拉格朗日中值定理的應(yīng)用畢業(yè)論文(1)

1、精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載拉格朗日中值定理的應(yīng)用畢業(yè)論文(1)設(shè)計題目: 用學 業(yè) 指 學 1本科畢業(yè)論文拉格朗日中值定理的應(yīng) 學生姓名：任雯蕾號：202100820223信 息 與計算科2021年5月畢業(yè)論文內(nèi)容介紹范進 科學學學軍院1 題目 選題時間 拉格朗日中值定理的應(yīng)用論文字數(shù)20211125完成時間 值定理、應(yīng)用、極限、收斂 論文題目的20215000關(guān)鍵詞拉格朗日中來源、理論和實際意義：以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成 的一組中值定理是整個微分學地理論基 礎(chǔ),而拉格朗日中值定理是這幾個中值 定理中最重要的一個,具有中值性,在精選公文

2、范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載=精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載=微分中值定理和高等數(shù)學中有著承上啟 下的重要作用.中值定理的主要用于理 論分析和證實,例如為利用導數(shù)判斷函 數(shù)取極值、單調(diào)性、拐點、凹凸性等多 項重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù),從 而可以把握函數(shù)圖像的各種幾何特征. 總之,微分中值定理是溝通導數(shù)值與函 數(shù)值之間的橋梁,是利用導數(shù)的局部性 質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具.拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一 個承上啟下的一個定理,研究其定理的 證實方法,力求正確地理解和掌握它, 并在此根底上深入了解它的一些重要應(yīng) 用,是十分必要

3、的,鑒于課本中對拉格 朗日中值定理的應(yīng)用只是簡單的舉了例 子,而很多研究者也只是研究了它在某 個方面的特殊應(yīng)用,并沒有進行系統(tǒng)的 總結(jié),有鑒于此,將對其應(yīng)用進行了深 入的總結(jié).論文的主要內(nèi)容及創(chuàng)新：課本中對拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是 簡單的舉了例子,而很多研究者也只是 研究了它在某個方面的特殊應(yīng)用,因而精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載對拉格朗日中值定理的理解進行了深入 的分析,介紹了它的幾種證法,并在此 根底上就拉格朗日中值定理的應(yīng)用進行了系統(tǒng)的總結(jié).附：論文本人簽名:任雯蕾2021 年2目 錄 中文摘

4、要1 英文摘要2 引言.3 、拉格朗日中值定理及其證明31.定理內(nèi)容3 2.定 理 意義33.定理證明4二、拉格朗日中值定理的應(yīng)用41.禾U用拉格朗日中值定理證實不等精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 3 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載式52.利用拉格朗日中值定理證實等式63.利用拉格朗日中值定理求極限74.利用拉格朗日中值定理判別級數(shù)斂散6.利用拉格朗 日 中 值 定 理 估值97.利用拉格朗日中值定理延吉函數(shù)性 朗日中值定理判斷根的存在10.利用拉格性12三、結(jié)束14拉格朗日中值定理的應(yīng)用 引言：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定

5、理以及泰勒公式因其中值性, 是微分學的重要的和根本的定理,所以統(tǒng) 稱微分中值定理,以拉格朗日中值定理 作為中央,它們之間的密切關(guān)系可用示 意圖表示如下：特例推廣 羅爾定理 拉格朗日定理 柯西定精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 4 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載理 泰勒公式以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中 值定理是整個微分學的理論根底,特別 是拉格朗日中值定理.由于它建立了導 數(shù)值與函數(shù)值之間的定量聯(lián)系,因而可 用中值定理通過導數(shù)從而研究出函數(shù)的 性態(tài).中值定理的主要用于理論分析和 證實,例如為利用導數(shù)判斷函數(shù)單

6、調(diào)性、 凹凸性、拐點、取極值等各項重要函數(shù) 性態(tài)提供重要理論依據(jù),從而可以準確 的把握函數(shù)圖像的各種幾何特征. 總之,微分中值定理是溝通函數(shù)值與導 數(shù)值之間的重要橋梁,是利用導數(shù)的局 部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具.而 拉格朗日中值定理作為其中一個承上啟 下的定理,力求正確地理解和掌握它, 并在此根底上深入了解它的一些重要應(yīng) 用,這是十分必要的.6一、拉格朗日中值定理及其證實 1.定理 內(nèi)容：假設(shè)函數(shù)f?x?滿足如下條件：？1準閉區(qū)間？a,b?t連2英；?2帝開 區(qū)間？a,b吶可導；那么在？a,b曲至少存在 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 5 =精選公文范文,治

7、理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載=一點？,使f' ?也何意義：函數(shù)y?f?x?在區(qū)間？a,b?±的圖形是連續(xù)光 滑曲線弧AB上至少有一點C,曲線在 C點的切線平行于弦AB.如 圖 ?f?b?f?a? b?a 3. 定理證實：教材證法從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見,假設(shè)f?x?在閉區(qū)間？a,b?W端點的函數(shù)值相等,即 f?a?f?b?,那么拉格朗日中值定理就是羅 爾中值定理f?a?f?b?那么在？a,b?內(nèi)至 少存在一點？使得f' ?0換句話說, 羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一 個特殊情形.所以,我們只須對函數(shù)f?x? 作適當變形,便可借助羅爾中值

8、定理導 出拉格朗日中值定理. f?b?f?a?x證實：作輔助函數(shù) F?x?f?x?b?a 7 顯然,函數(shù)F?x?W足在I區(qū)間?a,b? 上連續(xù),在開區(qū)間 ？a,b?內(nèi)可導,而且 F?a?F?b?于是羅爾中值定理知道,至 少存在一點 ?a?b?, 使 f?b?f?a?f?b?f?a?0. f' ?b?ab?a用 作差法引入輔助函數(shù)法精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載F,？?f,?f?b?施翻？ 作輔助函 數(shù)？x?f?x?f?a? ? ?x?a?b?a? 然,函數(shù)？?x?ft閉區(qū)間？a,b?h連續(xù),在

9、 開區(qū)間？a,b曲可導,？?a?b?0因此, 羅爾中值定理得,至少存在一點？?a,b? 使得？ ？?f'抑?？f' ? 二、拉 格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心,有 著廣泛的應(yīng)用,主要有以下幾個方面： 利用拉格朗日中值定理證實等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求極限、證 明級數(shù)收斂、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、 估值等問題.1.利用拉格朗日中值定理 證實不等式例1當x?0時,證實f?b?f?a?0 ,b?af?b?f?a?b?ax?ln?1?x?x 1?x證實：做輔助函數(shù) f?t?ln?1?t2?社可導,函數(shù)f?t?在定義域？-1,故對于？x>0,有

10、 f?t?ln?1?t在閉區(qū)間？0, x?上連續(xù),在開區(qū)間？0, x?上可導.那么至少存在一點?0 , x?, 使得f?x?f?0?=f?x?0?= x. 1?x, 1?精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 7 =精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載=而 f?0?0, ?f?x? 當 x>0 時,有xxxx?x, ?x,即當x?0時,有1?x1?1?x1?又x?f?x?x,1?xx?ln?1?x?x得證.1?x 對于證實不 等式,關(guān)鍵怎樣構(gòu)造函數(shù), 其后巧用 拉格朗日中值定理, 畫龍點睛恰到好處.所以 例20?-?-?tan?tan?,

11、 證明.？22cos?2cos?明：做輔助函數(shù)f?x?tanx,x?0,?2?1? 于函數(shù)f?x?tanx在？0, ?上連續(xù)可導,且 f?x?, 2cosx?2?于是當 0?時,f?x?在閉區(qū)間內(nèi)可導,2即滿足拉格朗日中值定理的條件.所以 ？?？,?, 使 得f?f?f?有tan?tan?.2cos?又？cos2x?1?cos2x?0, ?上單調(diào)遞減, 2?2? 所以當0 ?時,有0 綜上所得當0拉格朗日定理的應(yīng)用使此題簡化了計算量,對于構(gòu)造函數(shù)也比 較簡單,其優(yōu)勢表現(xiàn)的淋漓盡致.精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡

12、送閱讀下載2.利用拉格朗日中值定理證實等式 12x?arctgx?arccos?(x?1 恒等.例 3 證實 221?x412x?(x)?arctgx?arccos?(x?1)證 明：令 221?x49 那么在(x?1)時 arccos2x 有 意 義, 且 21?x11?' (x)?1?x2211?(1x2?)x2x222(?1x)2x21?()21?x11?x22(1?x2) =?0.22221?xx?1(1?x) 在 x?1時,？(x)?c?1? 又取(1,?)內(nèi)任一點,如 3 , 有？(3)?3264 且？(1)?4?0?4所以端點值也成立, 有推論 arctgx?12x?ar

13、ccos?(x?1恒等.221?x4拉格朗日中值定理知,函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點x1,x2,有 0,所 以 ？?)f(x2)?f(x1)?f' (?)(x2?郝必假設(shè) f'(煩為 0,那么有 f' (f(x2)?f(x1)x1,x2 的任意性可知,f(x)在定義域內(nèi)函數(shù)值恒 等. 例4設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),在 (a,b)內(nèi)可導,且 f(a)?f(b)?1 ,試 求？,？?(a,b)使得 e?| f(?)?f ' (?)=1. 證實：令 F(x)?exf(x), 那么F(x)在a,b上滿足拉格朗日中值定理 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀

14、下載 9 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載條件,ebf(b)?eaf(a)?e I f(?)?f ' (?)o故存在？?(a,b),使得b?aeb?ea?e? f(?)?f ' |(?.條件f(a)?f(b)?1 ,可得 b?a再令？(x)?e, 那么？(x)在a,b上滿足拉格 朗日中值定理條件. x 10故存在？bae?e?(a,b)使 得？e?, b?a?即e綜合上述兩式可得 e?e| f(?)?f ' |(?| f(?)?f ' |(戶1. 用拉格朗日中值定理證實等式也是它的 應(yīng)用中很重要的一項,證實的目標在于 湊出形式類似于

15、拉格朗日中值定理的式 子,尋找時機應(yīng)用.3.利用拉格朗日中 值定理求極限 例5求極限limn9. 1010n?n?1?x?珊：分母是兩式相減的 情形,可構(gòu)造 f(x)?x10 ,f/(x)?10x9 , 易 知函數(shù)在區(qū)間(n?1, n)上是符合定理條件 的. 所以 n10?(n?1)10?10?9 其中 n?1?n,當 n?0寸,?.所以limn?n9n91.?10lim910?10n?n?1?x ?10在有些求極限問題當中,用常規(guī)方 精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 10精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載法很難入手,但是運用拉格朗日中

16、值定 理卻可以迎刃而解,尤其是一些比擬復(fù) 雜的分式的極限計算問題. 例6 證 明 如 果 函數(shù) f?x?在R上可導,極限 limf?x?與limf?x?都存在,那么極限limf?x?0.x?x?x?證實:運用拉格朗日中值定理 設(shè) limf?x?A,那么 limf?x?1?A°x?x?f?x?1?f?x?f?x x?于 是 有?x ?x貝U 有l(wèi)imf?x?limf?x?x?x?lim?f?x?1?f?x?xx?x? ?limf?x?1?limf?x?0o此？limf?x?0.x?4利用拉格朗日中值定理判別級數(shù)的斂散性11例7證實調(diào)和級數(shù)1?111?是否收斂23n證實：可做輔助函數(shù)為f

17、(x)?lnx ,在區(qū)間(N , N?1)上符合拉格朗日中值定理的 要求.那么存在一點？?(N, N?1),使 ln(N?1)?lnN? 所 以有 ln2?ln1?1 , ln3?ln2? 所以精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 11精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載ln(n?1)?1?1?1 N111,ln4?ln3?,ln(n?1)?lnn?, 23n111?, 23n于limln(n?1)?,所以 Sn?1?n?11?發(fā) 散的.2n在級數(shù)斂散性的判別問題上, 可以構(gòu)造輔助函數(shù),研究在(N, N?1)各個區(qū)間上的特點,最后相加可以進行

18、化 簡,利用級數(shù)斂散性的判別法那么給出判假設(shè)一正項級數(shù)？an?an?0?發(fā) 散,sn?a1?a2?a3?.an 證實級數(shù) n?1?asn?n?1n1?斂. 1 證實： 做輔助函數(shù)f?x?x?,那么有f?x?x1?當n?2時在閉區(qū)間 fnn?1n?s,s?t用 拉格朗日中值定理得到n?1nn?1?s?f?s?f?(?ss?snn?1?n?§ n), 于是有a?a?sn?nn1?n1?1?11? ?sn ?1sn?1?11?收 斂,所以 原題得 證.？s?n?2?n?1sn?5.用拉格朗日中值定理估值 對于證實估 值問題,尤其是二級或者二級以上的導 函數(shù)估值,一般情況下通常選用泰勒公 式

19、證實比擬簡便.但是對于某些積分精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載 12=精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載=上的估值,可以采用拉格朗日中值定理 中值定理來證實.12 例9設(shè)導函數(shù)f?x?在？a,c?上連續(xù),且有 f?a?f?b?0 記 M=max 設(shè)設(shè)導函數(shù) f ' (x) 在a,c上連續(xù)且 f(a) = f(b) = 0,記 M = maxf?x?.a?x?cc4f?x?dx?ML 求證：2?a 證實：對任意的b C a,c, 拉格朗日中值定理可 知：？caf?x?dx?f?x?dx=?f?x?f?a?dx?f?c?f?x?dx

20、acccab=?babcc?f?1?x?adx?f?2?c?xdx?M?x?a?dx?c ?x?dx?bb?a?(b?a)2?c?b?2?=M?o2?2?b-a?2?c?b?2?c?a?2a?b? 令 b?,那么有？,?2242?4 所以,原 題得證,即2例10設(shè)f'(/a,b上連續(xù), 且 ?f?x?dx?Mo acf(a)?f(b)?0, 試證4b?aa?b| f' (x) dx? | f(x | ).證實：假設(shè)f(x)?0,不等式顯然成立.假設(shè)f(x)不恒等于零,？c?(a,b使 I f(x )=f(c), 在 (a,c)及精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,

21、感謝閱讀下載13=精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,歡送閱讀下載=f(c)f(c),f ' gc?ba,c止分別用拉氏 中值定理,有 f (?1)?從而 得：)dx? | f,' (x出X ?I r,(x ?b2a?1?12f' ' (x)dx 1? | f' (?2?)f? I' |(?1)fc(?b)(a) | o(b?c)(a?c)(b?a)2再利用(c?a)(b?c)?4即得所證.13,6.利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)性態(tài)假設(shè)f?x?在？a,b?h連續(xù),在？a,b?內(nèi)可導,那么在？a,b?上 f?x?f?x0?f '

22、; ?x?x破可視為函數(shù) f?x?的一種變形,它建立了函數(shù)與導數(shù)的 關(guān)系,我們可以用它來研究有關(guān)函數(shù)性 態(tài),如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等.一致 連續(xù) 例11證實如果f?x?在？a,? 上可導,且？x?a,?有f' ?x?M其中 M?0為常數(shù),那么f?x?在？a,?t一致連續(xù). 證實：？x1,x2?a,?在以 x1,x2 為端 點的區(qū)間上,有f' ?f?x2?f?x1?,且？介于 x1,x2 之 間. x2?x1再利用條件,有 f?x2?f?x1?Mx2?x1 即 f?x?精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案類文檔,感謝閱讀下載14=精選公文范文,治理類,工作總結(jié)類,工作方案

23、類文檔,歡送閱讀下載=在？a,?t滿足Lipschitz條件, 那么 f?x?在？a,?± 一致連續(xù).單調(diào)性 例12試證：假設(shè)函數(shù)f?x?在?0,a? a?0上 可導,f' ?烽調(diào)遞增,且f?0?0,那么函 數(shù)f?x?在？0,a?±單調(diào)遞增.x證實：對任意的 x1,x2?0,a?且 x1?x2 ,貝H f?x? 在？o,x1講口 ？x1,x2?上均滿足拉格朗日中值定理,于是分別存 在 ?0,x1? ,?x1,x2? 使f' ?f?x1?f?0? ' f?x2?f?x1?,f?x1?ox2?x1 于f' ?x?調(diào)遞增,且 f?0?0,所以 f' ?f',? 即： f?x1?f?x2?f?x1?f?x1?f?x2?,通分移 項整理得,x1x2?x1x1x2 即函數(shù)有界性f?x?在？0,a?t單調(diào)遞增.x14例13設(shè)在(a,b)內(nèi)f(x)可導且f'(渤界,試證f(x)在(a,b)有界 證實： 任取x0?(a,b),有拉格朗日中值定理知： f(x)?f(x0)?g' (?)(x?x0)? | f(x0 |I x?x | )?M(b?a), )+ | f' (?)| f(x