倒立擺試驗報告

1、線性系統(tǒng)理論課程 倒立擺實驗報告基本情況實驗完成了基本要求，通過 pid 、極點配置、根軌跡、和 ldr 方 法調(diào)試運行一級倒立擺，設(shè)計新的 pid 參數(shù)，調(diào)試運行狀態(tài)，逐漸使 一級倒立擺穩(wěn)定，完成了實驗的基本要求。在對一級倒立擺完成實驗的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步對二級倒立擺進(jìn)行了 分析研究。這其中的工作主要包括針對 LDR方法運行demo觀察系 統(tǒng)穩(wěn)定性，快速性，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，查看有什么問題，并且針對問題 提出修改意見。在多次試驗后，對系統(tǒng)有了進(jìn)一步的了解，便開始著 手二級倒立擺極點配置方法的實現(xiàn)問題。這部分繼續(xù)學(xué)習(xí)了極點配置的方法，通過編寫m文件，計算K仿真運行系統(tǒng)，查看系統(tǒng)圖像，查看調(diào)節(jié)時間，超

2、調(diào)量等。逐漸調(diào)試 參數(shù)，使系統(tǒng)指標(biāo)順利達(dá)到。 最后是進(jìn)行試驗， 進(jìn)一步調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)。 在這一個過程中，經(jīng)驗很重要，同時偶然因素也起到了重要的作用。 所以調(diào)試一個系統(tǒng)真的不容易。這一部分的內(nèi)容在第六節(jié)中進(jìn)行了較為詳細(xì)的介紹 收獲對倒立擺的系統(tǒng)原理有了更深層次的了解掌握了 pid 、極點配置、根軌跡、 ldr 方法設(shè)計系統(tǒng) 學(xué)會了一些調(diào)試運行系統(tǒng)的經(jīng)驗 加強(qiáng)了和同學(xué)之間的交流，鍛煉了軟件實現(xiàn)編程能力 改進(jìn)意見這里我有一個小小的建議，這是我在做實驗的時候遇到了問題總結(jié)。系統(tǒng)參數(shù)含義還不是很清楚。在這個方面尤其是參數(shù)對應(yīng)著系統(tǒng) 的具體實際含義不明確，只能在嘗試湊參數(shù)，有時出現(xiàn)了一個問題， 不知道是哪個

3、參數(shù)引起的，所以影響了效率，結(jié)果也不是很明顯。改進(jìn)意見：共有四次實驗，第一次實驗安排不變但是試驗后，負(fù) 責(zé)人要收集問題，主要是要老師來解決的，在第二次實驗前針對上一 次的問題進(jìn)行集體講解一下，尤其是與物理的聯(lián)系，不要僅僅是自己 做實驗吧，第三次和第一次相同，第四次與第二次相同。在這個完成 后，如果課堂有時間，可以進(jìn)行了一個小小的試驗心得介紹，和大家 交流心得體會?；蛘呤抢蠋熃y(tǒng)一解決一下這個總體過程中的問題，我覺得這樣結(jié)果會更好一點。下面是具體的詳細(xì)報告一、倒立擺系統(tǒng)介紹倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計算機(jī)控制等多個領(lǐng)域、多種 技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多 變量、

4、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個典型的控制對象對其進(jìn)行 研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段， 為自動控制理論的教學(xué)、實驗和科研構(gòu)建一個良好的實驗平臺， 以用 來檢驗?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新 思想的發(fā)展。由于控制理論的廣泛應(yīng)用，由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和 技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈 攔截控制系統(tǒng)、航空對接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星 飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。倒立擺已經(jīng)由原來的直線一級倒立擺擴(kuò)展出很多種類， 典型的有 直線倒立擺環(huán)形倒立擺， 平面倒立擺和復(fù)合倒立擺等，

5、 本次實驗采用 的是直線一級倒立擺。倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 :1） 非線性:倒立擺是一個典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實際中可以通 過線性化得到系統(tǒng)的近似模型， 線性化處理后再進(jìn)行控制。 也可以利 用非線性控制理論對其進(jìn)行控制。 倒立擺的非線性控制正成為一個研 究的熱點。 2）不確定性 :主要是模型誤差以及機(jī)械傳動間隙，各種阻 力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性， 如通過施 加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差， 利用滾珠軸承減少摩擦阻力等 不確定因素。 3）耦合性 :倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之 間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系， 在倒立擺的控制中一般都在平

6、衡點附近進(jìn)行 解耦計算，忽略一些次要的耦合量。 4）開環(huán)不穩(wěn)定性 : 倒立擺的平衡 狀態(tài)只有兩個， 即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)， 其中垂直向 上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。 5）約束限制 : 由于機(jī)構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。為了制造 方便和降低成本， 倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小， 行 程限制對倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。倒立擺控制器的設(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容， 因為倒立擺是一 個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)， 為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾， 需要給系統(tǒng)設(shè)計控制器，本次實驗采用 LQ控制二直線一級倒立擺的物理模型：系

7、統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N： 機(jī)理建模和實驗建模。 實驗建模就是通 過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號， 激勵研究 對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出， 應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的 輸入輸出關(guān)系。 。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上 通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān) 系。，由于倒立擺本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)， 實驗建模存在一定的困難。 但是忽略掉一些次要的因素后， 倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛 體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方 程。下面我們采用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù) 學(xué)模型：在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，

8、可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖所示：車?。很?導(dǎo)軌）團(tuán)3-1直線一級倒立擺模型我們不妨做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量 m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力 x小車位置©擺桿與垂直向上方向的夾角9擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。 其中，N和P為小車與擺桿相 互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向PFTiclonA圖3-2小奇及擺桿豆力分析分析小車水平方向所受的合力，可以

9、得到以下方程：Mx =F-bx-N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：N = m (x 4-1 sin 6?)即：把這個等式代入式(4-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：(M 十cos-mlO2 或口8 = F為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行 分析，可以得到下面方程：P 一 訊三=T(/COS0)dtP mg = -mlsintf- ml 02 cos0力矩平衡方程如下：-Pl sin 6 - N co5 & = 16注意：此方程中力矩的方向，由于0 =加+購= 一盹說血0 = 一！sine，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二

10、個運動方程：（I - ml2 ）0+mgl sin Q = -mix cos 9設(shè)B =© + n（ ©是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)©與 1（單位是弧度）相比很小，即©<<1，則可以進(jìn)行近似處理：cosff -1, sin 8 = 一0 1 （）' = 0dr用u來代表被控對象的輸入力F,線性化后兩個運動方程如下：1 + ml2» -用§70 = mix H（M + "。主 + bx 一 訕0 二 h對式（3-9）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到r（/ +川廠）®（s）52 一噸=”祇芒（AI亠

11、川用（時疋+肚（£肖_ "”（1>（卜）疋=L'（）注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度求解方程組的第一個方程，可以得到：心）=（八；廠）冬或<6（$）tuls2x（5）（十川廣）/ - jttgi則有:如果令(/ + m/2)j2 -mgl把上式代入方程組的第二個方程，得到:" + ：".)十耳 _ rnls)s' = Lt(j) ml s'整理后得到傳遞函數(shù):nil匸D+ i(J + m/2) 3 (M +】brtiglS iS£Sqqq其中q = (M - mXJ - m/2)- (mi

12、)2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:X = AX 一 Bt f t 二 uy 十 m方程組 對匚0解代數(shù)方程，得到解如下:-(7 -f一m2gl2：7- IfI(f 亠柳)+ Mml2I(M 4-抑)+ Mmf2/(M + 川)-Mml2一 mlbmlm&KAd -fjw) x H- HH/GW 十劌)亠 Mml'I(M + w)十 Mm I- '十出)十 Mml由(4-9)的第一個方程為:整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程: . 01000X0-(/+m/2)&m2gl20XI -ml2X/(Af + ftt) + Xdrti!'I(Xd - tn) + Mm 1&#

13、39;i4./( .y + Hi) + Mni!$0001000mlb)ngi(M + tn)01ml側(cè)5)+咖廠1(X1 + ni ) + Mm IzIM + Mih1I + nil對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：I = vil3于是可以得到：(I ) 八“ 一川廠+川廠0 -川找X =* II = .V化簡得到:則有:另外，也可以利用MATLAB中tf2ss命令對(4-20)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得上述狀態(tài)方程。實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M小車質(zhì)量1.096 Kgm擺桿質(zhì)量0.109 Kg0.2 5mb小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m

14、把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：_0.0272帚 0.010212552 -0.26705擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為:_0.02725 0.0102125r -0.26705擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù):2.3565%可$ * + 0.0383167 -27.9169-23094210 0 00 0 10it以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:尸X0100_X0 X0-0.08831670.6293170i0.883167d00010十0_0- 0.23565527.82850_A2.35655以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:u0Q

15、00000A_1000_X_0_tb 二000100+ '0a三. 直線一級倒立擺的線性二次型最優(yōu)控制1線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理及分析線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理為，由系統(tǒng)方程X = MX + Bu確定下列最佳控制向量的矩陣 K:u(t)二-K*x(t)使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值：J =uRu）dt式中 Q正定（或正半定）厄米特或?qū)崒ΨQ陣R為正定厄米特或?qū)崒ΨQ陣圖3-1最優(yōu)控制LQR控制原理圖方程右端第二項是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的， 矩陣Q和R 確定了誤差和能量損耗的相對重要性。并且假設(shè)控制向量 u（t）是無約 束的。對線性系統(tǒng)：廠XAXBuY = CX根據(jù)期望性能指標(biāo)選取

16、Q和R,利用MATLAB命令lqr就可以 得到反饋矩陣K的值。K=lqr（A, B，Q，R）改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果， Q的值越大（在 一定的范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強(qiáng)，調(diào)整時間越短。但是Q不能過大2. LQR控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學(xué) 模型，下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用LQR法設(shè)計與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時，跟蹤小車的位置。前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程：應(yīng)用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。圖中R 是施加在小車上的階躍輸入，四個狀態(tài)量x,x,© , ©分別

17、代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出y二x,0包括小車位置和擺桿角度。設(shè)計控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿 會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達(dá)新的指定位置。假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)（四個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋 控制規(guī)律的向量K 。在Matlab中得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K 。Lqr 函數(shù)允許你選擇兩個參數(shù)一一R和Q,這兩個參數(shù)用來平衡輸入量和 狀態(tài)量的權(quán)重。最簡單的情況是假設(shè)R = 1, Q =C' *C當(dāng)然，也可以通過改變 Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)o 0 0 0其中，Q11代表小車位置的權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重，輸入 的權(quán)重

18、R是1。下面來求矩陣K, Matlab語句為K = lqr(A,B,Q,R)。下面在MATLAB中 編程計算：A=0 1 0 0 ; 0 0 0 0;0 0 0 1; 0 0 29.4 0;B=0 1 0 3'C=1 0 0 0; 0 0 1 0;D=0 0'Q11 = 1500;Q33=300;Q=Q11 0 0 0;0 0 0 0;0 0 Q33 0; 0 0 0 0;R=1;K=lqr(A,B,Q,R);Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0.2*o nes(size(T);Cn二1 0 0 0;Nbar二rscale(A,B,

19、C n,O,K);Bc n=Nbar*B;Y ,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),'-');hold on;plot(T,X(:,2),'-');hold on;plot(T,X(:,3),'.');hold on;plot(T,X(:,4),'-');lege nd('cartpls','cartspd','pe ndan g','pe ndspd')令 Q11= 1, Q33 =1 求得K=-1-1.785525.4224

20、.6849在Simulink中建立直線一級倒立擺的模型如下圖所示:“LQR Co ntroller ”為一封裝好的模塊，在其上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇Look un der mask” 打開 LQR Controller 結(jié)構(gòu)如下:01 LIDo+lQRropy/l QR CorrtrnlL. IFile Edit View Simuldlion Foriridit Tucj I !> H.elp S 曰畐 扛電已令|三1f LOTOode4J雙擊“ Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù):E Function Block Parrrieters： LQR ControllerSubsy

21、stemFaras*t«s點擊*執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果:03LQR控制的階躍響應(yīng)如上圖所示，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)響 應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，我們可以通過增大控 制量來縮短穩(wěn)定時間和上升時間?？梢园l(fā)現(xiàn)，Q矩陣中，增加Q11使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。 經(jīng)過多次嘗試,這里取Q11=1500, Q33=300,則 K = -32.7298 -23.8255 81.618214.7098輸入?yún)?shù)，運行得到響應(yīng)曲線如下：0.6從圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時間有明顯的改善，增大 Q11和Q33 系統(tǒng)的響應(yīng)還會更快，但是對于實際離散控制系統(tǒng)，過大的

22、控制量會 引起系統(tǒng)振蕩。3.直線一級倒立擺LQR控制實驗 打開直線一級倒立擺LQR實時控制模塊其中“ LQR Controlle”為LQR控制器模塊，“Real Contro”為實時控制模塊，雙擊“ LQR Controller”模塊打開LQR控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下:在“ LQR Controlle”模塊上點擊鼠標(biāo)右鍵選擇“ Look under mask'打開模型如下:rHI 11PLQR/LQR C-.Ipi aEdit 吐iewiimulatioriFormat Tools Help酋IH冒X噩直3小 _KJJi胡AccLQR|l l哼L-ji雙擊“ Real Contro”模塊

23、打開實時控制模塊如下圖：廠 LlPLQRyFtcg CortrcJ *®-*廣 莊其中“Pendulum”模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車 的速度“ Vel ”和“ Acc ”，輸出為小車的位置“ PoS'和擺桿的角度“An gle ”。雙擊“Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu):其中“Set Cart' s Acc and Ve1模塊的作用是設(shè)置小車運動的速度 和加速度，Get Cart' s Positio n”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實 際位置，“Get Pend s Angle”的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實際角度。2）運行程序?qū)嶒炦\行結(jié)果如下圖所

24、示:ira51Angk*1JJn.ruin._：. 廿 n r H b ? i a圖銷侶其中圖片上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度的變 化曲線，從圖中可以看出，小車位置和擺桿角度比較穩(wěn)定?？刂菩Ч?很好。在此實驗中，R值固定，R=1則只調(diào)節(jié)Q值，Q11代表小車位置 的權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重，若 Q33增加，使得B的變化幅 度減小，而位移r的響應(yīng)速度變慢；若Q11增加，使得r的跟蹤速度 變快，而B的變化幅度增大。當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入后，得到系 統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯看出是否滿足系統(tǒng)所要達(dá)到的性能 指標(biāo)要求。通過這樣反復(fù)不斷的試湊，選取能夠滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要 求的Q和

25、R。四、直線二級倒立擺的物理模型直線兩級倒立擺由直線運動模塊和兩級倒立擺組件組成為簡化系統(tǒng)，我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級倒立擺的組成如圖 6-1所示：（I 小:車 導(dǎo)軌）X!<>'I圖6-1直線兩級倒立擺物理模型倒立擺參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量ml 擺桿1的質(zhì)量m2 擺桿2的質(zhì)量m3 質(zhì)量塊的質(zhì)量X11擺桿1中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 12擺桿2中心到轉(zhuǎn)動中心的距離0 1擺桿1與豎直方向的夾角0 2擺桿2與豎直方向的夾角F作用在系統(tǒng)上的外力利用拉格朗日方程推導(dǎo)運動學(xué)方程：拉格朗日方程為：L(q,q)=T(q,q)-V(q,q)其中L為拉格朗日算子，q

26、為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動能,V為系統(tǒng)的勢能。d cLcL其中i 1,2, ,n，fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標(biāo)上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有三個廣義坐標(biāo)，分別為 X, 1, 2。首先計算系統(tǒng)的動能:其中Tm,Tm1,Tm2,Tm分別為小車的動能，擺桿1的動能，擺桿2 的動能和質(zhì)量塊的動能。小車的動能:Tm1 = Tm1' +Tm2 '' 其中 Tm1' ,Tm2 ' 分別為擺桿 1 的平動動能 和轉(zhuǎn)動動能。Tm2 = Tm2 ' +Tm2 '' 其中 Tm2 ' ,Tm2 ' 分別為擺桿 2 的平

27、動動能 和轉(zhuǎn)動動能。對于系統(tǒng)，設(shè)以下變量：xpend1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標(biāo)；yangle1 擺桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo)；xpend2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標(biāo)；yangle2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標(biāo)；xmass 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)；ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)；又有：xpendlx - !Sin0 ypend = I Co泊| xpendl = r-2；、Sin8 -12Sin(02) ypendl - 2!iCos9 +/-Cos ff2 xmassx-2llSin0iyniass = 2lCos&則有:“L腫Ml)"i dt i'diypcndl i山丿同理:'dxp

28、endiydtd(ypend2) di于是有系統(tǒng)的總動能:幾 + r_, +rMil m2 ' - ffiJ/(¥ 的 dl)“ +c/(yp 的 dl*八十di1Hffl,732 Z(l(.xpetid2)dtdi屮+“心臚72)八1 nt 6八-tnl G6 1 r 1 石o：r d(xmass) <l(ymiss)dtdi /系統(tǒng)的勢能為z+ % += myypend 十 mypendl 十 tnymassCos 0 + m2 (2/| Cos& */2Cos0J + 2mJCos仇由于系統(tǒng)在B 1,0 2廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有:對于二級倒立擺系統(tǒng)

29、,d cLdL伽£0d cLcLdl dff2 力2系統(tǒng)狀態(tài)變量為:為求解狀態(tài)方程:Y = CXb需要求解0和玄因此設(shè)：& 二/i（x,q,02,兀 q0,x）0嚴(yán)人（x,q,2,工,仇,2，.丫）將在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，可以得到: e - klX + &2°1 + 心？°2 + 14 X+ &15 °： + 心6 2 + 人7 X &2 =處 1X + k+ &23乞 + 24 X+ ky 0 + klt &2 十 kj X其屮_妙1Lw 1_A1CX X-O. -O.tf； -U.x

30、-O.f?! -O.£A-V.x-0Ki?-x-V. TE -Ujr-O,*0£-O.x-<J尊 -cO x-04-0.tf：-0.x-0 -O.-Ojr-OA6 Y-O：-0.x-0. -O.d： -Or-O兒.f Z1工0.0 U丄入-O.x-O.e? -U叢-O.x-UOUa Z1x-0. -0.-0.x-V.£?| -0.6?. -0.X-Uou2k ;少1個； T=(l. =0,(9. =0,j=0.fi； =(Kfij =0,j=0K2lCX r=o .fl| =().0? =0. r=0 =O.2=Ot.T=Oj =0 =0.2 =0 u =0

31、, =0, =U-'=cO_x=0.=(J u =0>i?j =0,=0 .j=(J在Mathematics中計算以上各式。因其余各項為0,所以這里僅列舉了 k12、k13、k17、k22、k23、k27等7項，得到結(jié)果如下:叫主吐勺空呱陸69(4ml + 3(射2 + 4zn3)/1；1 1 =蘭二 _T I 6?2(4wjl + 3(ni2 + 4/713)/,嗣7=3(2呦+加-4油)=乂424旳I 十 3( m2 十 4jj?3 )山23二 期(川1 +引旳2和加)二3g.453(腳 1 - I2m3)(4ml+3(m2 + 4/»3)/22 - 2(4也1+3

32、伽2 + 4曲3)譏 ' '°°88于是由系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:運行的到:V0-000'00|00000呂 6.69-40.310000-2L62?9.451 o(TX0 10 1 00 0 10+0 0 01 10 0 0q6,640 0 oj一0百理00五、直線二級倒立擺的線性二次型最優(yōu)控制5.1在MATLAB Simulink中建立直線兩級倒立擺的模型:Udiplqr*|= I 回file tdit Vew Simulator! hormat look He-p診日冒丨為軸電|44令 fa 甌匸31星因冏尊iGoogol Linear 2-Stag

33、e Inverted Pendulum LQR Control SimulinkLQR CcrtSrc l-sr0.01; Q； . C-Q PI CFSk賢 Ak+BurnPnLy Gt+Diir1w Spa»SMf>t2ReadyIfJQf%ode45其中“ State-Space模塊為直線兩級倒立擺的狀態(tài)方程，雙擊模塊打開模型:“Controller”模塊為控制器模塊，在“ Controller”模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇 “ Look under mask'打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu):其中“ Matrix Gain K”為反饋矩陣。雙擊“ Con troller ”模塊打開

34、其參數(shù)設(shè)置窗口： 先設(shè)置參數(shù)為“ 1”。d Function Block Pararniers：Disturbanee”模塊為外界干擾模塊，其作用是給系統(tǒng)施加一個階躍信號，點擊“卜”運行模型進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)仿真。得到運行結(jié)果如下：從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)發(fā)散，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要對其添加 控制器。5.2 LQR控制器設(shè)計及仿真給系統(tǒng)添加LQR控制器，添加控制器后的系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示下面利用線性二次最優(yōu)控制 LQR方法對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計clear;clc;k12=86.69;k13=-21.62;k17=6.64;k22=-40.31;k23=39.45;k27=-0.088;a=00010 0

35、;00 0010;0 00001;0 00000;0k12k13000;0k22k23000;b=0001k17k27'c=10000 0;01 0000;0 01000;d=0;();0;q11=1;q22=1;q33=1;q=q110 0 0 00;0q2200 0 0;00q33 0 00;0 00 0 0 0;000 000;0 0 000 0;r=1;k=lqr(a,b,q,r) aa=a-b*k;b=b*k(1);sys二ss(aa,b,c,d);t=0:0.01:5;y,t,x=step(sys,t);plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),

36、'r',t,y(:,3);grid on運行得到以下結(jié)果：LQR控制參數(shù)為：K= 1 73.818 -83.9412.0162 4.2791 -13.036得到仿真結(jié)果如下：可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時間過長，因此增加權(quán)重Q的值1、設(shè) Q11=300;Q22=500;Q33=500;運行得到仿真結(jié)果：LQR控制參數(shù)為:K= 17.321110.87 -197.57 18.468 2.7061 -32.142Goog創(chuàng) L卄斯射 2>Stg9 hwrtd Pnduktm LQR Controf DrnoF er卜Ion bo iLri ihis denKi:1i Canned: I

37、ne Hjrdn日s coilectio2 刖1 吃處rw.3 1h鼻tirq*F4 tjri: r* jktirriai tacaFtle Edi t Vi aw Ins er七 Tools D eskt oj« Window Help日 ©a 1o目 H從圖中可以看出，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng) 在2.5秒內(nèi)可以恢復(fù)到平衡點附近。把以上仿真參數(shù)輸入Simuli nk模型中得到運行結(jié)果從圖中可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性還不錯。但這未必是最好的參數(shù)。所以，下面改變 LQR參數(shù)，比較結(jié)果變化確定最合適參數(shù)。2. 設(shè) Q11 = 1000;Q22=500;Q33=500;

38、運行得到仿真結(jié)果：LQR控制參數(shù)為： k二31.6228 116.7093 -238.1742 29.1041 1.2221 -39.35962.5可看出位置在2秒左右就可恢復(fù)到平衡點位置。而角度依然是在 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。把以上仿真參數(shù)輸入Simuli nk模型中得到運行結(jié)果:K1033. 設(shè) Q11 = 1500;Q22=500;Q33=500;運行得到仿真結(jié)果：LQR控制參數(shù)為：k 二44.7214 121.1834 -272.593438.3562-0.0849 -45.47510.15可看出位置依然在1.5秒就可恢復(fù)到平衡點位置。而角度依然是在2.5 秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。把以上仿真

39、參數(shù)輸入Simuli nk模型中得到運行結(jié)果： 020.0150 010.00503123.13-3.173.13k3.143J 45510152025-3.143,15315o0.025-3.16j I1111 i i I:-r pTima offset- 1004. 取 Q11=500;Q22=500;Q33=500;運行得到仿真結(jié)果：LQR控制參數(shù)為：k =17.321110.87 -197.57 18.4682.7061-32.142/nvertecf Penduhim L QRAT心 IV Ih :2葉如mAnq*i Ret -fkl jk C r-M-1- illpHF1p丨p&#

40、39; JuidtillI Jiilii BIhuI 1'ai iui? t rltf ： LOK CvUltu丄 Ltt.J Figure 1口問£i It* Edit Xiew Insert Tools Vasktopndo* H»lpTiHemH口 run ihn :«mD-1. C4iMHtfferhb HjIAurti L-indhP-i.事川屛 mil ME Hiimp3. Con*亡Grcdr趙怕細(xì)剖！把以上仿真參數(shù)輸入Simuli nk模型中得到運行結(jié)果：'I -1112 IfWdLML J5. 設(shè) Q11=500;Q22=7000;Q33=5000;運行得到仿真結(jié)果：LQR控制參數(shù)為：k =17.32 115.24 -206.1618.872.74 -33.58把以上仿真參數(shù)輸入Simuli nk模型中得到運行結(jié)果:抻M聲尋H農(nóng)皿>1H3H7JI可看出位置在1.5內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點位置。而角度是在 2秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。通過對比，第6個參數(shù)最合適。六、二級倒立擺的極點配置控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程與對應(yīng)的矩陣為0 10 00 0 0 0 A.=0 0 0 10 0 29.4 0_0_1B =03_1 0 0 O' c -0 0 1 0. 0D 二00+ it