微分幾何教案第三講

1、§ 10 Weingarten 變換 W 變換，由而可證明：對(duì)于任意 則有我們稱為自共軛。對(duì)于復(fù)線性空間V，任意，有故設(shè)是W的特征值，即 由即因 故 為實(shí)數(shù)。（即W稱為自共軛時(shí)，為實(shí)數(shù)。）故W有兩個(gè)實(shí)的特征值，設(shè)，單位的，是W的兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，即§ 11設(shè) a 與b稱為互相共軛的，如果。 設(shè)此時(shí)即若a與其自身互共軛時(shí)，稱a為漸進(jìn)方向。若曲線上一條曲線：上每點(diǎn)切向量都是漸進(jìn)方向，則稱此條曲線為漸進(jìn)曲線。此時(shí)，切向量為 于是有當(dāng) 與互共軛時(shí)，有 即即 定理 曲面S的參數(shù)曲線網(wǎng)是共軛曲線網(wǎng)充要條件是當(dāng)S的參數(shù)曲線網(wǎng)是漸進(jìn)曲線網(wǎng)，即都是漸進(jìn)方向時(shí)，于是有定理 曲面S的參數(shù)

2、曲線是漸進(jìn)曲線網(wǎng)充要條件是L=N=0。§ 12 曲面上的曲率曲面S：，p處一曲線c：為弧長參數(shù)。則 曲線這里為測地曲率向量在上的投影。為法曲率向量在n方向上的投影。法曲率只與的方向有關(guān)與大小無關(guān)！定理 若曲面上的兩條曲線在某點(diǎn)相切（即在某點(diǎn)有相同的切向量，大小可以不同），則它們?cè)谶@點(diǎn)的法曲率相同。證明：由 的公式立即可得。設(shè)為W的特征值。即 法曲率為W一變換的特征值。設(shè) T為處任一單位切向量，則事實(shí)上，設(shè) 此為Euler公式。§ 13主方向、主曲率時(shí)，達(dá)到極值點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， 則或故 或 為的方向，為的方向。稱主曲率達(dá)到最大、最小兩個(gè)方向：，為主方向 ，為主曲率。若在 則由 知

3、點(diǎn)的任何方向的法曲率都相等，此時(shí)稱為S的臍點(diǎn)。此時(shí)有當(dāng)時(shí)，稱為平點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，稱為圓點(diǎn)。§14 曲率線c：S上曲線，若在點(diǎn)的切線為曲面的主方向，則稱c為S的曲率線。定理 曲線為曲面S的曲率線充要條件是存在函數(shù)使得：證：為曲率線，則為主曲率。§15 主曲率及曲率線的計(jì)算、總曲率、平均曲率設(shè) 為S的主曲率 為特征向量：因線性無關(guān) 即 因?yàn)樘卣飨蛄浚?，故不全為零。?即 將上式展開得：定義： 曲率（總曲率）， 平均曲率。則上方程變?yōu)樵O(shè) 為兩個(gè)主曲率，則以下計(jì)算K和H的公式：（因 ，故例 1、環(huán)面解：從而故當(dāng) 時(shí)，即在環(huán)的外側(cè)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，即環(huán)面的內(nèi)側(cè)時(shí)，。例 求曲面 的Gaus

4、s曲率K及平均曲率H。解：曲率線的計(jì)算：設(shè)c為曲率線，為它的主曲率，c的切向量為主方向，則有（由將上式展開整理得：因 不全為零，則即此為曲率線方程。§16 曲率線網(wǎng)設(shè)S上無臍點(diǎn)，則任意有兩個(gè)獨(dú)立的主方向，則可以選到參數(shù)使得兩坐標(biāo)曲線都是曲率線網(wǎng)，即均是主方向。此時(shí)，即故為主曲率。所以，我們得到：定理 在不含有臍點(diǎn)的曲面上，參數(shù)曲線網(wǎng)為曲率線網(wǎng)（即為主方向，此時(shí)§17曲面在一點(diǎn)鄰近處的形狀去掉高階無窮小，這里，為曲率線。去掉中高階無窮小得則在點(diǎn)用平行于Z軸的平面來截曲面S，則有當(dāng)?shù)狞c(diǎn)稱為橢圓點(diǎn)。當(dāng)?shù)狞c(diǎn)稱為雙曲點(diǎn)。當(dāng)?shù)狞c(diǎn)稱為拋物點(diǎn)。§18 高斯映射為切空間，為單位法向

5、量。映射（單位球面） 是點(diǎn)對(duì)應(yīng)。 向量的對(duì)應(yīng)。§19 曲率的另一表示由前面我們得到 展開即為另一方面把中區(qū)域映射到球面中區(qū)域，上的面積元素為上面積元素為則故因此，表示在映射下包含點(diǎn)的區(qū)域的象的面積與的面積的比，當(dāng)收縮到的極限值。§20 曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面1 全臍點(diǎn)曲面曲面S如果 則S稱為全臍點(diǎn)曲面。此時(shí)， 此時(shí)，曲面上任何方向都為主方向。為兩主曲率，則 以下給出了所有的全臍點(diǎn)曲面。定理 全臍點(diǎn)曲面必是平面或者球面的一部分。證明：S全臍點(diǎn)曲面而由因 關(guān)于對(duì)稱。不平行于若 由為常向量。為一平面方程。若 ，表示球心為2曲率為0的曲面不仿設(shè)取曲率線網(wǎng)為參數(shù)曲線網(wǎng)。（即均為主方向，此時(shí)，若 取為弧長參數(shù)為參數(shù)，即導(dǎo)致于是由而 取正交曲線網(wǎng)時(shí)，故 于是 是直紋面，為該直紋面的母線。因 故沿該直紋面的母線，切平面都相同。（沿，即 故 從而切平面相同。）因此，它是可展曲面?？烧沟闹奔y面只能是柱面、錐面和切線面，而柱面、錐面及切線面的從而得：定理 曲面S的曲面為可展曲面，即錐面、柱面或者切線面（平面當(dāng)然有）。R