數(shù)學(xué)建模 創(chuàng)意平板折疊桌

1、B題 創(chuàng)意平板折疊桌摘 要本文針對(duì)折疊桌的特點(diǎn)，將其抽象成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，按題目中的要求，應(yīng)用立體幾何圖形和運(yùn)籌學(xué)的方法建立數(shù)學(xué)模型并求解。對(duì)問(wèn)題一，依據(jù)題目中的數(shù)據(jù)應(yīng)用Matlab和SolidWorks軟件，對(duì)折疊桌的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬和分析，然后將該折疊桌抽象成立體幾何圖形建立模型，應(yīng)用幾何圖解法和向量法，對(duì)折疊桌的桌腿長(zhǎng)和桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度進(jìn)行求解得到開(kāi)槽長(zhǎng)度為：i1234567891004.3567.66410.36812.59314.39315.80316.84517.53117.873說(shuō)明最外側(cè)最內(nèi)側(cè)并得到桌角邊緣線的方程，見(jiàn)（）對(duì)問(wèn)題二，折疊桌放置在地面，不考慮木條的形變時(shí)，只

2、有四個(gè)邊緣桌腿受力，鋼筋對(duì)各個(gè)桌腿的力為零。假設(shè)折疊桌與木地面有一定的摩擦力，對(duì)桌腿進(jìn)行受力分析，桌腿只在兩個(gè)端點(diǎn)處受力，是二力桿，根據(jù)木頭間的摩擦因數(shù)即可得到桌腿發(fā)生自鎖時(shí)桌腿與豎直方向的最大角度。給折疊桌一個(gè)穩(wěn)定安全因數(shù)，便可得到折疊桌的安全角度。根據(jù)大小，桌面高度和圓形桌面直徑，可以得到各個(gè)桌腿長(zhǎng)度。加工程度考慮木條槽長(zhǎng)的總長(zhǎng)，因此得到優(yōu)化目標(biāo)為加工的木條槽長(zhǎng)最短，當(dāng)桌高70 cm，桌面直徑80 cm時(shí)，解得木板長(zhǎng)a=167.416cm鋼筋距邊緣桌腿末端的距離為cm針對(duì)問(wèn)題三，我們?cè)趩?wèn)題一的基礎(chǔ)上將其模型進(jìn)行一般化處理，從桌面邊緣線的形狀，大小出發(fā)，給出軟件設(shè)計(jì)的模型。在該模型設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)

3、上，我們根據(jù)自己設(shè)定的參數(shù)，相應(yīng)地應(yīng)用SolidWorks設(shè)計(jì)新型的平板折疊桌，其中有菱形桌面和橢圓型桌面，見(jiàn)圖6圖12。關(guān)鍵字：立體幾何圖形 動(dòng)態(tài)模擬 自鎖 SolidWorks 一、問(wèn)題的重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度（見(jiàn)圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題：1. 給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50

4、 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶(hù)任意設(shè)定的折

5、疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶(hù)所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫(huà)出至少8張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。（附件：視頻）二、基本假設(shè)1、假設(shè)折疊桌木條間沒(méi)有空隙，且木條間的摩擦不計(jì)。2、假設(shè)折疊桌木材質(zhì)量可靠，在受力狀態(tài)下不會(huì)形變。3、假設(shè)桌子各部分間銜接良好。4、假設(shè)折疊桌的木條的寬度和折疊桌平板的厚度不變。三、符號(hào)說(shuō)明1、r表示圓桌的直徑2、圓桌上第i根木條的長(zhǎng)度3、第i根桌腿的

6、長(zhǎng)度4、第i根桌腿的槽長(zhǎng)四、模型的建立與求解問(wèn)題一1、問(wèn)題的分析問(wèn)題一中給出了長(zhǎng)方形平板的尺寸為120cm×50cm×3cm，并且給定了鋼筋的位置（鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置），折疊后桌子的高度為53 cm（看做桌子上表面與地面的距離），以及每根木條寬2.5 cm。因此我們首先依據(jù)該尺寸，應(yīng)用Matlab和SolidWorks 2008軟件 在計(jì)算機(jī)上模擬出該折疊桌的實(shí)物，并制作出了一小段動(dòng)畫(huà)如圖1和動(dòng)畫(huà)演示視頻（見(jiàn)附件）。圖1在此基礎(chǔ)上，我們根據(jù)折疊桌模型的制作，對(duì)該折疊桌進(jìn)行數(shù)學(xué)圖形的轉(zhuǎn)化，對(duì)實(shí)物圖進(jìn)行抽象，如圖2，在根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。 將桌腿看做沒(méi)

7、有寬的線 根據(jù)實(shí)際將線設(shè)定寬度 將木條折疊圖22、模型的建立（抽象立體圖解模型）圖3在圖3中有， 其中i表示第i根木條。根據(jù)勾股定理可以得到 所以可以得到桌子的每根腿的長(zhǎng)度為 圖4在圖4中，當(dāng)折疊桌的桌腿運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，折疊桌最外側(cè)兩條腿AG、DJ與鋼筋BC，鉸鏈A、D連線所形成的面始終是平面，且ABCD為矩形。作如圖輔助線有，MQHR在yOz面內(nèi)，ANPU垂直于地面，MNPQ為地面（G、J在地面上），BSMR交AN于K，F(xiàn)LHQ交EL于L，,則有 在中，由勾股定理可得， 其中，從而我們可以得到h的值（鋼筋在最外側(cè)位置到y(tǒng)Oz面的距離）。在中，由勾股定理可得，即 從而我們可以得到的值（槽的靠近桌腿

8、端與圓桌面邊緣的距離EF）。進(jìn)而由上述式子，我們可以得到槽長(zhǎng) 在圖4中，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)第i根木條的中心線與圓桌邊緣的交點(diǎn)E(),則F點(diǎn)坐標(biāo)為，所以EF的方向向量.則EF上任意一點(diǎn)T的坐標(biāo) 其中，t為參數(shù)，t表示該點(diǎn)T到圓桌邊緣E點(diǎn)的距離。當(dāng)時(shí)，即可以得到桌面邊緣線方程。3、模型的求解應(yīng)用上述模型，我們代入數(shù)據(jù)：長(zhǎng)方形平板的尺寸為120cm×50cm×3cm，并且給定了鋼筋的位置（鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置），折疊后桌子的高度為53 cm，以及每根木條寬2.5 cm。將a=1200mm，r=500mm, d=25mm代入式和可得：當(dāng)i=1,2,，10時(shí)，AR長(zhǎng)

9、度，折疊桌的桌腿的值如表1：表1i123456789107.80613.1716.5418.99820.87922.32623.41924.20624.71724.96952.19446.8343.4641.00239.12137.67436.58135.79435.28335.031因?yàn)檎郫B桌的桌面的底面到地面的距離s=53-3=50mm，可由得：折疊桌最外邊緣木條與豎直面的夾角同時(shí)聯(lián)立可得，折疊桌各木條的槽長(zhǎng)，如表2所示：表2 折疊桌各木條的槽長(zhǎng)（i=1表示桌腿在最外端，i=10表示桌腿在最內(nèi)端）i1234567891004.35647.663710.368412.592614.39301

10、5.803116.844517.531417.8728令，可得折疊桌的桌腳邊線的方程為： （）通過(guò)Matlab軟件的plot語(yǔ)句，可得桌面邊緣線圖形，如圖5：圖5問(wèn)題二1、問(wèn)題的分析先對(duì)邊緣桌腳進(jìn)行受力分析:假設(shè)桌子整體重力為mg，則=，桌腿保持穩(wěn)定時(shí)，。假設(shè)折疊桌放置木板地面上，經(jīng)查資料可知，木頭與木頭之間的摩擦因數(shù)的取值范圍在0.40.6之間，考慮到桌子的必須保持穩(wěn)固，取，得到。由此可知，當(dāng)折疊桌保持穩(wěn)定時(shí)，邊緣桌腿與豎直方向的夾角取值范圍是。題中要求折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。當(dāng)較小時(shí)，在同一側(cè)的邊緣桌腳距離小，折疊桌不穩(wěn)定，因此給出折疊桌的安全因數(shù)，得到2、模型

11、的建立與求解折疊桌的穩(wěn)固性好，要求，加工方便，需要木條的槽長(zhǎng)之和最短，用材最少，則材料面積小。因此考慮多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中的加權(quán)系數(shù)法。為參變量，木條的槽長(zhǎng)之和最短，材料長(zhǎng)度最?。▽挾葹镈，已知）a為優(yōu)化目標(biāo)，但是在賦權(quán)時(shí)，權(quán)值分別為0-0.7 與1-0.3時(shí)，最優(yōu)解不變，當(dāng)權(quán)值為0.8和0.2時(shí)，最優(yōu)解發(fā)生突變，因此，加權(quán)系數(shù)法無(wú)法解決折疊桌的設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此我們轉(zhuǎn)而考慮當(dāng)，折疊桌最穩(wěn)固時(shí)，求各個(gè)加工參數(shù)的值。桌面高度已知，桌面直徑已知，加工程度考慮木條槽長(zhǎng)的總長(zhǎng)，因此得到：優(yōu)化目標(biāo)為：Min約束條件為： （1）圓桌上第i根木條的長(zhǎng)度與第i根桌腿的長(zhǎng)度和為木板總長(zhǎng)度的二分之一：（2）邊緣桌腿與豎直

12、方向的夾角為：（3） 第i條桌腿的槽長(zhǎng)等于折疊桌折疊成桌后鋼筋的位置減去折疊桌平鋪狀態(tài)時(shí)鋼筋時(shí)的位置：（4） 對(duì)在圓桌上第i根木條應(yīng)用勾股定理得：（5）由之前的條件可知： （6）為了使折疊桌折疊成桌后美觀，鋼筋在桌面的投影所在直線要與圓形桌面相交：（7） 折疊桌在折疊過(guò)程中，鋼筋的位置條件需滿(mǎn)足：（8）每根木條槽長(zhǎng)需要滿(mǎn)足的條件為：即： Min 考慮到木料切割加工的方便程度以及視覺(jué)上的美觀性，我們令桌腿的寬度d=2.5cm。又已知，當(dāng)桌高70 cm，桌面直徑80 cm，將H=70，D=80，d=2.5cm代入約束條件，用Lingo求解，得到的解如下：木板長(zhǎng)a=167.4156cm;鋼筋距邊緣桌

13、腿末端的距離為cm.每個(gè)木條的槽長(zhǎng)分別是：（i=1表示桌腿在最外端，i=16表示桌腿在最內(nèi)端）表305.318099.4056212.8884315.9390418.6341521.0164223.1130424.943026.520327.855728.957329.831530.483230.915831.131631.131630.915830.483229.831528.957327.855726.520324.943023.113021.016418.6341515.9390412.888439.405625.318090表4 每根桌腿的長(zhǎng)度分別是：（i=1表示桌腿在最外端，i=10

14、表示桌腿在最內(nèi)端）73.786266.798162.238358.739155.897153.526151.521849.819248.374647.157346.145345.322444.676644.199143.884643.727343.727343.88444.199144.676645.322446.145347.157348.374649.819251.521853.5260555.8970558.7390662.2383466.7981173.78622問(wèn)題三1、軟件設(shè)計(jì)模型的建立題目要根據(jù)客戶(hù)任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料

15、的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶(hù)所期望的形狀。我們可以類(lèi)比與問(wèn)題一中所建立的模型，將桌子的桌面變換為一般圖形，并建立相同的坐標(biāo)系和輔助線。如將桌面變?yōu)闄E圓，有：(i=1,2,10) 其中，表示桌面上的木條長(zhǎng)度的一半（即RA等半弦長(zhǎng)），d表示木條寬度，i表示第i根木條（最外側(cè)為第一根，然后依次向里側(cè)放），表示沿坐標(biāo)軸Oy方向的半徑長(zhǎng)度(即O點(diǎn)沿Oy方向到桌子邊緣線的距離)，R表示木條中線與桌面圖形邊緣線的交點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離，平板長(zhǎng)，表示第i根木條的桌子腿長(zhǎng)，又有，所以槽長(zhǎng)：，當(dāng)桌面邊緣線的形狀和大小給定后，可以知道：、R，由d可以確定m，從而可以確定。當(dāng)給定

16、高度后，可以確定s 若確定桌腳邊緣線的大致形狀后，可以大致給出h的值，因此可以得到的值，同時(shí)由s和h可以確定大小進(jìn)而得出桌子長(zhǎng)度a的值。2、自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意折疊桌例如，當(dāng)桌子面為時(shí)，高度s=563mm，桌腳邊緣線致形狀為圖7時(shí)，可以確定,折疊桌平板的參數(shù)為，各個(gè)木條的桌腿長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的槽長(zhǎng)如表5，設(shè)計(jì)的折疊桌為圖6、圖7、圖8、圖9。表5i12345桌腿長(zhǎng)587.5562.5537.5512.5487.5槽長(zhǎng)012.928327.431243.675961.8207i678910桌腿長(zhǎng)462.5437.5412.5387.5362.5槽長(zhǎng)82.0027104.3262128.8526155.5926184.5062圖6 圖7圖8圖9例如，當(dāng)桌子面為時(shí)，高度s=170mm，桌腳邊緣線大致形狀為圖13時(shí)，可以確定,折疊桌平板的參數(shù)為，各個(gè)木條的桌腿長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的槽長(zhǎng)如表6，設(shè)計(jì)的折疊桌為圖10、圖11、圖12、圖13。表6i1234桌腿長(zhǎng)pi177.54163.13156.22153.14槽長(zhǎng)ci036.1931.0330.09圖10圖11圖12圖13具體創(chuàng)意設(shè)計(jì)見(jiàn)附件設(shè)計(jì)1和設(shè)計(jì)2。五、模型的評(píng)價(jià)在問(wèn)題一中，建立空間直角坐標(biāo)系，可以表達(dá)出任意一條曲線或者任一曲面的位置和方程，建模過(guò)程較為簡(jiǎn)單，求解結(jié)果較復(fù)雜在問(wèn)題二中，首要考慮折疊桌的穩(wěn)固性，先受力分析，在考慮安全因數(shù)，求出了折疊后的的大小