函數(shù)的單調(diào)性講義

1、都江堰校區(qū) (數(shù)學(xué)) 輔導(dǎo)講義任課教師：岳老師 Tel:課題函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)盤查一函數(shù)的單調(diào)性1.判斷正誤(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性()(2)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(3)>f(3)()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩個自變量”改為“存在兩個自變量”().1 ,(4)函數(shù)y=1的單調(diào)遞減區(qū)間是(一00, 0)U (0, +00)()x(5)函數(shù)y= f(x)在1 , +8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1, +oo)()2 .(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)y = x22x(xC 2,4)的增區(qū)間為.3 .若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(一oo, +o

2、o)上是減函數(shù)，則k的取值范圍是. 基礎(chǔ)盤查二函數(shù)的最值4 .判斷正誤(1)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值()一 .11(2)函數(shù)y= x在1,3上的取小值為3()2一，一，5.(人教A版教材例題改編)已知函數(shù)f(x) = 一；(xC 2,6)，則函數(shù)的最大值為 .x1【答案】1. (1)天2)"3)抬)初 ?<2. 2,4; 3. (8, ；j； 4. (1) *2)/5. 2必備知識1:單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間D?I,如果對于任意x1, x2CD,且x1<x2,則有：(1)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)？f(x1)<f(x2);(2)f(x)在區(qū)間D上是

3、減函數(shù)？f(x1)>f(x2).一 f、1 :f ：x2：f*1 f：x2：設(shè)Xi , x2e a, b,如果>0,則f(x)在a, b上是單調(diào)遞增函數(shù)，如果Xi X2X1 X2<0,則f(x)在a, b上是單調(diào)遞減函數(shù).必備知識2:確定單調(diào)性的方法(i)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法：先求定義域，再取值 一作差一變形一確定符號一下結(jié)論.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性 寫出它的單調(diào)區(qū)間.典題例析【例il下列四個函數(shù)中，在(0, +00)上為增函數(shù)的是()A. f(x)

4、 = 3 xB. f(x)=x2 3xiC. f(x) = 一二D. f(x)=一x|【解析】選C當x>0時，f(x) = 3 x為減函數(shù);討日3一2f(x) = x 3x為減函數(shù),當x*, + OO討,f(x) = x2 3x為增函數(shù)；當xqo, +8)時，f(x)= 為增函數(shù)；當xM /x+1 (0, +8)時，f(x)=x|為減函數(shù).故選C.【例2】判斷函數(shù)g(x) = ；在(1, +8)上的單調(diào)性.x 12xi 2x22?xi x2?解】任取xi,x2qi,+00),且 xi<x2,貝ug(xi) g(x2)= 二,xi 1 x2 i ：xi i 二x2 i：因為 i<

5、;xi<x2,所以 xi x2<0, (xi - i)(x2- i)>0,因此 g(xi)-g(x2)<0,即 g(xi)<g(x2).故g(x)在(i, + °°)上是增函數(shù).必備知識2:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致典題例析【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.f(x)= 3卜|；(2)f(x)= |x2 + 2x- 3;(3)y= x2+ 2岡+ i.3x,x> 0,【解】(i)，f(x)=3|x|= i圖象如圖所示.3x,x<0.f(x)在(8, 0上是減函數(shù)，在0, +8)上是增函數(shù).(2)令 g(x)=x2 + 2x 3

6、 = (x+ 1)24.i 丁先作出g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x 不、軸下方“4書二才的圖象翻到x軸上方就得到f(x)=x2+2x3的圖象，如圖所示.由圖象易得：函數(shù)的遞增區(qū)間是 3, -1, 1, 函數(shù)的遞減區(qū)間是(一00, -3, -1,1.-x2+2x+ 1, x>0,由于 y =2x 2x+ 1, x<0,畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(一8, 單調(diào)遞減區(qū)間為 1,0和1 , +8).【例4】求函數(shù)y=W+x_6的單調(diào)區(qū)間.【解】令u = x2 + x6, y=dx2+ x-6可以看作有y=VU與u = x2+x 6的復(fù)合函數(shù).由 u=x2 +

7、 x 6>0,得 x0-3 或 x>2.2u = x+x 6在(一8, 3上是減函數(shù)，在2, +8)上是增函數(shù),而y=也在(0, 十 °°)上是增函數(shù). - y x + x 6的單調(diào)減區(qū)間為(一0°, 3,單調(diào)增區(qū)間為2 , + °°).必備知識3復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：如果函數(shù)v= f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)問b, c上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x), xCa, c在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y= f(x) 在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x), x

8、a, ©在乂= b處有 最小值f(b).【多角探明】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，歸納起來常見的命題角度有:(1)求函數(shù)的值域或最值；(2)比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大??；(3)解函數(shù)不等式；(4)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值.角度一：求函數(shù)的值域或最值【例5】函數(shù)f(x) = ；x' x'' 的最大值為.I-X2 + 2, x<11 .【解析】當X1時，函數(shù)f(x) = 1為減函數(shù)，所以f(x)在x=1處取得最大值，為f(1)=1； X當x<1時，易知函數(shù)f(x) = x2+2在x=0處取得最大值，為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.角度二：比較

9、函數(shù)值或自變量的大小【例6】設(shè)函數(shù)f(x)是(oo, +OO)上的減函數(shù)，則()A. f(a)>f(2a)C. f(a2+a)<f(a)-2-B. f(a2)<f(a)D. f(a2+1)<f(a)【解析】選D由a2+1 a= a 2) + 4，得a2+1>a,又僅)是R上的減函數(shù)，；f(a2 + 1)<f(a).【例7】(2014廣州模擬)已知函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，且在(1, +oo)上單調(diào) 遞增，設(shè)a = f 2 j b= f(2), c= f(3),則a, b, c的大小關(guān)系為()A. c<b<aB. b<a<

10、cC. b<c<aD. a<b<c【解析】選B :函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，a = f 2 '= f !；又y = f(x)在(1 , +oo)上單 一、一，5一調(diào)遞增，.(2)<£5 Kf(3),即 b<a<c.角度三：解函數(shù)不等式【例8】f(x)是定義在(0, +8比的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy) = f(x) + f(y), f(3)=1,當f(x) + f(x 8) &寸，x的取值范圍是()A. (8, +oo)B. (8,9C. 8,9D. (0,8)【解析】選 B 2=1 + 1=f(3) + f(3) = f(9),

11、由 f(x) + f(x-8)<2,可得 fx(x-8) <f(9),ix?x- 8?<9,x> 0, 因為f(x)是定義在(0, +8)上的增函數(shù)，所以有x x-8>0,解得8<x09.角度四：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值p.a-2：x, x> 2,滿足對任意的實數(shù)x1Wx2,都有【例9】已知函數(shù)f(x)=|x1 x2-1，x<2<0成立，則實數(shù)a的取值范圍為()138A. ( 8, 2)B.C. ( 8, 2D.a 2<0,【解析】選B由題意可知，函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有門,I ?a-2?x 2< a1,由此解得

12、aW竽，即實數(shù)a的取值范圍是子羽.類題通法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)， 然后利用函數(shù) 的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將f'符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)問，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a, b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(4)利用單調(diào)性求最值.應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.一、選擇題1

13、.下列說法中正確的有()若x1, x26 I,當x1<x2時，f(x1)<f(x2),則y=f(x)在I上是增函數(shù)；函數(shù)y=x2在R 一一 11 一上是增函數(shù)；函數(shù)y= I在止義域上是增函數(shù)；丫:的單調(diào)區(qū)間是( 8, 0) U (0, +8). xxC. 2個D. 3個【解析】選A函數(shù)的單調(diào)性的定義是指定義在區(qū)間I上任意兩個值Xi, X2,強調(diào)的是任意，從而不對；y=x2在x>0時是增函數(shù)，x<0時是減函數(shù)，從而y=x2在整個定義域,一，、，一1 一上不具有單調(diào)性；y= 1在整個定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，如3<5而f(3)>f(5);y x1 一=1的單調(diào)遞

14、減區(qū)間不是(一0°, 0) L(0, +oo),而是(oo, 0)和(0, +oo),江息與法. x2 .函數(shù)f(x)=x 2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A. 1,2B. -1,0C. 0,2D. 2, +oo)x2-2x, x>2,【解析】選A 由于f(x)=|x 2k=_2結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間k 八 1八，,、.是1,2.3. (2015黑龍江牡丹江月考)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且當 x>1 時，f(x) = 3x 1,則(八 ”，3 一A8尸Q尸。321Df/fa尸心【解析】選B由題設(shè)知，當x<1時，f(x)單調(diào)遞減，當x&

15、gt;1時，f(x)單調(diào)遞增，而x= 1為對稱軸,明1+1)=«-1)= f(2,，又1d1,毛卜殺即遍爆 4.創(chuàng)新題？定義新運算：當ab時，ab=a；當a<b時，ab=b2,則函數(shù)f(x) =(1x)x(2x), x 2,2的最大值等于()A. - 1B. 1C. 6D. 12【解析】選C 由已知得當一2<x< 1時，f(x) = x 2,當1<x0 2時，f(x) = x32；f(x) =x 2, f(x) = x3 2在定義域內(nèi)都為增函數(shù).f(x)的最大值為f(2) = 232 = 6.5 .函數(shù) y= x 3|恒+1|的()B.最小值是-4,最大值是0

16、A.最小值是0,最大值是4C.最小值是-4,最大值是4D.沒有最大值也沒有最小值'4?x> 3?【解析】選C y=X 3|X+1|=< 2x+ 2 ?- 1&x<3。 作出圖象可求.4 X<1 ：6 . (2015長春調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x) = 0,且在(一8, 0)上單 調(diào)遞增，如果 xi + x2<0 且 xix2<0,則 f(xi) + f(x2)的伯：()A.可能為0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可負【解析】 選 C 由 xix2<0 不妨設(shè) xi<0, x2>0. .xi + x

17、2<0, -xi< x2<0.由 f(x) + f( x)=0知 f(x)為奇函數(shù).又由 f(x)在(一oo, 0)上單調(diào)遞增得，f(xi)<f(x2)= 一f(x2),所以 f(xi) + f(x2)<0.故選C.、填空題7 .已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若fx !<f(i),則實數(shù)x的取值范圍是.【解析】由題意知f(x)為R上的減函數(shù)且f x )f(i)；則: >i,即|x|<i,且xw 0.故一 i<x<i 且 xw 0.8 .已知函數(shù)f(x) = x22ax3在區(qū)間i,2上具有單調(diào)性，則實數(shù) a的取值范圍為【解析】函數(shù)f(

18、x) = x2 2ax 3的圖象開口向上，對稱軸為直線x 畫出草圖如圖所示.由圖象可知，函數(shù)在(一00, a和a, +8)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間i,2上具有單調(diào)性, 只需 a&i 或 a>2,從而 aq oo, iL2, +8).答案：(8, iU2, +oo)fi, x>0,9 .設(shè)函數(shù)f(x)=<0, x=0,g(x) = x2f(x i),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是.T, x<0,x2, x>1,【解析】由題意知g(x) =<0, x= 1,函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)-x； x<1.問是0,1).ax 1 .10 .設(shè)

19、函數(shù)f(x) = xqW在區(qū)間(一2, +00)上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是.ax+2a2-2a2+12a2-1【解析】f(x)=a, =函數(shù)f(x)在區(qū)間(一2, +00)上是增函數(shù).x+2ax+2a2a21 >0,2a2 1 >0,. i?1?a>1.答案1, +oo)、-2a0 2、a>1三、解答題11 .已知定義在區(qū)間(0, +8)上的函數(shù)f(x)滿足fx1卜f(x1)-f(x2),且當x>1時，f(x)<0.(1)求f的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)= 1,求f(x)在2,9上的最小值.【解】(1)令 x1 = x2&g

20、t;0,代入得 f(1) = f(x1) f(x1) = 0,故 f(1) = 0. 一一 .x1.一， 一.(2)證明：任取 x1 , x2q0, +00),且 x1>x2,則7>1 ,由于當 x>1 時，f(x)<0,x2所以<°，即 f(x1)f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, +8)上是單調(diào)遞減函數(shù).f(x)在(0, +8)上是單調(diào)遞減函數(shù).f(x)在2,9上的最小值為f(9).,x1-9_由 f£戶f(x。一f(x2)得，f6卜f(9)-f(3),而 f(3) = 1,所以 f(9)= 2.f(x)在2,9上的最小值為一2.12 .已知函數(shù) f(x)對于任意 x, yC R,總有 f(x) + f(y) = f(x+ y),且當 x>0 時，f(x)<0, f(1)23 .(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù);求f(x)在 3,3上的最大值和最小化【證明】(1)設(shè) Xi>X2,則 f(Xl) f(X2)= f(Xl X2 + X2) f(X2)= f(Xl X2)+ f(X2) f(X2)= f(Xl X2).又