所有三角函數(shù)公式

1、所有三角函數(shù)公式Document serial number KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108誘導(dǎo)公式常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一的值相等:sin (2k n + a ) =sina (kGZ)cos (2k n + a ) =cos Q (k£Z)tan (2k n + a )=cot (2k n + a )二=tan a (keZ)= cot a (k£Z)公式二：設(shè)a為任意角，H+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin ( n + a )=" cos ( n + a )=-sin a

2、-cos atan ( n + a ) =tan Qcot ( it + Q ) =cot Q公式三：任意角Q與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin ( a ) = sin Qcos ( a ) =cos Qtan ( a ) = tan Qcot ( a ) = cot Q公式四：利用公式二和公式三可以得到兀-。與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin ( n a ) =sin acos ( Ji a )=- tan ( n a )=- cot ( n a )=- 公式五：-COS Q-tan a-cot a利用公式一和公式三可以得到2冗-。與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (2 n a ) =

3、 sin acos (2 n a ) =cos atan (2 n a ) =tanacot (2 n a ) =cot a公式六：冗/2土。及3八/2±。與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin ( n /2+ a ) =cos acos ( n /2+ a ) = sinatan ( n /2 + a )二 cot ( n /2+ a )二=cot Q二一 tan asin ( n /2 a )= COS Qcos ( n /2 a )= sin Qtan ( n /2 a )= cot Qcot ( ji /2 a )= tan Qsin (3 Ji /2+ a)=cos acos

4、(3 Ji /2+ a)=sin atan (3 n /2+ a)=cot acot (3 n /2+ a)=tanasin ( 3 n /2 a)=cos acos ( 3 n /2 Q)=sin atan ( 3 n /2 Q)=cot acot (3 n /2 Q)=tana(以上kez)注意：在做題時(shí),將a看成來做會(huì)比較好做誘導(dǎo)公式記憶口訣上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對于n/2*k ± a (k£Z)的三角函數(shù)值，當(dāng)k是時(shí)，得到a的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當(dāng)k是時(shí)，得到a相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin-*cos ; cosf sin; tanf cot, c ot-*

5、tan.(奇變偶不變)然后在前面加上把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。(符號看象限)例如：sin(2 Ji a ) =sin(4 n/2a), k = 4 為偶數(shù)，所以取 sina。當(dāng) a 是銳角時(shí)，2 n - a 6(270° , 360° ), sin(2n a) V0,符號為 u _ ”o所以 sin(2 n a ) = sin a上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看。公式右邊的符號為把a(bǔ)視為銳角時(shí)，角k- 360° +a (kez) , -a、180° ± a , 3600 -a所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限。

6、#各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正 弦(余割)；三兩切;四余弦(正割)”.這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“ + ”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“ + ”，其余全部是“一”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“ + ”，弦函數(shù)是“一”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“ 十 ”，其余全部是“一”.上述記憶口訣，一全正，二，三內(nèi)切，四#還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù)：類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦+-余弦+-+正切+余切+同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式關(guān)系：tan。 cot a =1sin a esc Q = 1cos a

7、 sec a =1商的關(guān)系：sin a /cos a =tan a =sec Q /esc a cos a /sin a =cot a =csc a /sec a 關(guān)系：sin-2( a ) + cos'2( a ) =1l + tan2 ( a ) =sec2( Q )l + cot-2 ( a ) =csc'2( a )兩角和差公式兩角和與差的sinsina + B) =sin Q cos B+cos Q sin 6QB) = sin a cos P cos a sin P cos ( Q + B ) =cos Q cos P sin a sin 0 cos ( a P )

8、 =cos o cos P +sin a sin Ptan ( a + B ) = (tan a +tan B ) / (1 -tan Q tan B )tan ( q B ) = (tan Q tan P ) / (l+tan Q tan B )二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升暴縮角公式)sin2 Q =2sin Q cos Qcos2 a =cos-2( Q ) sir/2 ( Q ) =2cos-2 ( a ) 1 = 1 2sin2 ( a )tan2 Q =2tan a /l tan2(a )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(擴(kuò)角公式)sin"2(a /2) =

9、 (1 cos。)/ 2cos'2 ( a /2) = (1+cos a ) / 2tan"2 ( Q /2) = (1cos Q ) / (1 + cos a )另也有 tan( Q /2) = (1 cos a )/sin a =sin a / (1+cos Q )萬能公式萬能公式sin a =2tan(a /2)/l+tan*2(a /2)cos a =l-tan"2 ( Q /2) / l+tan2 ( a /2) tana =2tan( a /2)/1 -tar/2( Q /2)萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2 Q 二2 sin a cos a =2sin a

10、 cos a / (cos-2 ( a ) +sin2 ( a )*,(因?yàn)?co因2( a )+si為2( a )=1)再把*分式上下同除 cos-2 ( « ),可得 sin2 a =2tan a / (1 + tan-2 ( a ) 然后用a/2代替a即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角推導(dǎo)可借助二倍角公式，可以自行證明三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 Q =3sin a 4sirT3(Q )cos3 Q =4cos"3 ( a ) 3cos atan3 Q = 3tan Q tan3 ( a ) / 1 3tan2

11、 ( a )三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo):tan3 Q =sin3 Q /cos3 Q=(sin2 Q cos a +cos2 a sin a ) / (cos2 a cos a -sin2 a sin a )=(2sin a cos"2 ( a ) +cos"2( a ) sin a sin3 ( a )/(cos"3( a ) cos Q s in 2 ( a ) 2sir/2(a ) cos a )上下同除以cos-3(a),得：tan3 Q = (3tan Q tan 八 3(。)/ (1 -3 tan”( a )sin3 a =sin(2 a +。)=sin2

12、a cos Q +cos2 Q sin Q=2s in a cos2( a ) + (1 2s in -2(。) sin a= 2sin a 2sin3 ( a ) +sin a 2sin-3(Q )= 3sin a 4sin-3 ( a )cos3 Q =cos (2 Q + a ) =cos2 a cos Q sin2 Q sin Q=(2cos"2 ( a ) 1) cos Q 2cos a sin"2 ( a )= 2cos"3 ( a ) cos Q + (2cos Q 2cos3 ( a )= 4cos3 ( a ) 3cos a即sin3 a =3s

13、in a 4sin"3 ( a )cos3 Q =4cos"3 ( a ) 3cos a和差化積公式三角函數(shù)的公式sin a +sinP=2sin (Q+ B )/2, cos ( aB )/2sin a sinP=2cos (a+ B )/2, sin ( aP )/2cos a +cosP=2cos (a+ P )/2, cos ( QB )/2cos a cosB= -2sin(a + P )/2 sin (a P )/2積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式sin a,cosP=0. 5 sin( a+ B)+sin(aP )cos asinP=0. 5 sin( a+

14、 P ) sin( aP )cos acosB=0. 5 cos ( Q+ B ) +cos (aP )sin asinB= 0. 5cos (a + B ) cos (a P )和差化積公式推導(dǎo)首先，我們知道 sin(a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin(a-b) =sina*cosb-cos a*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b) +sin(a-b) =2sina*cosb所以，sina*cosb= (sin(a+b) +sin(a-b)/2同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb= (sin(a+b) -sin(a-b)/2同樣的，我們還知道 cos

15、 (a+b) =cosa*cosb-sina*sinb, cos (a-b) =cosa*cosb+sina*sinb所以，把兩式相加,我們就可以得到cos (a+b) +cos (a-b) =2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb=(cos (a+b) +cos (a-b) /2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=- (cos (a+b) -cos (a-b) /2這樣，我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積 的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x, a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2, b= (x-y)/2 把a(bǔ), b分別用x, y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式：sinx