險點：危險截面的上下邊緣點是正應力強度危險點。 （4）確定輔助梁梁的容許跨度a 6-26 在圖示20a工字鋼截面c-c的下邊緣處，用應變儀測得標距s=20mm的縱向伸長量為0.012mm。已知鋼的彈性模量E=210GPa。試求P的大小。解：（1）求截面c-c的下邊緣處的應變（2）求截面c-c的下邊緣處的

16、應力。梁的下邊緣處于單向應力狀態(tài)，（3）求P的大小6-27圖示多跨梁材料的。擬采用矩形截面，且預設截面的高寬比為3:2,試確定此梁的的高度h和寬度b。題6-27圖解：（1）外力分析研究附屬部分，可求得D鏈桿的約束反力為80kN，如圖所示。研究整個多跨梁，可求得A、B鏈桿的約束反力，如圖所示。荷載與梁軸垂直，梁將發(fā)生平面彎曲。中性軸z過形心與載荷垂直，沿水平方向。（2）內力分析，判危險面，彎矩圖、剪力圖如圖所示，。正應力強度的危險面是D橫截面,剪應力強度的危險面是CDE桿段各橫截面。（3）應力分析，判危險點。由于D截面關于中性軸z對稱，故D危險面的上下邊緣點是正應力強度危險點, CDE桿段各橫截

17、面的中性軸上各點為剪應力強度危險點。 （4）由正應力強度條件，確定橫截面尺寸（5）由剪應力強度條件校核所選橫截面尺寸故，補充1：矩形截面懸臂梁，受力如圖所示。求固定端截面上A、B的正應力。B點在中性軸上。解：（1）外力分析，判變形。所有荷載均在縱向對稱面內，梁發(fā)生平面彎曲變形。（2）內力分析，判危險面。其剪力圖和彎矩圖如圖所示。（3）應力分析：B點在中性軸上，正應力為零。固定端截面上A是壓縮區(qū)的邊緣點。補充2：圖示平頂涼臺，頂面荷載p=2000N/m2, 木梁的許可應力=10MPa，s=1m （1） 試：在次梁用料最經濟的條件下。求主梁的位置x值。（2） 若h/b=2,選擇矩形木次梁的尺寸。補

18、充1圖 解：（1）外力分析，判變形。木次梁計算簡圖如圖，發(fā)生彎曲變形。求反力：（2）內力分析，判危險面。其剪力圖和彎矩圖如圖所示。危險面是B或AB間剪力為零的橫截面。 1）因為矩形木次梁的拉壓強度相等，當次梁的最大正彎矩和最大負彎矩絕對值相等時，且木次梁在兩危險面上的最大應力都達到許用應力值，則用料最經濟。 2）令，次梁上距A端y遠的截面剪力為零。 3）求最大正、負彎矩（3）應力分析，判危險點。由于危險面關于中性軸對稱，故上下邊緣為正應力為危險點。（4）強度運算，設計尺寸。 補充3：一矩形截面木梁，矩形截面，已知許用正應力，許用剪應力，試校核梁的正應力強度和剪應力強度。 解：(1)求支反力RA=1.611KN,RB=3.914KN(2)畫內力圖如圖所示。危險面于B支座的左截面, VMAX=2.289KN,MMAX