六年級(jí)同步第13講：比的意義與性質(zhì)

1、比的意義和比的基本性質(zhì)是六年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第三章第一節(jié)的內(nèi)容， 通過(guò)本講的學(xué)習(xí)， 同學(xué)們需要理解比和比值的意義、 能區(qū)分比和比值、 熟練地求解比和比值， 同時(shí)要理清比與除法、 分?jǐn)?shù)等概念之間的聯(lián)系和區(qū)別， 也必須理解比的基本性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行最簡(jiǎn)整數(shù)比的化簡(jiǎn)和連比的求解1、 比和比值a、 b 是兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類(lèi)的量，為了把b 和 a 相比較，將a 與 b 相除，叫做a 與 b的 比 記作 a : b ，或?qū)懗?，其中；讀作a 比 b ，或a 與 b 的比a 叫做比的 前項(xiàng) ， b 叫做比的 后項(xiàng) 前項(xiàng) a 除以后項(xiàng) b 所得的商叫做 比值 2、 比、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系比：前項(xiàng)：后項(xiàng) =比

2、值；分?jǐn)?shù)：=分?jǐn)?shù)值；除法：被除數(shù)+除數(shù) =商.比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子和除式中的被除數(shù)；比的后項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母和除式中的除數(shù)；比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值和除式的商3、 比、分?jǐn)?shù)和除法的區(qū)別比是表示兩個(gè)數(shù)關(guān)系的式子，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，除法是一種運(yùn)算【例 1】 在中， 5 是比的 ， 1.25 是比的 【難度】【答案】前項(xiàng)；比值【解析】讀作，其中叫做比的前項(xiàng)，叫做比的后項(xiàng)，前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的 商叫做比值【總結(jié)】考查比和比值的意義【例 2】=3 =: 3 【難度】【答案】【解析】由題意，得，分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法的被除數(shù)，相當(dāng)于比的前項(xiàng)， 分?jǐn)?shù)的分母相當(dāng)于除法的除數(shù)，相當(dāng)于比的后項(xiàng)【總結(jié)】考查分?jǐn)?shù)、除法、以

3、及比之間的關(guān)系【例 3】 某班有男生23 人，女生 22 人，則男生人數(shù)與女生人數(shù)的比為 ，女生人數(shù)與全班人數(shù)的比為 【難度】【答案】；【解析】注意審題即可，女生與全班人數(shù)之比為【總結(jié)】考查比的意義，及部分與整體的關(guān)系【例 4】 求下列各個(gè)比的比值：（1） 24 : 4；（ 2） 15 : 25；（ 3）；（4）【難度】【答案】（ 1 ）；（2）；（3 ）；（4 ）【解析】 比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商是比值， 注意比值的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)也可以用小數(shù)表示，千萬(wàn)不能寫(xiě)成的形式【總結(jié)】考查比值的求法5 下列各數(shù)中，與 3 : 2 不相等的是(A 1.5BCD【難度】BB 是不符的【總結(jié)】考查分?jǐn)?shù)的基本性

4、質(zhì)及比值的意義.6 如果甲數(shù)是乙數(shù)的 5 倍，那么甲數(shù)和乙數(shù)的比是【難度】【答案】.【解析】若甲是乙的 5倍，則甲：乙=.【總結(jié)】考查兩數(shù)之比的表示方法.7 比的前項(xiàng)是，比的后項(xiàng)是，則它們的比值是【難度】【答案】.【解析】由題意，得.【總結(jié)】考查比值的意義.8 王奶奶買(mǎi)了 2斤蘋(píng)果用去10.8 元，買(mǎi)了 3 斤梨用去 12 元，蘋(píng)果與梨的單價(jià)比的比值是 【難度】【答案】.【總結(jié)】考查比的基礎(chǔ)應(yīng)用.9】 夏日炎炎，商店需調(diào)制一種夏日特飲：青檸雪碧，要求青檸汁與雪碧的質(zhì)量之為 1 : 200 ，這個(gè)比的意義是（ ）B 每1 克青檸汁配200 克雪碧D 雪碧比青檸汁多 199 克1 份青檸汁配200

5、 份雪碧，不一定指青檸 汁A 選項(xiàng)應(yīng)該是201 克飲料中含有1 克青檸汁A 每 200 克飲料中含 1 克青檸汁C.青檸汁比雪碧少 199克【難度】B【解析】青檸汁和雪碧的質(zhì)量之比為，是指1 克，雪碧一定是200 克，另外，【總結(jié)】考查比的基本意義.10】求下列各個(gè)比的比值： 1） 40分鐘: 1.5 小時(shí)；（2） 16 小時(shí) : 5 天； 3） 3） 4 千克: 500 克；（4） 20cm : 0.6m 【難度】1 ）；（2）；（3 ）；（4 ）40 分鐘： 1.5 小時(shí)，需要統(tǒng)一為分鐘，40分鐘：90分鐘=,其它都需要強(qiáng)調(diào)單位換算的進(jìn)率.【總結(jié)】考查比值的意義.11】 一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右

6、移動(dòng)三位，得到的數(shù)與原數(shù)的比是 【難度】【答案】.1000 倍，與原數(shù)之比為【總結(jié)】考查小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的意義.12】 甲數(shù)是乙數(shù)的 4 倍，乙數(shù)是丙數(shù)的 6 倍，求甲數(shù)與丙數(shù)的比值【難度】【答案】.1 份，則乙數(shù)是6 份，甲數(shù)是24 份，所以甲數(shù)是乙數(shù)的 24 倍，甲與丙的比值為 24 【總結(jié)】考查三個(gè)數(shù)之間的比的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)換.13】 公園有一個(gè)湖泊，其余為綠地、建筑物和道路已知公園面積為平方千米，綠地求湖泊面積和綠地面面積為公園的， 建筑物和道路的占地總面積是公園面積的，積的比值【難度】【答案】.3 部分，一是湖泊，二是綠地，三是建筑物和道路，綠地占總體的，建筑物和道路占總體的，所以湖泊占總體的，所

7、以湖泊與綠地面積之比為，比值為【總結(jié)】考查比的基礎(chǔ)應(yīng)用.14】 一根繩子長(zhǎng)米，若按3 : 4 分成兩段，其中長(zhǎng)的一段是多少米？【難度】【答案】米.【解析】一根繩子按分成兩段，其中較長(zhǎng)的一段占總體的，長(zhǎng)為米.【總結(jié)】考查按比例分配的基礎(chǔ)應(yīng)用.1、 比的基本性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或者除以相同的數(shù)（ 0 除外） ，比值不變2、 最簡(jiǎn)整數(shù)比比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)且互素，這樣的比叫做 最簡(jiǎn)整數(shù)比注：題目中比的結(jié)果都必須化成最簡(jiǎn)整數(shù)比3、 三連比的性質(zhì)1、如果， ，那么；2、如果，那么【例 15】 化簡(jiǎn)下列各比：（1） 6 : 10；（2） ；（3） 0.7 : 0.9；（4） 【難度】【答案】（ 1

8、 ）；（2）；（3 ）；（4 ）【解析】比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（ 0 除外） ，比值不變，運(yùn)用于比的化簡(jiǎn)，比如要化簡(jiǎn)，第一步是將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)乘以分母的最小公倍 ，化為整數(shù)比，第二步將前項(xiàng)和后項(xiàng)的最大公因數(shù)約掉，化為最簡(jiǎn)整數(shù)比【總結(jié)】考查比的基本性質(zhì)【例 16】 把 10 克鹽完全溶解在 90 克水中，則鹽與鹽水的質(zhì)量之比是（ ）A 1 : 10B 10 : 1C 1 : 9D 9 : 1【難度】【答案】 A【解析】注意審題，鹽水是鹽和水的總和，鹽比鹽水為【總結(jié)】考查經(jīng)典的鹽和鹽水的問(wèn)題【例17】甲數(shù)除以乙數(shù)的商是1.5 ，則甲數(shù)與乙數(shù)的最簡(jiǎn)整數(shù)比是【難度】【答案】

9、【解析】甲數(shù)除以乙數(shù)的商就是甲數(shù)與乙數(shù)的比值，因?yàn)?，所以甲乙兩?shù)的 最 簡(jiǎn) 整 數(shù)比為【總結(jié)】考查比值與最簡(jiǎn)整數(shù)比之間的關(guān)系【例18】?jī)蓚€(gè)數(shù)的比值是， 則它們的最簡(jiǎn)整數(shù)比是 ； 如果比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以3，它們的最簡(jiǎn)整數(shù)比是【難度】【答案】；【解析】 比值是一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)， 分子就是比的前項(xiàng)， 分母是比的后項(xiàng)，前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以 3 ，比值不變，最簡(jiǎn)整數(shù)比也不變【總結(jié)】考查比值與最簡(jiǎn)整數(shù)比之間的關(guān)系，以及比的基本性質(zhì)【例19】把下列連比化成最簡(jiǎn)整數(shù)比：（ 1 ） 20 : 25 : 50 ；（ 2） 【難度】【答案】（ 1 ）；（2）【解析】 （ 1）每一項(xiàng)都除以三項(xiàng)的最大公因數(shù)5，結(jié)果為；

10、（2 ）每一項(xiàng)都乘以分母的最小公倍數(shù)，結(jié)果為【總結(jié)】考查三項(xiàng)比的化簡(jiǎn)【例20】比的前項(xiàng)擴(kuò)大2 倍，后項(xiàng)縮小 2 倍，這個(gè)比的比值（ ）A 擴(kuò)大 4 倍B 縮小 4 倍C 比值不變D 以上說(shuō)法都不正確【難度】【答案】 A【解析】前項(xiàng)擴(kuò)大2 倍，比值擴(kuò)大2 倍，后項(xiàng)縮小2 倍，比值也擴(kuò)大2 倍，綜合起來(lái)，比值擴(kuò)大 4 倍【總結(jié)】考查比的前項(xiàng)和后項(xiàng)與比值的變化關(guān)系【例 21】 以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）（ 1 ）比的前項(xiàng)和后項(xiàng)乘以一個(gè)相同的數(shù)，比值不變；（ 2 ）女同學(xué)占全班人數(shù)的，則女同學(xué)和男同學(xué)的人數(shù)之比為4 : 5 ；（ 3）把20 克糖溶解在 100 克水中，糖與糖水的質(zhì)量比為1 : 6

11、 ；（ 4 ） 25 厘米和 15 米的比值是；（ 5 ）在4 : 8 中，如果前項(xiàng)加上8，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)加上8A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè)【難度】 【答案】 B 【解析】理解比的基本性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，所以（ 1 ）不對(duì)； 女生占全部人數(shù)的，則男生占全部人數(shù)的，則女生與男生之比為，所以（2）是對(duì)的；把 20 克糖溶解在100 克水中，糖與糖水之比為，所以（3）是對(duì)的； 25 厘米和 15 米單位不一樣，所以比值不是，所以（4）不對(duì)；的前項(xiàng)加上8， 增加了 2 倍， 要使比值不變，后項(xiàng)也要增加2 倍，也就是應(yīng)該加上16，所以（5）是不對(duì)的【總結(jié)】考查比的意義及

12、基本性質(zhì)的相關(guān)概念22】 化簡(jiǎn)下列各比：（1）；（2）；（3） 125毫升 : 0.6 升； （4） 1.2 米 : 40 厘米 : 8 分米【難度】1 ）；（2）；（3 ）；（4 ）【解析】比的化簡(jiǎn)，運(yùn)用的是比的基本性質(zhì)，比如第（2）題，有分?jǐn)?shù)有小數(shù)，可以統(tǒng)一為不一樣時(shí)， 需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)統(tǒng)一單位題，1.2米：40厘米：8分米=120小數(shù)，也可以統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)，當(dāng)比的各項(xiàng)單位再化簡(jiǎn)，以及注意結(jié)果是最簡(jiǎn)整數(shù)比，比如第（ 4）厘米：40厘米：80厘米=3: 1: 2.【總結(jié)】考查比的基本性質(zhì)23】 根據(jù)已知條件求a : b : c （1） a:b=2:3，b:c=3:4；（2） a:b=2:3，b:c

13、=6:5；（3） a:b=3:2，b:c=【難度】【答案】（ 1 ）；（2）；（3 ）【解析】 三項(xiàng)連比的化簡(jiǎn)，先確定兩個(gè)比是最簡(jiǎn)整數(shù)比，再確定哪一項(xiàng)是關(guān)聯(lián)項(xiàng)，關(guān)聯(lián)項(xiàng)統(tǒng)一為最小公倍數(shù)，這樣三項(xiàng)連比才是正確的結(jié)果； （ 1），在兩個(gè)比中都是占 3份，所以三項(xiàng)比的結(jié)果直接寫(xiě)；（ 2）， 在第一個(gè)比中占 3 份，在第二個(gè)比中占 6 份，利用比的基本性質(zhì)統(tǒng)一第一個(gè)比 ，所以；（3 ）第二個(gè)比不是最簡(jiǎn)整數(shù)比，化簡(jiǎn)，在兩個(gè)比中，一個(gè)占 2 份，一個(gè)占 3 份，統(tǒng)一為 6 份，第一個(gè)比化為，第 二個(gè)比化為， 所以【總結(jié)】考查三項(xiàng)連比的化簡(jiǎn)方法，這是一個(gè)教學(xué)重難點(diǎn)【例24】寫(xiě)同樣多的作業(yè)，小智用 12 分鐘，

14、小方用 15 分鐘，那么小智與小方速度的最簡(jiǎn)整數(shù)比是 【難度】【答案】【解析】小智的時(shí)間 12 分，效率為，小方的時(shí)間為 15 分鐘，效率為，效率就是速度，所以小智與小方的速度之比為，也可以給學(xué)生拓展相等的工作量， 速度比是時(shí)間的 反比【總結(jié)】考查行程（工程）問(wèn)題中速度比的求解【例25】甲數(shù)的等于乙數(shù)的，甲乙兩數(shù)的比為 【難度】【答案】【解析】這一題考查比例的應(yīng)用，由題意，得，所以【總結(jié)】考查等積式與比例式之間的轉(zhuǎn)換【例 26】 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 3 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做5 天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做6 天完成，那么甲、乙、丙三隊(duì)的工作效率之比為 【難度】【答案】【解析】甲單獨(dú)完成一件工作， 3 天

15、，所以甲每天完成，同理，乙每天完成，丙每天完 成，三個(gè)工作隊(duì)的效率之比為【總結(jié)】考查工程問(wèn)題中效率之比的求法【例 27】5 克鹽完全溶解在 100 克水中（ 1 ）求鹽與水的質(zhì)量比；（ 2 ）求鹽與鹽水的質(zhì)量比；（ 3 ）要配制520 千克這樣的濃度的鹽水，需要鹽多少千克？【難度】【答案】（ 1 ）；（2）；（3 ）千克【解析】（1）鹽：水=;（2）鹽：鹽水=;（ 3 ）鹽占鹽水的，要配置520 千克這樣濃度的鹽水，需要鹽千克【總結(jié)】考查“鹽水”問(wèn)題中的相關(guān)比的求解28】 如圖， 陰影部分的面積是正方形面積的， 是圓面積的， 求正方形與圓的面積之比【難度】【答案】.【解析】方法一：陰影面積是正

16、方形面積的，是圓面積的，所以，所以；方法二：利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，將統(tǒng)一分子，即，所以【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考查比的綜合應(yīng)用，注意分析條件.29】 a : b : c = 1 : 3 : 4 ， a + c = 20 ，求 a + b + c 的值【難度】【答案】.k 法求值30】甲、乙、丙三人去書(shū)店買(mǎi)書(shū)，共帶去54 元，甲用去了自己錢(qián)的，乙用去了自己錢(qián)的，丙用去了自己錢(qián)的，各買(mǎi)了一本相同的書(shū)，三人用去的錢(qián)數(shù)正好相等，問(wèn)這本書(shū)的價(jià)格是多少？【難度】【答案】元.54【解析】由題意，得，；利用連比的化簡(jiǎn)方法得，又因?yàn)榧住⒁?、丙共帶?54元，所以甲帶了元，這本書(shū)的價(jià)錢(qián)是甲帶的錢(qián)的，所以這本書(shū)的價(jià)錢(qián)為

17、元【總結(jié)】考查比和比例的綜合應(yīng)用，難度較大.1】 下列說(shuō)法中，不正確的是（A 5 與 3 的比值是B.除法中的被除數(shù)相當(dāng)于比的前項(xiàng)、分?jǐn)?shù)中的分子C.若，則 a = 3, b = 5D.前項(xiàng)和后項(xiàng)是互素的，那么它們的比是最簡(jiǎn)整數(shù)比【難度】CC 選項(xiàng)是錯(cuò)誤的【總結(jié)】考查比的相關(guān)概念辨析.2】 六（ 2）班春游時(shí)，有1 人請(qǐng)事假， 2 人請(qǐng)病假，實(shí)際45 人參加，缺勤人數(shù)與全班人數(shù)的比是（ ）A 1 : 15B 3 : 45C 1 : 16D 3 : 48【難度】C3 人，全班人數(shù)是48 人，所以缺勤人數(shù)與全部人數(shù)之比為【總結(jié)】考查比的基礎(chǔ)應(yīng)用.3】 一段繩子，原長(zhǎng) 14 米，一次用去了 2.8 米

18、，余下的繩長(zhǎng)與原來(lái)的繩長(zhǎng)的最簡(jiǎn)整數(shù)比是 【難度】【答案】.11.2 米，所以余下的與原長(zhǎng)之比為【總結(jié)】考查比的基本性質(zhì).4】 一個(gè)比的前項(xiàng)是15 ，比值是，則這個(gè)比的后項(xiàng)是【難度】【答案】.【解析】比的后項(xiàng)=比的前項(xiàng)除以比值，即.【總結(jié)】考查比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值之間的相互轉(zhuǎn)換.5】 求下列各比的比值：（1） ；（2） 3 小時(shí) : 150 分【難度】1 ）；（2）（ 1）；（2）【總結(jié)】考查比值的求解方法，注意結(jié)果不能寫(xiě)成的形式.6】 化簡(jiǎn)下列各比：（1） ；（2） 2平方米 : 4320平方厘米；（3） （4） 120 分 : 1.2 小時(shí) : 1 小時(shí) 20分鐘【難度】1 ）；（2）；（3

19、 ）；（4 ）3 ）題， ；比如第（4）題，【總結(jié)】考查比的基本性質(zhì)及比的化簡(jiǎn).7】 比的前項(xiàng)是2.5，比的后項(xiàng)是5.25，如果比的前項(xiàng)增加1.5，那么比的后項(xiàng)增加時(shí)，比值不變【難度】3.15比值不變，列方程，解得【總結(jié)】結(jié)合方程思想考查比的應(yīng)用.8】 根據(jù)已知條件，求下列各比（ 1）已知，求；（ 2）已知，求【難度】1 ）；（2）（ 1）統(tǒng)一字母， ， ，所以；（2） , .,即，.，又.，.【總結(jié)】考查比和比例的基本性質(zhì)，以及三項(xiàng)連比的化簡(jiǎn)方法.【習(xí)題 9】 現(xiàn)有黃沙、水泥、石子各 12 噸，根據(jù)施工要求，將黃沙、水泥、石子按2 : 3 : 5拌成混凝土，當(dāng)水泥用完時(shí)，黃沙用了幾噸？石子還

20、缺幾噸？【難度】【答案】黃沙用了 8 噸，石子還缺8 噸【解析】水泥12 噸正好用完，按的比例，黃沙需要噸，石子需要噸，所以黃沙用了 8噸，石子還缺8 噸【總結(jié)】考查比的綜合應(yīng)用【習(xí)題10】某中學(xué) 460 名學(xué)生分成三組參加植樹(shù)活動(dòng)，第一組與第二組人數(shù)比是3 : 4 ，第一組與第三組人數(shù)比是2 : 3 ，第三組比第二組多多少人？【難度】【答案】人【解析】根據(jù)連比化簡(jiǎn)規(guī)律，三隊(duì)人數(shù)之比為，每一份有人，第三組比第二組多一份，所以第三組比第二組多 20 人【總結(jié)】考查比的綜合應(yīng)用，難度較大1】 6 和 9 這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的比是（ ）A 1 : 12B 12 : 1C 1 :

21、6D 6 : 1【難度】C6和 9 的最大公因數(shù)是3，最下公倍數(shù)是18，兩者之比為1： 6【總結(jié)】考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求解.2】 一個(gè)比的前項(xiàng)是最小的素?cái)?shù)，后項(xiàng)是最小的合數(shù)，這個(gè)比的比值是【難度】【答案】.2 ，最小的合數(shù)是4 ，兩者比值為【總結(jié)】考查素?cái)?shù)、合數(shù)的概念及比值求解.3】 小正方形與大正方形的邊長(zhǎng)之比為 2 : 5，則小正方形與大正方形的面積之比為【難度】【答案】.【解析】正方形面積之比是邊長(zhǎng)平方之比，所以面積比為.【總結(jié)】考查正方形的面積之比與周長(zhǎng)之比的關(guān)系.4】 如圖，甲、乙兩個(gè)三角形的面積之比為【難度】【答案】.【解析】甲、乙兩個(gè)三角形等高，所以面積比是底之比,【總結(jié)】考查共底等高型三角形的面積比問(wèn)題.5】 求下列各比的比值：（1） 1.2 : 1.8；（2） 2.4 m : 30 dm【難度】1 ）；（2）【解析】比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商是比值，求比值可以靈活變通，將比化為最簡(jiǎn)整數(shù)比,再寫(xiě)成即為比值： （ 1 ） ；（2） 【總結(jié)】考查比