常微分期末考試試題和答案a

1、常微分方程期終考試試卷(A)(適用班級：班)得分閱卷人下屬學(xué)院班級姓名成績題號一四五總分分?jǐn)?shù)一、填空(每小題3分，共30分)1.形如的方程當(dāng)y = f(x) - g(y) g(x)工0的通解為2、一階方程Mdx+ Ndy = 0 若存在可微函數(shù)使卩(x,y)(HO)時，稱為這個方程卩(匕刃的積分因子。3、稱為黎卡提方程，若它有一個特解yx),則經(jīng)過變換，可化為伯努利方程。4、對V(x，x),(x,)，2)wR，存在常數(shù)N(>0),使則稱在fgy)R上關(guān)于滿足李y普希茲條件。5、若為畢卡逼近<p(Q序列也的極限，貝I有W(x)-也(x)ISo6、方程泄義在矩 = x2+y2形域/?：

2、 -2<x<2, -2<y<2上，則經(jīng)過點(diǎn)解 dx的(0,0)存在區(qū)間是7、若是階齊線性旺(i = 123,加方程)W+幾= 0的“個解，汐為其伏朗基斯行列式，則滿足一階線汐性方程o8、設(shè)是二階齊線A-,豐0性方程的一個兀'+ «, (/)# +(t)x = 0解,則該方程的通解為、9、若為齊線性方兀(/)(： = 123,川)程的一個基本解組，元為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的通解為如駐定方程組的bf+y奇點(diǎn)類型為得分閱卷人二、求下列方程的解(每題8分，共24分)dx 2x_y22、Ixydx + (x2 + y)dy = 03、y = l

3、n(l + /2)得分閱卷人三、計(jì)算題（每題8分，共24分）1、求兒+2y； + y = 0的通解。2、求x： + 10x；+25兀=14嚴(yán)的特解。3、求 y"-2y" + 5y = 2cos，x的通解。得分閱卷人得分閱卷人四、求下列方程組的基解矩陣（8分）d = 2x -y + z< yf = x + 2y-zzf = x-y + 2z.五、1.若函數(shù)具有連y(x)續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且y(0) = 0,試由方程確定 y(x) = 1 一丄*(s) + 4y(s)ds 此函數(shù)。(8 分)5丿心2、一質(zhì)量為千克加的物體以初速度 (秒/米)向前滑動，已知它所受的阻力為-如樸

4、牛頓。試問該物體何時才能停下來此時滑過了多少路程？(6分)常微分方程期終考試試卷(A)參考答案一、】、OQiM) _ 6(p/V)dy dx3. = P(x)y2 + Q(x)y + R(x), y = z + y. dx4 |/(.vI)-/(x,y2)|<N|y1-y2|.5、ML!XS + l)!其中Mp即g)|,厶為李普希茲常數(shù)，h = min (a.),MR = a.b7x w' + “W = 0.8、x(/) = c內(nèi) + C2x)(r)j-Le'-" a',s 'didt.n9、x(/) =c,兀(f) +元(/)jU)20、穩(wěn)楚結(jié)

5、點(diǎn)。dx 2二.1.解：方程化為=x y 9 dy y由一階線性方程的求解公式得：(J (-必dy + c)= -y2ln|y| + cy27 分另外，y = 0也是方程的解。8分2、解：方程可化為(Ixydx + x2dy) + ydy = 0 ,3 分即(兀2刃+ (+于)=0,6分 8分故方程的通解為x2y + -y2 =c.2(注：用公式或用其它方法均可)2分4分5分6分8分3、解：這是y = /U/)型 令 yf = p.則有 y = ln(l + /r). 兩邊對X求導(dǎo)：=日1血1 + /r dx2故有“ =0或dx = dp1 + 由得為方程的p = Oy = 0特解.由 dx=

6、 W x = 2 arc t an /? + c 1+ /?' dx故含參數(shù)的方0程的通解為x = 2arctan/? + c,y = ln(l + /?2)三、1、解：特征方程的根疋+2疋+1 = 0為九=九2 =，九3 =九4 = _'4 分故方程的通解為 y(x) = Cj cosx + c2xcosx + c3 siiix + c4xsinx.8 分2、解：齊次方程的特征方程的根為A?+10九+ 25 = 0入1 =九2 = -52分因?yàn)槭欠匠痰木?-5特征根，故可設(shè)方程的一個特解為J(r) = At2es,5 分將代入原方程x(t)可得A = 77分故原方程的一個特解

7、為：x(t) = 7t2e518 分3、解：齊次方程的特征方程的特征V-2X + 5 = 0根為X, =1 + 2/,九2 =1-2/.2 分又因?yàn)?cosS=cos2f + l,且或0不是方X = ±2/程的特征根，故可設(shè)方程的一個 特解為y(x) = Acos2x + Bsin 2x + c 5 分141將代入原方程只兀)可得：A = -, B = C =-7分9958分故方程的通解為141y（x） = ex（q cos2x + c2 sin 2x） + -cos2x- sin 2x + .四、解：A= 12-1由 P（丸）=det（XE A）=（九一1）（九2）（九3） = 0

8、 得: Xi = 1 » 九2 = 2 ,九3 = 3 X設(shè)對應(yīng)的特征九|向量為兒=y ,則由（知£一小勺=0得x = 0 , y = z_o'取 y = ,得 Vj = 1 .10故原方程組對應(yīng)于的一個特知=1解為91(0 = rv, = R九3 =3對應(yīng)的解分別為:'e3te2190e21010工0,10 1又因?yàn)閣（0） = 111 1所以原方程的基解矩陣為=五、1、解：方程兩邊對求 y(x) = 1 f y"(s)+ 4y(s)Js % 導(dǎo):5心十=一扣“ + 4刃5分7 分即)產(chǎn)+ 5)+ 4y = 0 解之得y = *7+。2廣又由 y(0) = 0 > y(x°) = l 得：q =所以所求的函數(shù)為:2、解：設(shè)物體在時刻/路程的函數(shù)為s(/), 由牛頓第二泄律：F = m