湖南省湘潭市2019-2020學年高二上學期期末考試數(shù)學(理)試題Word版含解析

1、湖南省湘潭市2019-2020學年度第一學期期末高二理科數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1 .命題刈與與£ （口.十 °°）,北工福2,則中是（）A.北qW（0, + 8）,好>與一2B.祗 E（O, + s）,，三k2C.三%£（0, 4 8）, x>x2D. VxE（0, + 8）, jt2>x-2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，且否定結(jié)論求解【詳解】命題 口曰，o£（。，+ 8）,瑤£與一2,故-1P :祗 E（o,+ s）, x?>x-2,故選D.【點睛】本題

2、考查了含有量詞的命題的否定，含有量詞的命題的否定：換量詞，否結(jié)論.222 .橢圓上+2二1的焦距為（）6 11A.B. 'C.D. .【答案】A【解析】【分析】結(jié)合橢圓的性質(zhì)和公式公=X + d,計算焦距，即可.【詳解】結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，公=11,叢=6,故1 = 一/ = 11-6 = 5,故焦距為24，故選A.【點睛】考查了橢圓的基本性質(zhì),關(guān)鍵抓住於二M + d,計算，即可，難度較容易.3 . “x>2” 是 “，:>1” 的（）B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件A.充分不必要條件C.充要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合充分條件和必要條件的判定 ，即可.【詳

3、解】結(jié)合題意可知 方 > 2可以推出1 > 1 ,但是X > 1并不能保證>2,故為充分不必要條件故選A.【點睛】考查了充分條件和必要條件的判定，難度較容易.4 .已知a, b, c分別為也/HC內(nèi)角A, B, C的對邊，az + c2-h2 = ac,則角H =()271 A.花 B.3CC.67T D.6【解析】【分析】利用余弦定理，計算角B的大小，即可.【詳解】利用余弦定理,。：-a2 + c2-b2 ac2ac2ac-,故B =-,故選B. 23【點睛】考查了余弦定理，關(guān)鍵利用余弦定理公式,計算角的大小，即可，難度較容易.5 .若c<d<0,則一定有

4、(A.a b C.【解析】【分析】 直接利用不等式的基本性質(zhì)的應用求出結(jié)果.【詳解】解：由于。<4<0, 所以：叫史1 1進一步求出：°< ?。河捎冢嚎?Ab>。,故選：C.【點睛】本題考查的知識要點：不等式的基本性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化 能力，屬于基礎(chǔ)題型.6 .已知等比數(shù)列冊)的公比為q, 口4 = %白7則0 =()A.B. 2C. 1D. 1【解析】【分析】um利用等比數(shù)列的性質(zhì)滿足 9小=_，代入，計算，即可.【詳解】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可知«711=.=或解得'，故選C.0m【點睛】考查了等比數(shù)列的性質(zhì) ，關(guān)鍵利用q

5、二三，代入，計算，即可，難度較容易.7 .已知元”則M 4的最小值為1）1 A.2B. 1C.利用基本不等式滿足十人之酒，代入,計算最小值,即可.【詳解】利用基本不等式滿足iQz廣一也故最小值為篦當且僅當“看即工邛時取到最小值.故選D.【點睛】考查了基本不等式計算最值問題,關(guān)鍵利用以+b之2糜,計算,即可,難度較容易8.已知點 A(0,1,0) , B(1,0 , 1),C(2,1,1)，點 P(x,0 , z),若 PAL平面 ABC 則點坐標為（）A. (1,0 ， -2)B. (1,0,2)C. ( -1,0,2)D. (2,0 , 1)利用易，端，PAAC? PA AS = PAAC

6、n 0.即可得出.【詳解】標=(_i, _i, -1),前二(2, 0. 1)，PA = (-xt 1, -z)PAAB PAAC PA AS = PA-AC =0rx- 1 + 2 = 0 解珥t = 1 -Zx-z = Q，斛倚 z= -2，P(1,0,2).故選：C .【點睛】本題考查向量數(shù)量積與垂直的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題zX-y > 09 .已知x, y滿足約束條件+,則£ = 2#十F的最大值為()I >0A. 3B. 4C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合不等式組，繪制可行域，計算最值，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合不等式組，繪制可行域，如圖當目標函數(shù)平移到

7、 B乙S,z取到最大值，故工=4,故選B?！军c睛】考查了線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵找出目標函數(shù)在哪個點取到最大值，即可，難度中等。10 .在 中，BAC = 30a , BC=2,盤C =,則力H =()A. 4B. 2C. 4 或 2D. 2小【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理，建立等式，解方程，計算長度，即可。j d2_【詳解】利用余弦定理可知 2 J. .J=匕門5?0",而=藝小用匕=2 ,代入可得= 4或2 ,故選C?！军c睛】考查了余弦定理，關(guān)鍵利用余弦定理，建立方程，計算，即可，難度中等。11 .如圖，在三棱柱八力/£中，八/1"底面ABC/& =

8、 ：，皿 = /1。=8匚=2,貝與平面八所成角的大小為（）aA.B.:C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間坐標系，計算 丹4坐標，計算平面 力用儲的法向量，運用空間向量數(shù)量積公式，計算 夾角即可。【詳解】取AB的中點D,連接CD以AD為x軸，以CD為y軸，以日為為z軸，建立空間直 角坐標系，可得可1,0,4i（LQ周,故磯=（1乩3） 一 （14。尸總陰,而B-lo.3）G。祗3）,設(shè)平面的法向量為而=g力0，根據(jù) 擊盤4q = q而京解得前=0-力2）,一一 m 編 1 . 丁同11 2故/Ml與平面0所成角的大小為30°,故選A【點睛】考查了空間向量數(shù)量積坐標運算，關(guān)鍵構(gòu)

9、造空間直角坐標系，難度偏難。12.已知中心在坐標原點的橢圓 C與雙曲線S有公共焦點，且左，右焦點分別為0, &, 7與G 在第一象限的交點為P, 2七也是以PF為底邊的等腰三角形，若 伊片1 = 1。，。與&的離心 率分別為%,與，則% +氣的取值范圍是（）1+7255A.:,、；B. :C. + «D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)，用c表示2勺+電，結(jié)合c的范圍，計算，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合題意可知 儼&| = 2匚,鳥&| = 2c,故對于橢圓而言 a = 1Q+"，解得" = 5+。，此時 C C c = 一

10、=.,;.-,'c c5對于雙曲線而言,1。-2匕=24,解得,滿足白 1,0 已1 1,解得5,故a 5 - c22c c 212% + % = h - = 1-. ; - ， ；：,-1, cc521令）="貝丘三十 % =百7彳+二y,其中1亡 2,可知y = r占與尸=在口2單調(diào)遞減, 工十r 15 可知當，趨于1的時候,組十%趨于無窮大,當t=2時，2ee2=-,故2j+%e& + 8）,故選區(qū)【點睛】考查了圓錐曲線的性質(zhì)，考查了利用函數(shù)單調(diào)性判定函數(shù)的范圍，難度偏難。二、填空題（本大題共 4小題，共20.0分）13 .已知向量；=（一呢，6）, ；=（Lx

11、, -1），且;=*,則x的值為.【答案】8【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積坐標運算，計算 x的值，即可。【詳解】a b = （-325） （1,蒼-1） = -3 + 2x-5 = S,解得 x = 8?！军c睛】考查了空間向量數(shù)量積坐標運算，結(jié)合坐標運算，建立方程，計算，即可，屬于基礎(chǔ)題。14 .設(shè)工是等差數(shù)列 0的前n項和，若%+ %口 = 1。，則與3=.【答案】65【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，計算，即可。x 13 i n x 1【詳解】/ + 口1口 = % += 1。，故 $13二-=651322【點睛】考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列求和公式，難

12、度較容易。2215 .若拋物線V = 2PMp > 口）的焦點恰好是雙曲線 -<- = 1的右焦點，則實數(shù)16 - m m + 2 0為.【答案】12【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì) =白2 +反和拋物線焦點坐標計算，建立方程，計算，即可【詳解】【點睛】考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了拋物線的性質(zhì)，關(guān)鍵利用焦點相同，建立方程，即可， 中等難度。16 .一批救災物資隨51輛汽車從某市以此m網(wǎng)的速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要oUUh.【答案】10【解析】p的值400 km【分析】 用速度v表示時間，結(jié)合基本不等式，計算

13、最小值，即可。vV小時，最后一輛車走完全程共需16【詳解】當最后一輛車子出發(fā)，第一輛車子走了° 麗400400 v'400 v=10,故最小值為10小時v 16要一小時，所以一共需要 一小時，結(jié)合基本不等式，計算最值，可得 vv16- + >2 v 16口 +占之2我，計算最小值，即可,400【點睛】考查了基本不等式計算函數(shù)最值問題，關(guān)鍵利用 難度中等。三、解答題(本大題共 6小題，共70.0分)17 .設(shè)命題p： VxeR, * + 2ox + r>0,命題q： 4H2vL若命題pag為假命題，為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】或；EaC1【解析】【分析】求

14、出命題p, q為真命題的等價條件，結(jié)合復合命題真假關(guān)系進行求解即可.【詳解】解：若:Vxefi, x2 + 2ax + a>t),則判別式 A =4a2-a<0,得0<口<1,由 4q± < 1得 c/ < ：,得 一 C ” 若命題p Aq為假命題，pvq為真命題，則p, q 一個為真命題，一個為假命題，(0 <Q < 11若p真q假，則得*<1, 22產(chǎn)之1或口 £01若 p假 q 真，則 1 _!<<!得 r 5cBM0,22綜上或g3&< 1,即實數(shù)a的取值范圍是【點睛】本題主要考查復合

15、命題真假關(guān)系的應用，求出命題為真命題的等價條件是解決本題 的關(guān)鍵注意要進行分類討論.18.已知a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且絲出白-/尿口以=。.(I)求角A(幻若口 = im, h = w,求tie。的面積.7T【答案】(1) -； (2)距小【解析】【分析】(1)由正弦定理可得sinAsinB = SsinBcosA ,結(jié)合sinB工0 ,可求Icim4 =小,結(jié)合范圍口 <力 < 河， 可求=-.3(幻由已知利用余弦定理可得 /一 3U-4°Q ,解得C的值，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解.【詳解】解：(1) v aainB - bcusA = 0

16、 .、由正弦定理可得：sinAainB =,v sinH 豐 0,二 si nA = cosA ,即 L即4=,0 < < 7T7T，+ 力、由余弦定理 / = / 十 d - 混,可得：13 = 9 + c，- 2 X m X c x g ,可得：/一女一4 "。,、解得：。=4,(負值舍去),1 1第廠募5 力麗=即由"'= -x3x4x = 33【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.19 .已知公差不為零的等差數(shù)列 15的前n項和為工，5藐=4加，且出,%，成等比數(shù)列.

17、(I)求數(shù)列冊的通項公式；設(shè)3 彳一；數(shù)列直的前n項和為建，證明：【答案】(1)趣= 271；(2)詳見解析.【解析】【分析】。)設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式、等比數(shù)列的中項性質(zhì)可得首項和公差的方程組，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；（2）求得與=(y D(4 + 1)(2n - 1 )(2n + 1)t）,由數(shù)列的裂項相消求和,上M + 1化簡可得%,再由不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】解：（1）公差d不為零的等差數(shù)列%的前n項和為工，S四二 420,可得2（網(wǎng)十190d = 420,出，空，/成等比數(shù)列，可得a| = a2ae ,即為（%十3d）?

18、= （附十d）（口1+ 7d）,即為% = d,則 % = 2 + rZ(n -l)=2n;1由®可得% = d = Z（團證明：勾=（口廠）（%十）=（27一（）（2抑十1）;去1 21十1）， 可得前n項和為廉斗1-| +長+”/廠/+彳） 由-> 0 可得T植 <二出加+1,何怙丁【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式、等比數(shù)列中項性質(zhì)，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.y2J320 .已知橢圓C:方十萬=1（口.>8>0）的離心率為 三,短軸的一個端點到右焦點的距離為2.a b211）求橢圓C的方程；12）設(shè)直線l :

19、¥ = +秋交橢圓C于A, B兩點，且依日|=布，求m的值.【答案】（1）彳 +/ = 1 ; （2） m= ± 1.【解析】【分析】W通過短軸的一個端點到右焦點的距離為2可知口 = 2 ,進而利用離心率的值計算即得結(jié)論;為設(shè)力（叼為），風勺,Vd聯(lián)立直線與橢圓方程，消去 y得到關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出.-a2 = b2 + c2 = 22【詳解】解：（1）由題意可得，巨口 2解得：a=2, b = l,.，橢圓C的方程為- + y2=l ；為設(shè)百（勺,力），雙勺辦,13、I y = t + m聯(lián)立！2,x2 4- 4y2 - 4得上

20、* + 2m_r + 2m2 -2 = 0,.*.x1 + x2= -2m XjX2= 2m2-2,|訓=.'I + 勺一 0| =1 x 毋-毋 + B jLj=，丫2 -= i15,解得m= ±1.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、韋達定理、弦長公式，屬于中檔題.21.如圖，在四棱錐P-網(wǎng)片。中，平面PMD_L平面ABCDP百二口口 二 4 ,四邊形ABCDI邊長為4的菱形，乙/打二呂?！埃珽是AD的中點.（I）求證：BE_L平面PAD（幻求平面PA的平面PBC所成的銳二面角的余弦值.【答案】 詳見解析；（2）等.【解析】【分析】連接BD推導出PE 1AP, PE

21、1M,由此能證明HE_L平面PADPAB以E為原點，EA EB EP為x, y, z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面 與平面PBC所成銳二面角的余弦值.【詳解】證明：（1）連接BQ由P/1 = PD = 4, E是AD的中點，得PE由平面PAD 1平面ABCD可得PE 1平面ABCD FE _LBE ,又由于四邊形 ABC四邊長為4的菱形，Z/1 = 60 " ,*.BE LAD,_L 平面P?l。，解：Q）以E為原點，EA EB EP為x, y, z軸，建立空間直角坐標系，P（O,0, 2,很0, 0）,坑口,2記,0）, C（-470）,氏二（2,0, -2忐），豳=

22、02串2強,定=（4,2祗令平面PAB的法向量為n = （x.y,結(jié)合大瓦！ = 0） F屯=0,建立方程得到限整九,則取，= 】,得口眄，1），同理可得平面 PBC勺一個法向量為 病=（。,1, D,所以平面PA*平面PBC所成銳二面角的余弦值為：,1-回|（?<J5 < rn , n > | -. 5【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.22.已知F為拋物線E:凡必>0）的焦點，"4 1）為E上一點，且|CF| 二 Z.過F任作兩條互相垂直

23、的直線。，k,分別交拋物線 E于P, Q和M N兩點，A, B分別為線段PQ MN的中 與 八、（I）求拋物線E的方程及點C的坐標;2）試問之+ W 是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；|PQ| MN13）證明直線AB經(jīng)過一個定點，求此定點的坐標，并求&若？方面積的最小值.1/ /S/【答案】（1）拋物線方程為Z = 4v，C出1）或0-2,1） ；（2）是定值，定值為:；（3）過定點（0,3）； 4百。日面積的最小值為6.【解析】【分析】11）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義即可求出F = 2 ,代值計算即可求出點C的坐標，Q）設(shè)直線"的方程為y = 4x + l,立A0,則直線4的方程為,=,設(shè)P（x/i）,力,km（工而,做燈辦），根據(jù)拋物線定義可得pQ=yy22, lwl = y3+A+2,再分別聯(lián)立4111方程組根據(jù)韋達定理可得PQ=4 + 4d，網(wǎng)Nl=4十口,即可求出+=片I /QITT3）設(shè)再以），見與，加），由分別求出點A, B的坐標