北師大初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合--知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1 .平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識(shí)平面直角坐標(biāo)系中各象限和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐 標(biāo)，求線段的長(zhǎng)度，幾何圖形的面積，求某些點(diǎn)的坐標(biāo)等；2 .函數(shù)的有關(guān)概念求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法；3 .函數(shù)的圖象和性質(zhì)常見(jiàn)的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利用函數(shù)的性質(zhì)解決某些問(wèn) 題.利用數(shù)形結(jié)合思想說(shuō)明函數(shù)值的變化趨勢(shì)，又能反過(guò)判定函數(shù)圖象的位置； 4.函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程，利用函數(shù)的解析式求某些字母或代數(shù)式的值.一次函數(shù)、反

2、比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關(guān)系、 圓的切線、圓的有關(guān)線段組成綜合題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】-函數(shù)及其圖象綜合運(yùn)用建立函數(shù)關(guān)系式對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征白變賦的取值范圍-三類基本函數(shù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的 坐標(biāo)特征象限角平分線上點(diǎn) 的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)*=卷&卞。）【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系1 .相關(guān)概念(1)平面直角坐標(biāo)系(2)象限(3)點(diǎn)的坐標(biāo)2 .各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征3 .特殊位置點(diǎn)的坐標(biāo)(1)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(2) 一三或二四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)(3)平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)(4)關(guān)于軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)4 .距離(1)平面上一點(diǎn)到軸、

3、y軸、原點(diǎn)的距離(2)坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點(diǎn)間的距離(3)平面上任意兩點(diǎn)間的距離5 .坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)利用坐標(biāo)表示地理位置(2)利用坐標(biāo)表示平移要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)P(,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：(1)點(diǎn)P(,y)到軸的距離等于 y ;(2)點(diǎn)P(,y)到y(tǒng)軸的距離等于 X；(3)點(diǎn)p(,y)到原點(diǎn)的距離等于4；xy2.考點(diǎn)二、函數(shù)及其圖象1 .變量與常量2 .函數(shù)的概念3 .函數(shù)的自變量的取值范圍4 .函數(shù)值5 .函數(shù)的表示方法(解析法、列表法、圖象法)6 .函數(shù)圖象要點(diǎn)詮釋：由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；(2)描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值

4、為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起考點(diǎn)三、一次函數(shù)1 .正比例函數(shù)的意義2 . 一次函數(shù)的意義3 .正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)4 . 一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關(guān)系5 .利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋：確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng) kx ( 0)中的常數(shù)；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng) kx b ( 0)中的常數(shù)和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法考點(diǎn)四、反比例函數(shù)1 .反比例函數(shù)的概念2 .反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)3 .利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋： k反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何

5、意義，如下圖，過(guò)反比例函數(shù) y (k 0)圖像上任一點(diǎn) P(x,y)x作軸、y軸的垂線PMPNJ垂足為 MN,則所得的矩形PMON勺面積S=PMPN=y? x xy .k._ .y ,xy k, S | k |.x考點(diǎn)五、二次函數(shù)1 .二次函數(shù)的概念2 .二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)3 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系4 .利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋：1、兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的問(wèn)題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)如圖：點(diǎn) A坐標(biāo)為(1, yi),點(diǎn)B坐標(biāo)為(2, v力,則AB間的距離，即線段 AB的長(zhǎng)度為22xi x2Vi V2*y2、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減考點(diǎn)六、函數(shù)

6、的應(yīng)用1 .一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2 .反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用3 .二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用要點(diǎn)詮釋：分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式(或圖象)也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題 多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論.在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問(wèn)題，因此,分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型【典型例題】類型一、用函數(shù)的概念與性質(zhì)解題1 .已知一次函數(shù)y=(3a-2)+(1-b),求字母a, b的取值范圍，使得:(1) y隨的增大而增大；(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在軸的下方；(3)函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、四象限 .【思路點(diǎn)撥】(1) y=+b (W。)的圖象，當(dāng)。時(shí)，y隨

7、的增大而增大；(2)當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖象與 y軸的交點(diǎn)在軸的下方；(3)當(dāng)v 0, b >0時(shí)時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、四象限【答案與解析】解：a、b的取值范圍應(yīng)分別滿足:(1)由一次函數(shù)y=+b(w0)的性質(zhì)可知:當(dāng)>0時(shí)，函數(shù)值y隨的增大而增大，即 3a-2 >0,a> 2 ,且b取任何實(shí)數(shù)3(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1-b ),交點(diǎn)在軸的下方,2 aw, b3>1.(3)函數(shù)圖象過(guò)第一、二、四象限，則必須滿足【總結(jié)升華】 下面是y=(W0), y=+b ( W0)的圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)的示意圖，如圖 1,當(dāng)>0時(shí)，y隨的增 大而增大；當(dāng)b&g

8、t;0時(shí)，圖象過(guò)一、二、三象限，當(dāng) b=0時(shí)，是正比例函數(shù)，當(dāng) b<0時(shí)，圖象過(guò)一、三、 四象限；當(dāng)y=時(shí)，圖象過(guò)一、三象限，且是它的角平分線.由于常數(shù)、b不同，可得到不同的函數(shù)，決定直線與軸夾角的大小，b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置，由定向，由 b定點(diǎn).同樣，如圖2,是v 0的各種情況，請(qǐng)你指出它們的圖象的特點(diǎn)和性質(zhì).2【變式】作出函數(shù)y=, y , y (JX)2的圖象，它們是不是同一個(gè)函數(shù)?x2【答案】 函數(shù)y (JX)2的自變量的取值范圍是0；函麴 在wo時(shí)，就是函數(shù)y=;而=0不在2X 函數(shù)y 的自變量的取值范圍之內(nèi)x由此，作圖如下：可見(jiàn)它們不是同一個(gè)函數(shù)類型二、函數(shù)圖象及性質(zhì)22

9、 已知：?.(嘏-2)產(chǎn)7"十犀-4(1)m為何值時(shí)，它是一次函數(shù).(2)當(dāng)它是一次函數(shù)時(shí)，畫出草圖，指出它的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限？y是隨的增大而增大還是減小?(3)當(dāng)圖象不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求出該圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離，及圖象與兩軸所圍成的三角形面積【思路點(diǎn)撥】一次函數(shù)應(yīng)滿足：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.【答案與解析】加 一 a w 口依題意：，口,解得m=1或m=4.，當(dāng) m=1或m=4時(shí)，它是一次函數(shù).(2)當(dāng)m=4時(shí)，函數(shù)為y=2,是正比例函數(shù)，圖象過(guò)一，三象限，y隨的增大而增大.當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)為y=-3 ,直線過(guò)二，三，四象限，y隨的增大而減小(3)直線y=-3不過(guò)

10、原點(diǎn)，它與軸交點(diǎn)為A(-3 , 0),與y軸交點(diǎn)為B(0, -3), 一二十鏟一也.廠一卜.，-1 .，直線y=-3與兩軸交點(diǎn)間的距離為 頭叵，與兩軸圍成的三角形面積為1 .【總結(jié)升華】(1)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng) (或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是 正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0.(2)判斷函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是確定直線y=+b (W0)中、b的符號(hào).(3)直線y=+b (w0)與兩軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可運(yùn)用軸、y軸上的點(diǎn)的特征求，當(dāng)直線 y=+b (w0)上的L方點(diǎn)在軸上時(shí)，令 y=0,則其=一下，交點(diǎn)為(一二.。)；當(dāng)直線y=+b (W0)上的點(diǎn)在y軸上時(shí)

11、，令=0,則 上卜y=b,即交點(diǎn)為(0 , b).舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的方程x2 (m 3)x m 4 0.(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根大于 4且小于8,求m的取值范圍;(3)設(shè)拋物線y x2 (m 3)x m 4與y軸交于點(diǎn)M若拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y x的對(duì)稱點(diǎn)恰女?是點(diǎn) M,求m的值.【答案】證明：(1) b2 4ac (m 3)2 4(m 4) m2 10m 25 (m 5)2>0 , 所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.解：(2)由(1) (m 5)2,根據(jù)求根公式可知，m 3 (m 5)2方程的兩根為： x 三 即x1 1, x2 m 4 ,由題意，

12、有4 m 4 8,即8 m 12.(3)易知，拋物線 y x2 (m 3)x m 4與y軸交點(diǎn)為M (0, m 4 ),由(2)可知拋物線與軸的 交點(diǎn)為(1,0)和(m 4,0),它們關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為(0, 1)和(0, 4 m),由題意，可得 1 m 4或4 m m 4,所以m 3或m 4.3.拋物線y=2+b+c圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為y=2-2-3,則b、c的值為()A. b=2, c=2 B . b=2, c=0 C . b= - 2, c=- 1 D . b= - 3, c=2【思路點(diǎn)撥】易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn)，根

13、據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變 可得原拋物線的解析式，展開即可得到b, c的值.【答案】B.【解析】解：由題意得新拋物線的頂點(diǎn)為(1, -4),，原拋物線的頂點(diǎn)為(-1, - 1),設(shè)原拋物線的解析式為 y= ( - h) 2+代入彳導(dǎo):y= (+1) 2-1=2+2,b=2, c=0.故選B.【總結(jié)升華】拋物線的平移不改變二次項(xiàng)系數(shù)的值；討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問(wèn)題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如 何平移得到的即可.1 4 .若一次函數(shù)y=+1的圖象與反比例函數(shù) y 一的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 x【思路點(diǎn)撥】y kx 113因?yàn)榉幢壤瘮?shù) y 一的圖象在第一、三象限，故一次函數(shù)y=+

14、1中，v 0,將解方程組1xy -x轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，當(dāng)兩函數(shù)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，只需<0即可.1【答案】k<-.1【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y 一的圖象在第一、三象限，X，當(dāng)一次函數(shù)y=+1與反比例函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，v 0,y kx 1-、一 2解方程組1,得+-1=0,y -X當(dāng)兩函數(shù)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，<0,即1+4V 0,-1解得k< -,一_，一一1.兩函數(shù)圖象無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，k<-.1故答案為：k<-1.【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，再確定的取值范圍.類型三、函數(shù)綜合題y=a2+b+c

15、 （a為）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線=A. 0B. 1C. 2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)，確定<0時(shí)，的范圍，確定代數(shù)式的符號(hào).【答案】C.【解析】解：二開口向下，a< 0,對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，當(dāng)=1時(shí)，y<0, - a+b+cc 0,正確； k 1=三，2a=3b, =1 時(shí)，y>0, a- b+c>0, 2a 3D. 3a、b、c的符號(hào)，根據(jù)對(duì)稱軸和圖象確定y>0或yb<0, .正確；b+2c >0錯(cuò)誤；0;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）故選：C.【總結(jié)升華】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活

16、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān) 鍵，解答時(shí)，要熟練運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性和拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式.舉一反三：【變式】二次函數(shù)y=a2+b+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=b+b2-4ac與反比例函數(shù)y色也!上在同一坐【答案】由拋物線的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，即（1, a+b+c）在第四象限，因此 a+b+c0;.雙曲線a+b+c的圖象在第二、四象限；由于拋物線開口向上，所以a>0;對(duì)稱軸=->0,所以b<0;2a拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故 b2- 4ac>0;，直線y=b+b2-4ac經(jīng)過(guò)第一、二、四象限.故選D.類型四、函數(shù)的應(yīng)用C6. （2015?舟山）某企業(yè)

17、接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠價(jià)為每只6元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與滿足下列關(guān)系式：J C0<K5）=r：,口（1）李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？（2）如圖，設(shè)第天每只粽子的成本是p元，p與之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象刻畫.若李明第天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元，求w與之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？（利潤(rùn)=出廠價(jià)-成本）(3)設(shè)(2)小題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第( m+1)天的利潤(rùn)比第 m天的利潤(rùn)至少多48元, 則第(m+。天每只粽子至少應(yīng)提價(jià)幾元？【思路點(diǎn)撥】(1)把y

18、=420代入y=30+120,解方程即可求得；(2)根據(jù)圖象求得成本 p與之間的關(guān)系，然后根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到W與的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；(3)根據(jù)(2)得出m+1=13根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)得出提價(jià)a與利潤(rùn)w的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可.【答案】解：(1)設(shè)李明第n天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為 420只，由題意可知：30n+120=420,解得n=10.答：第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為 420只.(2)由圖象得，當(dāng) 0WW9時(shí)，p=4.1 ;當(dāng) 9WW 15 時(shí)，設(shè) P=+b,把點(diǎn)(9, 4.1 ), (15, 4.7)代入得，,

19、I15k+b=4. 7解得產(chǎn)0,1, 1 b=3. 2.p=0.1+3.2 ,0WW5 時(shí)，w= (6 4.1 ) X 54=102.6,當(dāng)=5 時(shí)，w最大=513 (元)；5<<9 時(shí)，w= (6 4.1 ) X ( 30+120) =57+228,是整數(shù),當(dāng)=9時(shí)，w最大=714 (元)；9<< 15 時(shí)，w= (6- 0.1 - 3.2 ) X ( 30+120) =-32+72+336, a= - 3 V 0,，當(dāng)=一上=12時(shí)，w最大=768 (元)；2a綜上，當(dāng)=12時(shí)，w有最大值，最大值為 768.(3)由(2)可知 m=12 m+1=13,設(shè)第 13 天提價(jià) a 元，由題意得， w3= (6+a-p) (30+120) =510 (a+1.5),.510 (a+1.5 ) - 768>48,解得 a=0.1 .答：第13天每只粽子至少