數(shù)學(xué)建模 創(chuàng)意平板折疊桌

1、B題 創(chuàng)意平板折疊桌摘 要本文針對折疊桌的特點，將其抽象成簡單的數(shù)學(xué)模型，按題目中的要求，應(yīng)用立體幾何圖形和運籌學(xué)的方法建立數(shù)學(xué)模型并求解。對問題一，依據(jù)題目中的數(shù)據(jù)應(yīng)用Matlab和SolidWorks軟件，對折疊桌的運動過程進行動態(tài)模擬和分析，然后將該折疊桌抽象成立體幾何圖形建立模型，應(yīng)用幾何圖解法和向量法，對折疊桌的桌腿長和桌腿木條開槽的長度進行求解得到開槽長度為：i1234567891004.3567.66410.36812.59314.39315.80316.84517.53117.873說明最外側(cè)最內(nèi)側(cè)并得到桌角邊緣線的方程，見（）對問題二，折疊桌放置在地面，不考慮木條的形變時，只

2、有四個邊緣桌腿受力，鋼筋對各個桌腿的力為零。假設(shè)折疊桌與木地面有一定的摩擦力，對桌腿進行受力分析，桌腿只在兩個端點處受力，是二力桿，根據(jù)木頭間的摩擦因數(shù)即可得到桌腿發(fā)生自鎖時桌腿與豎直方向的最大角度。給折疊桌一個穩(wěn)定安全因數(shù)，便可得到折疊桌的安全角度。根據(jù)大小，桌面高度和圓形桌面直徑，可以得到各個桌腿長度。加工程度考慮木條槽長的總長，因此得到優(yōu)化目標(biāo)為加工的木條槽長最短，當(dāng)桌高70 cm，桌面直徑80 cm時，解得木板長a=167.416cm鋼筋距邊緣桌腿末端的距離為cm針對問題三，我們在問題一的基礎(chǔ)上將其模型進行一般化處理，從桌面邊緣線的形狀，大小出發(fā)，給出軟件設(shè)計的模型。在該模型設(shè)計的基礎(chǔ)

3、上，我們根據(jù)自己設(shè)定的參數(shù)，相應(yīng)地應(yīng)用SolidWorks設(shè)計新型的平板折疊桌，其中有菱形桌面和橢圓型桌面，見圖6圖12。關(guān)鍵字：立體幾何圖形 動態(tài)模擬 自鎖 SolidWorks 一、問題的重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度（見圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 給定長方形平板尺寸為120 cm × 50

4、 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。3. 公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折

5、疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團隊的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個你們自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。（附件：視頻）二、基本假設(shè)1、假設(shè)折疊桌木條間沒有空隙，且木條間的摩擦不計。2、假設(shè)折疊桌木材質(zhì)量可靠，在受力狀態(tài)下不會形變。3、假設(shè)桌子各部分間銜接良好。4、假設(shè)折疊桌的木條的寬度和折疊桌平板的厚度不變。三、符號說明1、r表示圓桌的直徑2、圓桌上第i根木條的長度3、第i根桌腿的

6、長度4、第i根桌腿的槽長四、模型的建立與求解問題一1、問題的分析問題一中給出了長方形平板的尺寸為120cm×50cm×3cm，并且給定了鋼筋的位置（鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置），折疊后桌子的高度為53 cm（看做桌子上表面與地面的距離），以及每根木條寬2.5 cm。因此我們首先依據(jù)該尺寸，應(yīng)用Matlab和SolidWorks 2008軟件 在計算機上模擬出該折疊桌的實物，并制作出了一小段動畫如圖1和動畫演示視頻（見附件）。圖1在此基礎(chǔ)上，我們根據(jù)折疊桌模型的制作，對該折疊桌進行數(shù)學(xué)圖形的轉(zhuǎn)化，對實物圖進行抽象，如圖2，在根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)進行計算。 將桌腿看做沒

7、有寬的線 根據(jù)實際將線設(shè)定寬度 將木條折疊圖22、模型的建立（抽象立體圖解模型）圖3在圖3中有， 其中i表示第i根木條。根據(jù)勾股定理可以得到 所以可以得到桌子的每根腿的長度為 圖4在圖4中，當(dāng)折疊桌的桌腿運動變化時，折疊桌最外側(cè)兩條腿AG、DJ與鋼筋BC，鉸鏈A、D連線所形成的面始終是平面，且ABCD為矩形。作如圖輔助線有，MQHR在yOz面內(nèi)，ANPU垂直于地面，MNPQ為地面（G、J在地面上），BSMR交AN于K，F(xiàn)LHQ交EL于L，,則有 在中，由勾股定理可得， 其中，從而我們可以得到h的值（鋼筋在最外側(cè)位置到y(tǒng)Oz面的距離）。在中，由勾股定理可得，即 從而我們可以得到的值（槽的靠近桌腿

8、端與圓桌面邊緣的距離EF）。進而由上述式子，我們可以得到槽長 在圖4中，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)第i根木條的中心線與圓桌邊緣的交點E(),則F點坐標(biāo)為，所以EF的方向向量.則EF上任意一點T的坐標(biāo) 其中，t為參數(shù)，t表示該點T到圓桌邊緣E點的距離。當(dāng)時，即可以得到桌面邊緣線方程。3、模型的求解應(yīng)用上述模型，我們代入數(shù)據(jù)：長方形平板的尺寸為120cm×50cm×3cm，并且給定了鋼筋的位置（鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置），折疊后桌子的高度為53 cm，以及每根木條寬2.5 cm。將a=1200mm，r=500mm, d=25mm代入式和可得：當(dāng)i=1,2,，10時，AR長

9、度，折疊桌的桌腿的值如表1：表1i123456789107.80613.1716.5418.99820.87922.32623.41924.20624.71724.96952.19446.8343.4641.00239.12137.67436.58135.79435.28335.031因為折疊桌的桌面的底面到地面的距離s=53-3=50mm，可由得：折疊桌最外邊緣木條與豎直面的夾角同時聯(lián)立可得，折疊桌各木條的槽長，如表2所示：表2 折疊桌各木條的槽長（i=1表示桌腿在最外端，i=10表示桌腿在最內(nèi)端）i1234567891004.35647.663710.368412.592614.39301

10、5.803116.844517.531417.8728令，可得折疊桌的桌腳邊線的方程為： （）通過Matlab軟件的plot語句，可得桌面邊緣線圖形，如圖5：圖5問題二1、問題的分析先對邊緣桌腳進行受力分析:假設(shè)桌子整體重力為mg，則=，桌腿保持穩(wěn)定時，。假設(shè)折疊桌放置木板地面上，經(jīng)查資料可知，木頭與木頭之間的摩擦因數(shù)的取值范圍在0.40.6之間，考慮到桌子的必須保持穩(wěn)固，取，得到。由此可知，當(dāng)折疊桌保持穩(wěn)定時，邊緣桌腿與豎直方向的夾角取值范圍是。題中要求折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。當(dāng)較小時，在同一側(cè)的邊緣桌腳距離小，折疊桌不穩(wěn)定，因此給出折疊桌的安全因數(shù)，得到2、模型

11、的建立與求解折疊桌的穩(wěn)固性好，要求，加工方便，需要木條的槽長之和最短，用材最少，則材料面積小。因此考慮多目標(biāo)規(guī)劃問題中的加權(quán)系數(shù)法。為參變量，木條的槽長之和最短，材料長度最?。▽挾葹镈，已知）a為優(yōu)化目標(biāo)，但是在賦權(quán)時，權(quán)值分別為0-0.7 與1-0.3時，最優(yōu)解不變，當(dāng)權(quán)值為0.8和0.2時，最優(yōu)解發(fā)生突變，因此，加權(quán)系數(shù)法無法解決折疊桌的設(shè)計問題。因此我們轉(zhuǎn)而考慮當(dāng)，折疊桌最穩(wěn)固時，求各個加工參數(shù)的值。桌面高度已知，桌面直徑已知，加工程度考慮木條槽長的總長，因此得到：優(yōu)化目標(biāo)為：Min約束條件為： （1）圓桌上第i根木條的長度與第i根桌腿的長度和為木板總長度的二分之一：（2）邊緣桌腿與豎直

12、方向的夾角為：（3） 第i條桌腿的槽長等于折疊桌折疊成桌后鋼筋的位置減去折疊桌平鋪狀態(tài)時鋼筋時的位置：（4） 對在圓桌上第i根木條應(yīng)用勾股定理得：（5）由之前的條件可知： （6）為了使折疊桌折疊成桌后美觀，鋼筋在桌面的投影所在直線要與圓形桌面相交：（7） 折疊桌在折疊過程中，鋼筋的位置條件需滿足：（8）每根木條槽長需要滿足的條件為：即： Min 考慮到木料切割加工的方便程度以及視覺上的美觀性，我們令桌腿的寬度d=2.5cm。又已知，當(dāng)桌高70 cm，桌面直徑80 cm，將H=70，D=80，d=2.5cm代入約束條件，用Lingo求解，得到的解如下：木板長a=167.4156cm;鋼筋距邊緣桌

13、腿末端的距離為cm.每個木條的槽長分別是：（i=1表示桌腿在最外端，i=16表示桌腿在最內(nèi)端）表305.318099.4056212.8884315.9390418.6341521.0164223.1130424.943026.520327.855728.957329.831530.483230.915831.131631.131630.915830.483229.831528.957327.855726.520324.943023.113021.016418.6341515.9390412.888439.405625.318090表4 每根桌腿的長度分別是：（i=1表示桌腿在最外端，i=10

14、表示桌腿在最內(nèi)端）73.786266.798162.238358.739155.897153.526151.521849.819248.374647.157346.145345.322444.676644.199143.884643.727343.727343.88444.199144.676645.322446.145347.157348.374649.819251.521853.5260555.8970558.7390662.2383466.7981173.78622問題三1、軟件設(shè)計模型的建立題目要根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料

15、的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。我們可以類比與問題一中所建立的模型，將桌子的桌面變換為一般圖形，并建立相同的坐標(biāo)系和輔助線。如將桌面變?yōu)闄E圓，有：(i=1,2,10) 其中，表示桌面上的木條長度的一半（即RA等半弦長），d表示木條寬度，i表示第i根木條（最外側(cè)為第一根，然后依次向里側(cè)放），表示沿坐標(biāo)軸Oy方向的半徑長度(即O點沿Oy方向到桌子邊緣線的距離)，R表示木條中線與桌面圖形邊緣線的交點到原點O的距離，平板長，表示第i根木條的桌子腿長，又有，所以槽長：，當(dāng)桌面邊緣線的形狀和大小給定后，可以知道：、R，由d可以確定m，從而可以確定。當(dāng)給定

16、高度后，可以確定s 若確定桌腳邊緣線的大致形狀后，可以大致給出h的值，因此可以得到的值，同時由s和h可以確定大小進而得出桌子長度a的值。2、自己設(shè)計的創(chuàng)意折疊桌例如，當(dāng)桌子面為時，高度s=563mm，桌腳邊緣線致形狀為圖7時，可以確定,折疊桌平板的參數(shù)為，各個木條的桌腿長和對應(yīng)的槽長如表5，設(shè)計的折疊桌為圖6、圖7、圖8、圖9。表5i12345桌腿長587.5562.5537.5512.5487.5槽長012.928327.431243.675961.8207i678910桌腿長462.5437.5412.5387.5362.5槽長82.0027104.3262128.8526155.5926184.5062圖6 圖7圖8圖9例如，當(dāng)桌子面為時，高度s=170mm，桌腳邊緣線大致形狀為圖13時，可以確定,折疊桌平板的參數(shù)為，各個木條的桌腿長和對應(yīng)的槽長如表6，設(shè)計的折疊桌為圖10、圖11、圖12、圖13。表6i1234桌腿長pi177.54163.13156.22153.14槽長ci036.1931.0330.09圖10圖11圖12圖13具體創(chuàng)意設(shè)計見附件設(shè)計1和設(shè)計2。五、模型的評價在問題一中，建立空間直角坐標(biāo)系，可以表達出任意一條曲線或者任一曲面的位置和方程，建模過程較為簡單，求解結(jié)果較復(fù)雜在問題二中，首要考慮折疊桌的穩(wěn)固性，先受力分析，在考慮安全因數(shù)，求出了折疊后的的大小