勾股定理與幾何證明的綜合

1、勾股定理與幾何證明的綜合1 .如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解：如圖 2,在四邊形ABCD中，AB=AD , CB=CD ,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB , CD與BC, AD之間的數(shù)量關(guān)系.猜想結(jié)論：(要求用文字語言敘述)寫出證明過程(先畫出圖形，寫出已知、求證)(3)問題解決：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形 ACFG和正方形ABDE ,連 接 CE , BG , GE ,已知 AC=4 , AB=5，求 GE 長(zhǎng).S國(guó)二2 .問題：如圖（1）,在Rt AC

2、B中，/ ACB=90 °, AC=CB , / DCE=45 °,試探究 AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系.探究發(fā)現(xiàn)小聰同學(xué)利用圖形變換，將 ACAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90符至ij ACBH，連接EH ,由已知條件易得 Z EBH=90 °,/ ECH= / ECB+ / BCH= / ECB+ / ACD=45 °.根據(jù)邊角邊”，可證4CEH,得EH=ED .在Rt HBE中，由 定理，可得 BH2+eb2=eh2,由bh=ad ,可得ad、DE、EB之間的等量關(guān)系是 實(shí)踐運(yùn)用（1）如圖（2）,在正方形 ABCD中，4AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊

3、上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等， 求/EAF的度數(shù)；（2）在（1）條件下，連接 BD,分別交AE、AF于點(diǎn)M、N,若BE=2 , DF=3 , BM=2訛，運(yùn)用小聰同學(xué)探究的 結(jié)論，求正方形的邊長(zhǎng)及 MN的長(zhǎng).B EC圖（2）3 .如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），點(diǎn) Q在CD邊上，且BP=CQ ,連接AP、BQ交于點(diǎn)E,將 BQC沿BQ所在直線對(duì)折得到 BQN，延長(zhǎng)QN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M .(1)求證：APXBQ ;(2)若 AB=3 , BP=2PC ,求 QM 的長(zhǎng);D Q C(3)當(dāng) CP:BP=1:3 時(shí)，求 AM:AB 的值.BD 14 .已知 人d中

4、，為 的中點(diǎn)，直線 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)，過 JJ于百，ME 1八、于百n m J 八、CF ±旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.J圖2S35 .閱讀下面的材料小明遇到這樣一個(gè)問題(1) 如圖1, 點(diǎn)P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA,PB,PC 若PA=2, PB=4, / APB=135° , 求PC的長(zhǎng)度。 小明通過探索發(fā)現(xiàn) BA=BC, / ABC=90° ,把 ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ,這樣可求出PC的長(zhǎng)度。(2)如圖2, 在四邊形 ABCD中， 已知 ABC是等邊三角形，/ ADC=30° , AD

5、=3, BD=5,求邊CD的長(zhǎng)度。6 .如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA PB, PC ,以BP為邊作 PBQ 60 ,且BQ BP , 連結(jié)CQ. (1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。(2)若PA:PB:PC 3:4:5 ,連結(jié)PQ,試判斷APQC的形狀，并說明理由.7 .如圖，M為正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，MA=2, MB=4, /AMB=135° ,計(jì)算 MC的長(zhǎng)DC8 .如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AB= AC, D是ABCft一點(diǎn)，且/ DACW DCA=15 , 求證：BD= BA9.如圖 1, RtA ABC RtAEDF,/ACB=/ F=90 °, /A=/E=30°. EDF 繞著邊 AB 的中點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， DE, DF 分別交州號(hào)AC于點(diǎn)M , K.(1)觀察：如圖2、圖3,當(dāng)/ CDF=0° 或 60°時(shí)，AM+CKMK(填“ >如圖4,當(dāng)/ CDF=30°時(shí),AM+CK MK(只填“ >”或“ <”).(2)猜想：如圖