MATLAB在非線性曲線擬合中的應(yīng)用研究

1、MATLAB在非線性曲線擬合中的應(yīng)用小結(jié)摘要：歸納總結(jié)了非線性曲線擬合的方法、求解步驟和上機(jī)操作過(guò)程關(guān)鍵詞:曲線擬合非線性MAT L AB正文：1. 曲線擬合的基本原理已知一組測(cè)定的數(shù)據(jù)（例如N個(gè)點(diǎn)（xi,yi）去求得自變量x和因變量y的一個(gè)近似解 析表達(dá)式y(tǒng)=p（ x ）。若記誤差6 i壽（xi） -yi, i=l, 2，N,則要使誤差的平方和最小, 即要求：N =rr-1為最小，這就是常用的最小二乘法原理。2 .MATLAB曲線擬合的相關(guān)方法2. 1.函數(shù)形式：多項(xiàng)式擬合函數(shù)po 1 y f i t,調(diào)用格式為：p = polyfit （x, y,n）其中x, y為參與曲線擬合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)小

2、為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，函數(shù)返回值為擬合多項(xiàng) 式的系數(shù)（按降幕排列）。n= 1時(shí)，就為線性擬合。例1：給出表1數(shù)據(jù)，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項(xiàng)式。表1 數(shù)據(jù)X-1.00-0.75O 500.2500.250.500.751.00y-0 2 2090. 3 2 950.88 261.43922 0 0032.5 6 453. 13343.70614. 2836在MATLAB命令窗口中輸入：cle a r；cl o s e ；x=-1:0.25： 1;y=-0.2209, 0 .3 2 95, 0 .8826, 1 .4392,2.0 0 03, 2.5 645, 3.1 3 34,3.7 0

3、 61,4. 2836 pl=po 1 yfit(x,y, I)p2 = po 1 yf i t(x,y,2)y 1 =polyva 1 (p 1 ,x)；y 2 =p o ly v al(p2, x );pl o t( xy 1； r :, x, y2 J kJ )運(yùn)行結(jié)果:360.5O.&08q B -0.62.521.6擬合多項(xiàng)式為:y*=2. 0516+2.0 1 3 1 和 y 法=0. 0 3 13 x 2 +2.25 1 6x+2. 20001(2)非線性數(shù)據(jù)擬合函數(shù)lsq c u r vefit調(diào)用格式為：c=ls q cur v efi (t f u n ,x0, xdata

4、,yd a ta)其中f ud為擬合函數(shù)的M-函數(shù)文件名，x 0為初始向量,xdata, ydat a為參與曲線擬合 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。函數(shù)返回值c為非線性函數(shù)fun的擬合系數(shù)。例2： 2 004年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題(酒后駕車)中給出某人在短時(shí)間內(nèi)喝下兩瓶 啤酒后，間隔一定的時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精含量y (毫克/白毫升)，得到數(shù)據(jù)如表2。表2 酒精含量與飲酒時(shí)間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)間(小時(shí))0.25050.7511.522 . 533.541 .55酒精含量306875828277686858515 041時(shí)間(小時(shí))6789116酒精含量383528251 81 51 21 0774通過(guò)建立微分方

5、程模型得到短時(shí)間內(nèi)喝酒后血液中酒精濃度與時(shí)間的關(guān)系為：y = c1 (小-嚴(yán))(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用非線性擬合函數(shù)lsq c urve f it,確定模型(2)式中的參數(shù)c 1 , c2,c3。求解過(guò)程為：先編寫一個(gè)M-函數(shù)文件Example2_l:f un c t ion f=Ex a mple2_ 1 (c,td a ta)f=c(l) *(ex p (-c( 2 )*t d a t a )exp (-c(3)*t data);保存后，在命令窗口中輸入：clea rtdata= 0 .25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 33. 5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11

6、1213 14 1516;y d a t a= 3 0 68 75 82 8 2 7 7 68 68 58 51 5 0 41 38 352 8 25 8 1 512 1 077 4 ；cO= 1 11;fo r i = 1 :50：c = lsqciirvefit(*Exampl e 2 _ 1 cO,tdata,ydata);cO=c;得到最優(yōu)解為:c= 117.0 5, 0 .1930, 1.954 6從而得出擬合曲線: =11705（/9酣_亦鈿） 2. 2 圖形窗口形式（1）利用多項(xiàng)式擬合的交互圖命令（GUI）polytool,調(diào)用格式為：polytoo （lx,y） 其中x,y分別

7、為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量，例如利用po 1 y t o o 1求解例1的MATLAB命令 如下：x=- 1 : 0.25:1 y=-0.2209, 0 3 29 5 ,0.8826. 1 .439220 003 ,2.564 5 ,3 1 334,3.7061, 4 2 836; po 1 y t ool（ x , y ）打開(kāi)多項(xiàng)式擬合的交互式界面，山于要擬合的函數(shù)為線性函數(shù)，因此在多項(xiàng)式擬合交互 式界面中的Degre e中輸入1,點(diǎn)擊導(dǎo)出數(shù)據(jù)Expor t，出現(xiàn)保存對(duì)話框E xport t oWor k spa ce,選中 P a r a me t ers（參數(shù)）,R e sidua 1 s（殘

8、差）后點(diǎn)擊 OK ,在 MATLAB 的 Wo r ksp a c e窗口中可以看到參數(shù)為:2.251 6和2.0 13 1,即擬合函數(shù)為Y* = 2.2516x+2. 01 3 1 o同樣如果擬合的函數(shù)為二次函數(shù)，則只要在Degree中輸入2 ,其它步驟相同，可得擬合 函數(shù)為：Y*=0.03 I 3x2+2.2516x+ 2 . 00 0 1通過(guò)查看Res i d ual s （殘差）值，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)擬合的殘差值比線性函數(shù)的要小一 些，從擬合的效果看，可以選擇二次函數(shù)作為擬合函數(shù)，但由于線性函數(shù)較簡(jiǎn)單，殘差值也 很小，從簡(jiǎn)單出發(fā)，也可選擇線性函數(shù)作為擬合函數(shù)。（2）基本擬合界面MATLA

9、B提供了一個(gè)方便簡(jiǎn)潔的擬合界面。具有擬合快速和操作簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì),只能擬 合多項(xiàng)式。例如用基本擬合界面求解例1的過(guò)程如下：clear;close;x = -l: 0 . 25:1;y=- 0 .2209,0.3 2 9 5,0. 8826, 1 .4392, 2. 00 03,2.5645, 3.1 3 34, 3.706 1 , 4.2836;P 1 Ot (x,y,屮); 運(yùn)行結(jié)果：Lin ear: norm of residuals = 0.034364 Quadratic: norm of residuals = 0.00132690.20.10-0.10.2-1-0.8-0.6-0.4-

10、0.200.20.40.60.81在散點(diǎn)圖的圖形窗口上分別點(diǎn)擊菜單檔中的To o IsBa s ic F itting,在Plots Fit s中 分別選中 1 i n ear、qua d r a tic、Show equations、plot residua 1 s、show no r m o f r e sid u a 1 s,所得擬合直線方程為：y *=2.3x+2;擬合二次多項(xiàng)式為：Y*=0 . 03 1 x2 +2.3x+2(3)曲線擬合工具界面c fto o 1曲線擬合工具界面cftool是一個(gè)可視化的圖形界面，具有強(qiáng)大的圖形擬合功能，下面通過(guò) 一個(gè)具體例子來(lái)介紹cf t o o

11、1的用法。例3某生化系學(xué)生為研究嚓吟霉素在某項(xiàng)酶促反應(yīng)中對(duì)反應(yīng)速度與底物濃度之間關(guān)系的影 響，設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。根據(jù)問(wèn)題的背景和數(shù)據(jù)建立一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模 型，來(lái)反映這項(xiàng)酶促反應(yīng)的速度與底物濃度之間的關(guān)系。表3噪吟霉素實(shí)驗(yàn)中的反應(yīng)速度與底物濃度數(shù)據(jù)底物濃度(p P m)x0. 020060丨0.220.5 6110反應(yīng)速度y7 6479711 521 9120120720 0酶促反應(yīng)的速度y與底物濃度x之間的關(guān)系可用下面兩個(gè)簡(jiǎn)單模型描述:Mic h aeli s -Menten 模型:y=f(x, B :心指數(shù)增長(zhǎng)模型:y=f(x, p)=Pi (1- e p,x )(5)使

12、用曲線擬合工具界面eft。1來(lái)確定模型(4)和(5)中的參數(shù)，并比較模型(4)、(5 )的 擬合效果。在MATL AB命令窗口中輸入以下語(yǔ)句：cl e a r;clos e ；x= 0.0 2 0. 0 2 0. 0 6 0. 06 00.110 .2 2 0.22 0.56 0.56 1.1 0 1. 1 0;y=76 47 97 1 0 7 123 1 39 1 59 1 5 2 191 2 01 20 7 200;c fto o l(x,y);在C u rve F i t t i ng T o o 1 對(duì)話框中單擊Fitti ng,打開(kāi)Fitting對(duì)話 框，點(diǎn)擊Newfit,在Fit

13、N a me:中輸入有理函數(shù)，在Typeof fit中選中Rational，f ,在Numerator中選中l(wèi)inear po 1 ynom i a 1 ,在D e nom i na t or中選中1 i nc a r polynom i al ”然后點(diǎn)擊Apply,完成有理函數(shù)擬 合。然后，再次點(diǎn)擊New fit,在Fit Name:中輸入指數(shù)函數(shù)，在Type of fit中選中Cu s tom Equation，點(diǎn)擊New e quation 7，打開(kāi)用戶自定義方程對(duì)話 框,點(diǎn)擊G e neral Eq u a t i on ，在E q u a tion中輸入y=a*(l-e x p(b*

14、x), 點(diǎn)擊Ok后回到擬合窗口,點(diǎn)擊Apply ，完成指數(shù)函數(shù)擬合，參數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。表4 模型(4)、(5)計(jì)算結(jié)果Table of FitsFi tsetEquationSSE 有理函數(shù)y vs. xRtll19209.1017415. 指數(shù)函數(shù)y vs xa*(-b*x)3041.55299481. 擬合圖為:通過(guò)表 4 可以看出，有理函數(shù)(Mic h ae 1 is-Menten 模型)y s =2 2 1. 7x+3.318x+0. 1 0 47擬合剩余標(biāo)準(zhǔn)差較小，R- square較大(越接近1越好)，故用有理函數(shù)y s =2 2 1 .7 x +3.318x+O. 1 047擬合數(shù)據(jù)比用指數(shù)函數(shù)ys =192. 1 (1-e-l 1. 3 8 x)擬合的效果好。 3結(jié)束語(yǔ)利用MATLAB的繪圖功能和曲線擬合功能，可以很方便地進(jìn)行多項(xiàng)式擬合和其它非 線性曲線擬合，并