第五章 大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理§5.1 大數(shù)定律的概念大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了這種規(guī)律性，并論證了它成立的條件，即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性即穩(wěn)定性。由于大數(shù)定律的作用，大量的隨機(jī)因素的總體作用必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。§5.2 切比雪夫不等式§5.2 切比雪夫定理1、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，對于任意正數(shù)有成立，這一不等式稱為切比雪夫不等式。它也可以寫成。切比雪夫不等式的意義在于：當(dāng)知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差時(shí)，我們可以估計(jì)落在以為中心的某一區(qū)間內(nèi)的概率；而且由不等式可以看出，方差越

2、小，發(fā)生的概率也越小。切比雪夫不等式在理論研究中很有價(jià)值，作為一種出略的估計(jì)概率的方法在實(shí)際中應(yīng)用也很廣泛。2、依概率收斂設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)常數(shù)。若對任意的正數(shù)，有，則稱序列依概率收斂于，記為。3、切比雪夫大數(shù)定律設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且存在有限的常數(shù)，使得，則對任何的正數(shù)，皆有。4、貝努利大數(shù)定律設(shè)是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，則對任何的正數(shù)，皆有。5、辛欽大數(shù)定律設(shè)是相互獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量序列，。若對任意的正數(shù)，有。大數(shù)定律揭示了隨機(jī)事件的概率與頻率之間的關(guān)系，從大量的測量值的平均值出發(fā)，描述了算術(shù)平均值及頻率的穩(wěn)定性，用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率。§5.4 中心極限定理6、獨(dú)立同分布的中心極限定理（列維林德博格定理）設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且有有限的期望和方差，則對任何的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足皆有。7、李雅普諾夫定理設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且數(shù)學(xué)期望和方差，記，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足皆有。8、利莫佛拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量，服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則對任意的恒有上述中心定理闡述了在一定條件下，當(dāng)個(gè)數(shù)逐漸增多時(shí)，原來不屬于正態(tài)分布的大量獨(dú)立隨機(jī)變量的總和其分布趨于正態(tài)分布。這些定理為極限分布