2017-2018學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊第17章勾股定理命題剖析考點突破(含解析)(新版)新人教版

1、考點弐勾股定理的應(yīng)用（）命題角度【核心題型】求某條線段的具體長度1利用勾股定理解決折疊問題2利用勾股定理解決動點問題3利用勾股定理探索規(guī)律4利用勾股定理求三角形面積5利用勾股定理求點的坐標(biāo)6利用勾股定理解決最短距離問題7利用勾股定理解決最值問題8【核心題型】1.（2017 陜西中考）如圖，將兩個大小、形狀完全相同的 ABC 和厶AB C拼在一起，其中點 A與點 A重合，點C落在邊 AB 上,連接 B C.若/ ACBNACB =90 ,AC=BC=3，則 B C 的長為 導(dǎo)學(xué)號 42684159()【解析】選 A. / ACB=/ AC B =90 ,AC=BC=3,AB=；AC2 + 必蔦血

2、,上 CAB=45 ,/ ABC 和 A B C大小、形狀完全相同，/ C AB =Z CAB=45 ,AB =AB= ,勾股定理命題剖析考點突破B.6-2 -/ CAB =90 .B，c=：C/ +S2=3.2.（2017 揚(yáng)州中考）如圖，把等邊 ABC 沿著 DE 折疊，使點 A 恰好落在 BC 邊上的點 P 處，且 DPI BC,若 BP=4cm,貝 H EC=_ cm.廠【解析】根據(jù)“ 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得 DP=4；cm.根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到/ DPE=/ A=60 ,DP=DA=cm,易得/ EPC=30 , / PEC=90 ,答

3、案:2+2 3.（2017 泰州中考）如圖，在平面內(nèi)，線段 AB=6,P 為線段 AB 上的動點，三角形紙片 CDE 的邊 CD 所在的直線與線段 AB 垂直相交于點 P,且滿足 PC=PA 若點 P 沿 AB 方向從點 A 運(yùn)動到點 B,則點 E 運(yùn)動的路徑長為導(dǎo)學(xué)號 42684160【解析】如圖,E 點運(yùn)動的軌跡與 C 點運(yùn)動的軌跡相同，C 點運(yùn)動的路程是十 J =6-.-4)=2+2 (cm).所以 E-3 -答案:6 -【變式訓(xùn)練】（2015 黑龍江中考）在厶 ABC 中,AB=AC=5,BC=8，點 P 是 BC 邊上的動點,過點 P 作 PD 丄 AB 于點D,PE 丄 AC 于點

4、 E,則 PD+PB 的長是（）A.4.8B.4.8 或 3.8C.3.8D.5【解析】選 A.過 A 點作 AF 丄 BC 于點 F,連接 AP,在厶 ABC 中,TAB=AC=5,BC=8/. BF=4,1 1 1；X8x3=fX5XPD+X5XPE,112= X5X(PD+PE),即 PD+PE=4.8.4.（2017 徐州中考）如圖，已知 OB=1,以 OB 為直角邊作等腰直角三角形AiBO.再【解析】 根據(jù)勾股定理，得 OA=l -,OA2=2,OA3=2l ,OA4=4,以此類推發(fā)現(xiàn)【變式訓(xùn)練】（2016 青海中考）如圖，正方形 ABCD 勺邊長為 2,其面積標(biāo)記為 S,以 CD

5、為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為 S2,按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則 S9的值為（）AF、-BF2=3,以 OA 為直角邊作等腰直角三角形AAO,如此下去，則線段 OA 的長度為A-4 -【解析】選 A.在圖中標(biāo)上字母 E,如圖所示.正方形 ABCD 勺邊長為 2, CDE 為等腰直角三角形DE+C芻CD,DE=CE,當(dāng) n=9 時,S9=J丿=_ .5.（2016 阿壩州中考）直角三角形斜邊長是【解析】直角三角形斜邊長是 5, 一直角邊的長是 3,另一直角邊長為-=4.該直角三角形的面積 S=X3X4=6.答案:66.（2015 濱州中考）如圖，在平

6、面直角坐標(biāo)系中，將矩形 AOCD 沿直線 AE 折疊（點 E 在邊 DC 上）,折疊后頂點 D 恰好落在邊 OC 上的點 F 處.若點 D 的坐標(biāo)為（10,8）.則點 E 的坐標(biāo)為導(dǎo)學(xué)號 42684161【解析】點 D 的坐標(biāo)為（10,8）, OA=8,AD=OC=10.A.B.C.D.S2+S2=&.n -3根據(jù)折疊的性質(zhì)知,AF=AD=10,DE=EF. CF=OC-OF=4.-5 -設(shè) CE=x,則 DE=EF=8-x,AC=3 -,-6 -2 2 2則在 Rt CEF 中,x +4 =(8-x),解得 x=3,點 E 的坐標(biāo)為(10,3).答案:(10,3)【變式訓(xùn)練】(2015 臺州

7、中考)如圖，這是臺州市地圖的一部分，分別以正東、正北方向為 x 軸、y 軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，規(guī)定一個單位長度表示1km.甲、乙兩人對著地圖如下描述路橋區(qū)A 處的位置.則淑江區(qū) B 處的坐標(biāo)是_【解析】過 B 點作正東方向的垂線,垂足為 H,根據(jù)直角三角形中,30。所對的直角邊是斜邊的一半，求得AH=8,再根據(jù)勾股定理求得 BH=8?,所以 B 點的坐標(biāo)為(10,8 I ).7.(2017 十堰中考)如圖，已知圓柱的底面直徑 BC= ,高AB=3,小蟲在圓柱表面爬行，從 C 點爬到 A 點，然后再沿另一面爬回 C 點,則小蟲爬行的最短路程為面爬回 C 點經(jīng)過的路程為 2AC,【解析】選 D

8、.將已知圓柱展開得到如圖所示矩形C.6D.6 ,小蟲從 C 點爬到 A 點,然后再沿另答案:(10,8CAC=3 -,-7 -677因為圓柱的底面直徑 BC=,所以此圓柱的底面周長為6,則展開圖中 AB 的長為 3,所以-8 -所以小蟲爬行的最短路程為61 -.8.（2015 三明中考）如圖，在厶 ABC 中，/ ACB=90 ,AB=5,BC=3,P 是 AB 邊上的動點（不與點 B 重合）,將厶 BCP 沿 CP 所在的直線翻折，得到 B CP，連接 B A,則 B A 長度的最小值是_.導(dǎo)學(xué)號 42684162【解題指南】首先由勾股定理求得 AC 的長度，由軸對稱的性質(zhì)可知 BC=CB

9、=3,當(dāng) B A 有最小值時，即 AB+CB 有最小值，由兩點之間線段最短可知當(dāng)A,B ,C 三點在一條直線上時,AB 有最小值.【解析】 在 Rt ABC 中，由勾股 定理可知：ACH =4,由軸對稱的性質(zhì)可知:BC=CB =3, CB長度固定不變，當(dāng) AB +CB 有最小值時,AB 的長度有最小值.根據(jù)兩點之間線段最短可知:A,B ,C 三點在一條直線上時,AB 有最小值， AB =AC-B C=4-3=1.答案:1【答題指導(dǎo)】1.在求某條線段的具體長度時，常用的方法是把所要求線段放在直角三角形中,使其成為某條邊，利用勾股定理求解.2.在直角三角形中，若已知兩邊的長度，可直接利用勾股定理求

10、另一邊的長度；若已知一邊的長度，又知三邊之間的數(shù)量關(guān)系或角的數(shù)量關(guān)系，從而能得出另外兩邊的數(shù)量關(guān)系時，可設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解.3.解決最短路徑問題的一般步驟是：畫幾何體的側(cè)面展開圖T構(gòu)建最短路徑問題模型T利用軸對稱性質(zhì)與勾股定理（或相似知識）計算求值4.提醒:勾股定理是解直角三角形中體現(xiàn)邊之間關(guān)系的重要部分，所以，當(dāng)由邊求邊時，勾股定理是首選考點 I*勾股定理的驗證及圖形面積（）-9 -10 -命題角度【核心題型】圖形面積與勾股定理1應(yīng)用勾股定理求圖形面積2應(yīng)用勾股定理及圖形面積求代數(shù)式的值3【核心題型】1.（2016 株洲中考）如圖,以直角三角形 a,b,c 為邊,向外作等邊三

11、角形,半圓,等腰直角三角形和正方形A.1B.2C.3D.4【解析】選 D.(1)S1= “ a2,S2= b2,S3= J c2,J3 J3 J3/ a2+b2=c2, 4 a2+ b2= 4 c2,二 S+S?=Ss.7171712 2 2 2,2 2S1= a ,S2= b ,S3= c , / a +b =c ,71 71 71 aSJc2, S+S2=S3.1 1 1S1b,S 31 1 1/ a2+b2=c2, a2+ b2= c2, S+S2=Ss.2 2 2 2 2 2(4)S1=a ,S2=b ,S3=c , / a +b =c , Si +S2=S3.綜上，可得面積關(guān)系滿足

12、S1+S2=S3的圖形有 4 個.上述四種情況的面積關(guān)系滿足S+S2=S3的圖形個數(shù)有-11 -2.(2017 襄陽中考)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為 a,較短直角邊長為 b,若(a+b)2=21,大正方形的面積為 13,則小正方形的面積為()A.3B.4C.5D.6【解析】選 C. / (a+b)2=21,2 2 a +2ab+b =21,大正方形的面積為 13,2ab=21-13=8,小正方形的面積為 13-8=5.3.(2016 黔東南州中考)2

13、002 年 8 月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是 13,小正方形的面積為 1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為 b,那么(a+b)2的值為()導(dǎo)學(xué)號 42684163A.13B.19C.25D.169【解題指南】 根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出 2ab 與 a2+b2的值,原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出17【解析】 選 C.根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13,4 ab=13-1=12,即 2ab=12,則(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25.【答

14、題指導(dǎo)】-12 -1.解答勾股弦圖及面積的有關(guān)問題的關(guān)鍵是通過圖形中的三個正方形與八個全等三角形面積之間的聯(lián)系建立等量關(guān)系-13 -2.趙爽的“弦圖”是 2002 年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo).它隱含了勾股定理的兩種面積證法趙爽的“弦圖”是證明勾股定理的無字證明，充分體現(xiàn)了我國古代的數(shù)學(xué)文明和數(shù)學(xué)文化這類問題通常是采用割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為特殊圖形列出等式求解3.提醒：注意通過割補(bǔ)法解答圖形面積問題考點二丄勾股定理的逆定理及應(yīng)用（）命題角度【核心題型】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形1利用勾股定理的逆定理判斷鈍角三角形2利用勾股定理的逆定理求線段的長3【核心題型】1.（2015 來賓中考）下列

15、各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）B.2,3,4D.1, 丄,【解析】 選 D.1+2=3 不能構(gòu)成三角形，選項 A 錯誤，由 22+32豐42,42+52工 62可判斷 B,C 選項錯誤，因為2.（2016 南京中考）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）為鈍角，即滿足 a2+b2c2,故選 C.3.（2017 安順中考）三角形三邊長分別為_ 3,4,5,那么最長邊上的中線長等于. 導(dǎo)學(xué)號42684164A.1,2,3C.4,5,6A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7【解析】選 C.由,可排除 D;由勾股定理得a2+b2=c2,當(dāng)最長邊比斜邊c 更長時，最大角

16、2,所以 1,能夠組成直角三角形-14 -【解析】/ 32+42=25=52,該三角形是直角三角形12 X5=2.5.-15 -答案：2.5【答題指導(dǎo)】1. 給出三條線段的長度，判定能否構(gòu)成直角三角形的步驟（1）分別計算三條線段的平方（2）看是否滿足較小兩線段的平方和等于最長線段的平方得出結(jié)論2. 提醒:（1）判斷三條線段能否圍成一個直角三角形,判斷兩小邊的平方和與最大邊的平方是否相等即可（2）此類問題容易出錯的地方是不認(rèn)真審題,不進(jìn)行計算，看到,八或 6,7,8 或 2,3,4 就進(jìn)行選擇.考點 E“勾股定理的實際應(yīng)用（）命題角度【核心題型】禾 U 用勾股定理解決兩點間距離問題1利用勾股定理

17、解決高度問題2利用勾股定理解決噪音影響問題3【核心題型】1.（2016 哈爾濱中考）如圖,一艘輪船位于燈塔 P 的北偏東 60方向,與燈塔 P 的距離為30 海里的 A 處,輪船沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔 P 的南偏東 30方向上的B 處，則此時輪船所在位置 B 處與燈塔 P 之間的距離為（）A.60 海里【解題指南】 根據(jù)題意得出：/ B=30 ,AP=30 海里，/ APB=90 ,再利用勾股定理得出 BP 的長，求出答案.【解析】 選 D.由題意可得：/ B=30 ,AP=30 海里，/ APB=90 ,故 AB=2AP=60（海里）,則此時輪船所在位置 B!B2-AP2處與

18、燈塔 P 之間的距離為：BP=J=30（海里）.B.45 海里C.20海里D.30門海里北H-16 -2.（2017 荊州中考）九章算術(shù)中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問折高者幾-17 -何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺）,一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部 6 尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x 尺,則可列方程為（）B.X2-62=(10-X)D.X2+62=(10-X)【解析】選 D.如圖,由題得AC=X,則 AB=10-x,BC=6,在 RtABC中,AC2+BC=AB,2 2 2即X+6=(10-X).3.（2015 上海中考）如圖,MN 表示一段筆直的高速道路，線段 AB 表示高速道路旁的一排居民樓已知點 A 到 MN 的距離為 15 米,BA 的延長線與 MN 相交于點 D,且/ BDN=30 , 假設(shè)汽車在高速道路上行駛時，周圍 39 米以內(nèi)會受到噪音的影響.過點 A 作 MN 的垂線，垂足為點 H.如果汽車沿著從 M 到 N 的方向在 MN 上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點 P 處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點 H 的距離為多少米？導(dǎo)學(xué)號 4268