線性系統(tǒng)理論作業(yè)

1、線 性 系 統(tǒng) 理 論設(shè) 計 報 告專業(yè)： 學(xué)號： 姓名： 教師： 取狀態(tài)變量為X=Ud,Id,nT,則系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：X=AX+Bu+ETlY=CX其中A= -1Ts 0 01TlaR -1Tla -CeTlaR0 375CTGD2 0 B=KsTS00 E=00-375GD2C=0 0 1 代入數(shù)據(jù)得：A=-588.235 0 0 26.709 -20.833 -3.6780 48.821 0 B=23529.4100通過matlab檢測系統(tǒng)的能控能觀性并求出系統(tǒng)的特征值：對應(yīng)的matlab程序如下：%原始系統(tǒng)能控能觀性判斷與特征值求解%A=-588.235 0 0;26.709 -

2、20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;disp(eig(A); % 計算并輸出特征值 %sys1=ss(A,B,C,D);Qc=ctrb(A,B); %生成能控性判別矩陣%Qo=obsv(A,C); %生成能觀性判別矩陣%if length(A)=rank(Qc) %系統(tǒng)能控性判別% disp('系統(tǒng)完全可控！'); else disp('系統(tǒng)不完全可控！');endif length(A)=rank(Qo) %系統(tǒng)能觀性判別% disp('系統(tǒng)完全可觀！');else d

3、isp('系統(tǒng)不完全可觀！');end運行結(jié)果如下： 1.0e+002 * -0.104165000000000 + 0.084297191975771i -0.104165000000000 - 0.084297191975771i -5.882350000000000 系統(tǒng)完全可控！系統(tǒng)完全可觀！系統(tǒng)特征值實部均為負，由此可知該系統(tǒng)為外部穩(wěn)定的能控但不能觀測系統(tǒng)，設(shè)負載轉(zhuǎn)矩為0時，輸入為階躍信號，系統(tǒng)的simulink仿真如下：圖1. 原始開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖圖2.原始開環(huán)系統(tǒng)仿真圖1、狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)根據(jù)仿真結(jié)果可以看出原系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間大于1s，不能滿足不大

4、于0.5s的要求;又要求系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為零，故系統(tǒng)不僅要通過求解狀態(tài)反饋增益矩陣改變極點配置，還需設(shè)置積分器校正的輸出反饋來消除穩(wěn)態(tài)誤差。因為要求被控系統(tǒng)A,B,C能控,又控制維數(shù)(r=1)不少于誤差的維數(shù)(m=1)且rankC=1=m, 即增廣系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，因此可采用狀態(tài)反饋控制律：u=-K1x+K2w改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，式中K1=K11 K12 K13 。閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征多項式為：s4+609.068+23529.41K11s3+12434.263+628447.012K12+490188.199K11s2+30681411.558K13+4225026.46K

5、11+105625.617s+30681411.558K2 由于最大超調(diào)量，當振幅進入范圍內(nèi)時調(diào)節(jié)時間，其中為系統(tǒng)自然振蕩角頻率。由于系統(tǒng)設(shè)計要求為超調(diào)量不超過10%，調(diào)節(jié)時間不超過0.5秒，可計算得到：，取，取，二階系統(tǒng)的特征根，可得期望特征值，原系統(tǒng)閉環(huán)非主導(dǎo)極點離虛軸為主導(dǎo)極點的5倍以上，故無需進行配置，再取另一個期望非主導(dǎo)極點為-50，則S3=-588.235, S4=-50,運用expand函數(shù)求得期望特征多項式為：expand(s+588.35)*(s+50)*(s+9.8-9.99i)*(s+9.8+9.99i)運行結(jié)果：s4 + (13159*s3)/20 + (4212500

6、01*s2)/10000 + (140319505567*s)/200000 + 23044504567/4000即s-s1s-s2s-s3s-s4=s4+657.95s3+42125s2+701597.528s+5761126.14根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等計算得到：K11=0.00208，K12=0.04562,K13=0.01914,K2=0.18777 確定了狀態(tài)反饋增益矩陣和積分增益常數(shù)，在未考慮擾動作用時（設(shè)d=0），閉環(huán)系統(tǒng)對給定輸入v(t)為階躍信號的響應(yīng)可通過求解下式獲得，即式中, v(t)=1(t)Simulink仿真如下：圖3.狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)仿真圖輸出波形：圖4

7、.狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)仿真波形0秒時加階躍的負載擾動，其仿真波形如下：圖5 加負載擾動時仿真波形由圖4可知，該狀態(tài)反饋系統(tǒng)的靜、動態(tài)性能如下：=1.0435-11×100%=4.35%，ts<0.5s,皆滿足系統(tǒng)要求。擾動后,曲線最終穩(wěn)定在1，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0。2、全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計閉環(huán)狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程，又由觀測誤差知，通過選擇輸出偏差反饋增益矩陣G使的所有特征值均位于復(fù)平面的左半平面，盡管初始時刻時，與存在差異，觀測器的狀態(tài)仍將以一定精度和速度漸漸逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài)。而輸出偏差反饋增益矩陣G由觀測器極點決定，因此，狀態(tài)估計誤差收斂速度是由觀測器極點所決定

8、。通過合理選擇觀測器極點而配置的反饋矩陣G，狀態(tài)估計誤差收斂速度足夠快，就能使重構(gòu)狀態(tài)漸近等價于真實狀態(tài)，從而達到狀態(tài)反饋的效果，即改善被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和動態(tài)品質(zhì)因數(shù)，而且可實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的解耦控制和最優(yōu)控制。由原系統(tǒng)完全能觀可知，可構(gòu)造狀態(tài)觀測器對其狀態(tài)給出估值。設(shè)觀測器增益矩陣， s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2經(jīng)過狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式中個矩陣分別為，帶入數(shù)據(jù)可得A=-637.117 -1073.51 -450.31626.709 -

9、20.833 -3.6780 48.821 0 B=23529.4100 由第一問求得反饋矩陣K11=0.00208，K12=0.04562,K13=0.01914F=K= 0.00208 0.04562 0.01914在MATLAB輸入程序如下：P=poly(A-B*K);roots(P)ans = -506.563 -147.896 -7.717圖6 全維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖從工程實際出發(fā)，兼顧快速性、抗干擾性等，選擇觀測器的響應(yīng)速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快2-5倍。故取s1*=-1200, s2*=-500, s3*=-35，則期望特征多項式為：D*=s3+1735s2+659500s+

10、21000000D(s)= s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2可解得g0= 17853.509, g1=-563.539, g2=1125.932帶觀測器的狀態(tài)反饋加積分調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖6。仿真輸出與觀測器輸出波形圖如下：圖7 系統(tǒng)加全維觀測器輸出波形圖圖7 全維狀態(tài)觀測器波形圖由仿真圖可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，動態(tài)誤差滿足超調(diào)量<10%,調(diào)節(jié)時間Ts<0.5s的要求。狀態(tài)估計誤差收斂速度與狀態(tài)觀測器極點的配置有關(guān)。一般而言狀態(tài)觀測器極點在復(fù)

11、平面的左半開平面距離虛軸距離越遠，則估計誤差收斂速度越快。但是，觀測器響應(yīng)速度過快會產(chǎn)生大量噪聲，影響系統(tǒng)的正常工作故不宜取值過大。綜合工程實際出發(fā)，一般取為比狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快25倍。3、限制電動機電樞過電流方法為了解決反饋閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的起動和堵轉(zhuǎn)時電流過大的問題，系統(tǒng)中引入電流截止負反饋，電流截止負反饋調(diào)速系統(tǒng)通過一個電壓比較環(huán)節(jié)，使電流負反饋環(huán)節(jié)只有在電流超過某個允許值時才起作用，電動機啟動時，因為電流截止負反饋作用，從而限制啟動電流。正常工作時，電流截止負反饋作用很小。電動機發(fā)生堵轉(zhuǎn)時，由于電流截止負反饋的作用，使Ud大大下降，因而使Ia不致過大。允許的堵轉(zhuǎn)電流一般為電動機額定電流的2

12、2.5倍。系統(tǒng)工作在額定值時，由于電流截止負反饋起作用，從而保證系統(tǒng)設(shè)備的安全。4、二次型最優(yōu)控制由前邊的計算可知原始系統(tǒng)為完全可控的，最優(yōu)控制的性能指標函數(shù)為：，其中，為狀態(tài)加權(quán)系數(shù)矩陣，R為控制加權(quán)系數(shù)矩陣，設(shè)Q=q11 0 00 q22 00 0 q33,R取1。非零點給定的定常輸出器設(shè)計中，P為代數(shù)方程的解。為求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K和k1，先令q11=1，q22=1,q33=100，反代入上式，利用matlab中的lqr函數(shù)計算線性二次型最優(yōu)控制的解。即：K=lqr（A，B，Q，R），運行得：K=0.9867,10.081,31.4838,k1=1.702系統(tǒng)在零負載轉(zhuǎn)矩下的階躍響應(yīng)仿

13、真程序如下：A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;Q= 1 0 0;0 1 0;0 0 1000;K=lqr(A,B,Q,R);ac=A-B*K;k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; step(ac,bc,cc,dc);Grid運行后仿真結(jié)果如下圖：圖8線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋仿真曲線為了研究系統(tǒng)二次型性能指標泛函中權(quán)矩陣Q的不同選取對動態(tài)性能的影響，對q11、q22、q33取不同值時的權(quán)矩陣進行仿真試驗。令q22=q3

14、3=1，q11取值為1、100、200、500、1000、10000，系統(tǒng)matlab程序如下：a_color='r','g','b','y','c','m','k' %¶¨ÒåͼÐÎÑÕÉ«A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;syms

15、 Q q11 q22 q33;Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; N=1,100,200,500,1000,10000; syms i K; for i=1:6 q22=1; q33=1; q11=N(i); K=lqr(A,B,subs(Q),R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(

16、4),sys(5),a_color(5),sys(6),a_color(6); Grid 運行得：圖9 q11為不同取值時線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋仿真曲線對于q22、q33取不同值時其程序與仿真曲線如下：a_color='r','g','b' A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;R=1;syms Q q11 q22 q33;Q=q11 0 0;0 q22 0;0 0 q33; for i=1:3 q11=1; q22=1; q

17、33=1; Q(i,i)=100; K=lqr(A,B,subs(Q),R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3);Grid運行：圖10 q11、q22、q33為不同取值時線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋仿真曲線（圖中紅色線為Q=10000010001時階躍響應(yīng)曲線，綠色線條為Q=10001000001時的階躍響應(yīng)曲線，藍色為Q=1000100

18、0100時的階躍響應(yīng)曲線）由不同權(quán)矩陣Q的取值仿真曲線可知， q11=100時超調(diào)量太大且調(diào)節(jié)時間久，q22=100時雖然超調(diào)量小或者沒有，但是調(diào)節(jié)時間太長，綜合來看，q33為100時系統(tǒng)動態(tài)性能最好。權(quán)矩陣R值不同時，對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。程序如下：a_color='r','g','b','y','c'A=-588.235 0 0;26.709 -20.833 -3.678;0 48.821 0;B=23529.41 0 0'C=0 0 1;D=0;Q=1 0 0;0 1 0;0 0 100;N=1,10

19、0,1000,1500,10000;syms R; for i=1:5 R=N(i); K=lqr(A,B,Q,subs(R); ac=A-B*K; k1=inv(-C/(A-B*K)*B); bc=B*k1; cc=C; dc=D; sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc); end figure(1)step(sys(1),a_color(1),sys(2),a_color(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5);Grid運行得：圖11.R取不同取值時線性二次型最優(yōu)全狀態(tài)反饋仿真曲線對比可知：R值越大調(diào)節(jié)時間越長，超調(diào)量越大。5、降維觀測器設(shè)計負載轉(zhuǎn)矩TL平緩變化，且狀態(tài)變量Ud,Id,n均可準確測量時，對負載轉(zhuǎn)矩進行估計的降維觀測器的設(shè)計需對原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行變化?？傻迷鰪V矩陣：