☆排列組合解題技巧歸納總結(jié)材料

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔排列組合解題技巧歸納總結(jié)排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣,但題型多樣,思路靈活,因此解決排列組合 問題,首先要認(rèn)真審題,弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題； 其次要抓住問題的本質(zhì)特征,采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?教學(xué)內(nèi)容1 .分類計數(shù)原理加法原理完成一件事,有n類方法,在第1類方法中有mi種不同的方法,在第2類方法中有 m2種不同的方法,在第n類方法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有：N = m1m2 1Mm種不同的方法.2 .分步計數(shù)原理乘法原理完成一件事,需要分成n個步驟,做第1步有mi種不同的方法,做第2步有m2種 不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那么完

2、成這件事共有：N = m1 m2 | H m.種不同的方法.3 .分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立,任何一種方法都可以獨立地完成這件事.分步計數(shù)原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一個階段,不能完成整個事件.解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1 .認(rèn)真審題弄清要做什么事2 .怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進(jìn)行,確 定分多少步及多少類.3 .確定每一步或每一類是排列問題有序還是組合無序問題,元素總數(shù)是多少及 取出多少個元素.4 .解決排列組合綜合性問題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解題策略1 .特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1

3、.由0,1,2,3,4,5 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置.先排末位共有c3 一口一.然后排首位共有C；最后排其它位置共有A：f由分步計數(shù)原理得C4c3A3=288c4a4c3位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最根本的方法,假設(shè)以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.假設(shè)以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求 ,再處理其它位文案卷 假設(shè)有多個約束條件,往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件實用標(biāo)準(zhǔn)文檔練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,假設(shè)兩種葵花不種在中間,也不種在兩 端的

4、花盆里,問有多少不同的種法？2 .相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素,同時丙丁也看成一個復(fù)合 元素,再與其它元素進(jìn)行排列,同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.由分步計數(shù)原 理可得共有 "A =480種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習(xí)題：某人射擊8槍,命中4槍,4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為203 .不相鄰問題插空策略例3. 一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2

5、個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,那么節(jié) 目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A5種,第二步將4舞蹈插入第一 步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種 A6不同的方法,由分步計數(shù)原理, 節(jié)目的不同順序共有a：a6 種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié) 目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個新節(jié)目不相鄰,那么不同插法 的種數(shù)為 J04 .定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:倍縮法對于某幾個元素順序一

6、定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一 起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),那么共有 不同排法種數(shù)是：a7/a3空位法設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有苗種方法,其余的三 個位置甲乙丙共有 工種坐法,那么共有A4種方法.文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？插入法先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法,還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求從左至右身高逐漸增加, 共有多少排法？或5 .重排問題求哥策略例5,把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法解：完成此事共分六

7、步：把第一名實習(xí)生分配到車間有 乙種分法,把第二名實習(xí)生分 配到車間也有7種分依此類推,由分步計數(shù)原理共有76種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個元素的位置,一般地n不同的元素沒有PM制地安排在m個位置上的排列數(shù)為 mn種練習(xí)題：1 .某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為_42_2 .某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法丁 六,環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于,坐成圓

8、形沒有首尾之分,所以固定一人a4并從此位置把圓形展成直線其余7人共有8-1 !種排法即7 !CKMXXXXKM)ABCDEFGHA一般地,n個不同元素作圓形排列,共有n-1!種排法,如果從n個不同元素中取出 m個元素作圓1 e形排列共有1 Am n練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石,可穿成幾種鉆石圈1207 .多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解：8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔a4種,再排后4個位置上的特殊元素丙有a4種,其余的5人在5個位置上任意 排列有A5種,那么共有A4A4A5種、二

9、"L "'B、'廠般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研練習(xí)題：有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排 中間的3個座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是 3468 .排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的 裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個元素包含一個復(fù)合元素裝入4個不同的盒內(nèi)有A4種方法,根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方 法共有C2A4解決排列組合混合問題,先選后排是最根本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策

10、略相似嗎練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù), 每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,那么不同的選法有192種9 .小集團(tuán)問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1, 5在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把1 , 5 , 2 , 4當(dāng)作一個小集團(tuán)與3排隊共有 A2種排法,再排小集團(tuán)內(nèi)部共有A2A2種排法,由分步計數(shù)原理共有A2A2A2種排法.小集團(tuán)排列問題中,先整體后局部,再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理.練習(xí)題：1 .方案展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,4幅油畫,5幅國畫,排成一行陳列, 要求同一

11、品種的必須連在一起,并且水彩畫不在兩端,那么共有陳列方式的種數(shù)為a2A5A42. 5男生和5女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有A2A5A5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運發(fā)動名額,分給7個班,每班至少一個,有多少種分配方案？文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：由于10個名額沒有差異,把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個空隙.在9個空檔中選6個位置插個隔板,可把名額分成7份,對應(yīng)地分給7個班 級,每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有 C；種分法.將n個相同的元素分成 m份n, m為正整數(shù),每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板, 插入n個元素排成一排的n-i個空隙中,所有分法數(shù)為cnmf練習(xí)

12、題：1 .10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？C42 . x+y+z+w = 100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C103十一,正難那么反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法.這十個數(shù) 字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C3,只含有1個 偶數(shù)的取法有c5c；,和為偶數(shù)的取法共有c5c；+c；.再淘汰和小于 1.的偶數(shù)共9 種,符合條件所感共有c5c；+c；-9有些排列組合問題,正面直接考慮比擬復(fù)雜,而它的反面

13、往往比擬簡捷,可以先求出 它的反面,再從整體中淘汰.練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人 在內(nèi)的抽法有多少種？十二.平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得 逐色種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABcDEF假設(shè)第一步取 AB,第二步取cD,第三步取EF該分法記為AB,cD,EF, 那么c；cjc；中還有ab,ef,cd,cd,ab,ef,cd,ef,abef,cd,ab,ef,ab,cd 共有 a3 種取法,而這些分法僅是AB,cD,EF一種分法,故共有c：c：c；/A；種分法.文案大

14、全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A；n為均分的組數(shù)防止重復(fù)計數(shù).練習(xí)題：1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？C；3C；C：/a2 2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多 少種不同的分組方法 15403 .某校高二年級共有六個班級,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名,那么不同的安排方案種數(shù)為 C：C22a：/a2=90十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2 人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選

15、派方法解：10演員中有5人只會唱歌,2人只會跳舞3人為全能演員.選上唱歌人員為 標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有C；C；種,只會唱的5人中只有1人 選上唱歌人員c5c3c2種,只會唱的5人中只G 人選上唱歌人員有c；c；種,由分類計數(shù)原理共有_ 2 _ 2C3c3+c5c3c4 +c；c；種.解含有約束條件的排列組合問題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步,做到標(biāo)準(zhǔn)明確.分步層次清楚,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終.練習(xí)題：1 .從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會,假設(shè)這4人中必須既有男 生又有女生,那么不同的選法共有 34.2 .

16、3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1 人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方 法.27此題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：* 以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有 多少種？解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在 6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C3

17、種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊模型,裝盒模型等,可使問題直觀解決練習(xí)題：某排共有10個座位,假設(shè)4人就坐,每人左右兩邊都有空位,那么不同的坐 法有多少種？ 120十五.實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入 這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球,并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號 相同,有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有C；種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng),利用 實際操作法,如果剩下3,4,5號球,3,4,5 號盒3號球裝4號盒時,那么4,5 號球有只有1種裝法,同理3號球裝5

18、號盒時,4,5號球有也只有1種裝法, 由分步計數(shù)原理有2C2種對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題,不易用公式進(jìn)行運算,往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收 到意想不到的結(jié)果練習(xí)題:1 .同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡,那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種？92 .給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,那么不同的著色方法有72種十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2X 3X5 乂 7 X 11X13文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔依題意可知偶因數(shù)必先取 2,再從其余5個因數(shù)中任取

19、假設(shè)干個組成乘 積,所有的偶因數(shù)為：C5 +C；十C3 +C： +C；練習(xí):正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共C；12 = 58,每個四面體有3對異面直線,正方體中的 8個頂點可連成3M 58 = 174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比擬復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5X5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同 的選法有多少種？解：

20、將這個問題退化成9人排成3X3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一 行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人 后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續(xù)下去.從3X3方隊中選3人的方法 有C3c2C1種.再從5X 5方陣選出3X3方陣便可解決問題.從5X5方隊中選 取3行3列有C；C；選法所以從5X5方陣選不在同一位紗不同二列的 3人有 C53C3C3c2C1 選法.處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡 要的問題,通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法, 從而進(jìn)下一步解決原來的問題練習(xí)題：某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路,從A走到B的最短

21、路徑有多少種？ C3 = 35十八.數(shù)字排序問題查字典策略例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)?解：N =2q 2A4 A； A； A； =297數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求 的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù).文案大全實用標(biāo)準(zhǔn)文檔練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是3140十九.樹圖策略例19. 3人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳求后,球仍回到 甲的手中,那么不同的傳球方式有 N =10對于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題,不易用 公式進(jìn)行運算,樹圖會收到意想不到的