2015年(全國(guó)卷II)(含答案)高考文科數(shù)學(xué)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（2全國(guó)卷）數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題 ( 本大題 共 12 題, 共計(jì) 60 分)1.已知集合A=( ) A.(-1，3) B.( -1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)2.若a實(shí)數(shù)，且( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化碳年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是( )A.逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的效果最顯著；B.2007年我國(guó)治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效；C.2006年以來我國(guó)二氧化碳排放量呈減少趨勢(shì)；D.2006年以來我國(guó)二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)。4.已知向量(

2、 )A. -1 B. 0 C. 1 D. 25.設(shè)若( )A. 5 B. 7 C. 9 D. 116.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ( )A. B. C. D. 7.已知三點(diǎn),則外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為( )A. B. C.D.8.右邊程序框圖的算法思路來源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14,18，則輸出的a為( )開始輸入a,baba>b輸出a 是 否 是 否結(jié)束b=b-aa=a-b A. 0 B. 2 C. 4 D.149.已知等比數(shù)列( )A. 2 B. 1 C.

3、 D. 10.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A. 36 B. 64 C. 144 D.25611.如圖，長(zhǎng)方形的邊AB=2，BC=1,O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC,CD,與DA運(yùn)動(dòng)，記( )12.設(shè)函數(shù)( )A. B. C. D. 二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分13.已知函數(shù)。14.若x,y滿足約束條件 。15.已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。16.已知曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（）求 （）若18.某公司為了了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,

4、從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,根據(jù)用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度的評(píng)分,得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表.B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻 數(shù)2814106（I）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖,并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度,（不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可）（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度評(píng)分分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)那個(gè)地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大,

5、說明理由.19.如圖,長(zhǎng)方體中AB=16,BC=10,點(diǎn)E,F分別在上,過點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；（II）求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.20.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在C上.（I）求C的方程；（II）直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.21.已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)有最大值,且最大值大于時(shí),求a的取值范圍.22.選修4-1：幾何證明選講如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),O與ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底

6、邊上的高交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn).（I）證明.（II）若AG等于O的半徑,且,求四邊形EDCF的面積.23.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,曲線（t為參數(shù),且）,其中,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線（I）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）若與相交于點(diǎn)A,與相交于點(diǎn)B,求最大值24.選修4-5：不等式證明選講設(shè)均為正數(shù),且.證明：（I）若,則；（II）是的充要條件.2015年高考文科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷2（解析版）1.【答案】A【解析】因?yàn)?所以故選A.2【答案】D【解析】由題意可得 ,故選D.3【答案】 D【解析】由柱形圖可知2006年以來,我國(guó)二氧化碳排

7、放量基本成遞減趨勢(shì),所以二氧化碳排放量與年份負(fù)相關(guān),故選D.4【答案】C【解析】試題分析：由題意可得 , 所以.故選C.5【答案】A【解析】試題解析：由,所有.故選A.6【答案】D【解析】試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ,故選D.7【答案】B【解析】試題分析：外接圓圓心在直線BC垂直平分線上即直線上,設(shè)圓心D,由DA=DB得 ,所以圓心到原點(diǎn)的距離. 故選B.8【答案】B【解析】試題分析：由題意可知輸出的a是18,14的最大公約數(shù)2,故選B.9【答案】C【解析】試題分析：由題意可得,所以 ,

8、故 ,選C.10【答案】C【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為R,則AOB面積為,三棱錐 體積最大時(shí),C到平面AOB距離最大且為R,此時(shí) ,所以球O的表面積.故選C.11【答案】B【解析】試題分析：由題意可得,由此可排除C,D；當(dāng)時(shí)點(diǎn)在邊上，所以,可知時(shí)圖像不是線段,可排除A,故選B.12【答案】A【解析】試題分析：由可知是偶函數(shù),且在是增函數(shù),所以 .故選A.13【答案】-2【解析】試題分析：由可得 .14【答案】8【解析】試題分析：不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,的最大值必在頂點(diǎn)處取得,經(jīng)驗(yàn)算,時(shí).15【答案】【解析】試題分析：根據(jù)雙曲線漸近線方程為,可設(shè)雙曲線的方程為 ,把代入得.

9、所以雙曲線的方程為.16【答案】8【解析】試題分析：由可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2,故切線方程為,與 聯(lián)立得,顯然,所以由 .17【答案】（）；（）. 【解析】試題分析：（）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：（）由誘導(dǎo)公式可得 由（）知,所以試題解析：（）由正弦定理得 因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以.（）因?yàn)樗?由（I）知,所以18【答案】（）見試題解析（）A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.【解析】試題分析：（）通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.（II

10、）由直方圖得 的估計(jì)值為, 的估計(jì)值為,所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.試題解析：（）通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.（）A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.記 表示事件“A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；表示事件“B地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”.由直方圖得 的估計(jì)值為, 的估計(jì)值為,所以A地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.19【答案】（）見試題解析（） 或【解析】試題分析：（）分別在上取H,G,使；長(zhǎng)方體被平面 分成兩個(gè)

11、高為10的直棱柱,可求得其體積比值為 或試題解析：解：（）交線圍成的正方形如圖：（）作 垂足為M,則,因?yàn)槭钦叫?所以,于是 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面 分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積比值為 （也正確）.20【答案】（）（）見試題解析【解析】試題分析：（）由求得,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,所以于是.試題解析：解：（）由題意有 解得,所以橢圓C的方程為.（）設(shè)直線,把代入得故 于是直線OM的斜率 即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.21【答案】（）,在是單調(diào)遞增；,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；（）.【解析】試題分析：（）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）

12、知當(dāng)時(shí)在無最大值,當(dāng)時(shí)最大值為因此.令,則在是增函數(shù),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是.試題解析：（）的定義域?yàn)?若,則,在是單調(diào)遞增；若,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（）由（）知當(dāng)時(shí)在無最大值,當(dāng)時(shí)在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數(shù),于是,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此a的取值范圍是.22【答案】（）見試題解析；（）【解析】試題分析：（）要證明,可證明；（）先求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度,然后把四邊形EBCF的面積轉(zhuǎn)化為ABC和AEF面積之差來求.試題解析：（）由于ABC是等腰三角形, 所以AD是的平分線,又因?yàn)閳AO與AB,AC分別相切于E,F,所以,故,所以.（）由（）知,故AD是EF的垂直平分線,又EF為圓O的弦,所以O(shè)在AD上,連接OE,OF,則,由AG等于圓O的半徑得AO=2OE,所以,因此,ABC和AEF都是等邊三角形,因?yàn)?所以 因?yàn)?所以O(shè)D=1,于是AD=5, 所以四邊形DBCF的面積為23【答案】（）；（）4.【解析】試題分析：（）把與的方程化為直角坐標(biāo)方程分別為,聯(lián)立解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)；（）先確定曲線極坐標(biāo)方程為進(jìn)一步求出點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由此可得.試題解析：解：（）曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的直角