線性方程組的解法與應(yīng)用08020260逄柏松

1、目 錄摘 要1引 言2一、線性方程組的解法2（一）線性方程組的一般形式及其相關(guān)概念2（二）線性方程組的解法31.解齊次線性方程組的基本解法32.解非齊次線性方程組的基本方法63克萊默（Cramer）法則94高斯（Gauss）消去法135列主消元法186迭代法207.杜里特爾分解法25二、線性方程組的應(yīng)用27（一）線性方程組的理論在研究矩陣的秩，向量組的線性相關(guān)性等概念中的應(yīng)用27（二）線性方程組在特征向量與矩陣對角化中的應(yīng)用30（三）線性方程組在矩陣形如中的應(yīng)用32（四）線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用33結(jié) 束 語34參考文獻(xiàn)34線性方程組的解法與應(yīng)用逄柏松（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系）摘要：線性方程組的理

2、論是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，它是解決很多實(shí)際問題的有力工具，在工程技術(shù)，經(jīng)濟(jì)活動分析以及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。在實(shí)踐中的許多問題可以歸結(jié)為線性方程組的問題，并且線性方程組的表達(dá)方法、求解步驟、解的存在性、解的結(jié)構(gòu)及求解方法等幾乎涉及線性代數(shù)的所有基本概念和基本方法。求解線性方程組是線性代數(shù)的最主要任務(wù)，本文主要介紹了幾種常用的求解方法，包括消元法，行等價標(biāo)準(zhǔn)形法，克蘭姆法則，迭代法，公式法等。并且對這些解法適用的范圍都做了詳細(xì)的說明。線性方程組的應(yīng)用是研究數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)問題，在本文中，又介紹了在矩陣，向量，解析幾何中的各種應(yīng)用。這些是作為初學(xué)者必須掌握和靈活應(yīng)用的。關(guān)鍵詞：線性方程組

3、解法 應(yīng)用Solution and Application of The Line Equation GroupBosong Pang(Department of Mathematics Bohai University)Abstract: The theories of the line equation group is the important contents of linear algebra,it is the powerful tool which resolves many actual problems. It has extensive application in th

4、e realm that is at the engineering technique,the economic activitiesanalytical and many science technique. In practice, a lot of problems can be concluded into the linear equation groups aspect, moreouer, its expressive method, solution always touched upon in all the basic concept and manner of line

5、ar algebra. It introducts many solutions which is common usely in the thesis.They are eliminated element method, row equivalence standard form method,Cramer rule,iterative method,formula method and so on.And these introduction are detailed.The application of the line equation group is a point proble

6、m of research mathematics. This thesis mainly introducts the application of the line equation group in university mathematics which are matrix,vector,analytic geometry,these should be controlled and applied by university student.Key words: Linear equation group Solution Application引 言線性代數(shù)是一門歷史悠久的學(xué)科，

7、早期代數(shù)的中心問題是解方程問題。方程本身有兩個發(fā)展方向，一個是一元高次方程，另一個是多元一次方程組與高次聯(lián)立方程。前者的發(fā)展形成了后來的方程論（或多項(xiàng)式論）的研究，到了19世紀(jì)，還誘發(fā)了近代數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，后者的發(fā)展形成了線性數(shù)學(xué)。線性代數(shù)的興起與發(fā)展大致與微積分學(xué)的興起和發(fā)展是同時的，它們都隨著十七、十八世紀(jì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與要求而發(fā)展的。進(jìn)入20世紀(jì)以后，線性代數(shù)及其應(yīng)用，線性代數(shù)計算方法等又有了長足的發(fā)展。下面我們來研究如何解有關(guān)線性方程組的問題，在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過用加減消元法和代入消元法解二、三元線性方程組，而在高等數(shù)學(xué)中消元法仍然適用，同時我們也可以用一些高等數(shù)學(xué)中的知識來求解

8、線性方程組，下面我們來具體介紹一些解線性方程組的方法，這樣便于我們做題時，依據(jù)不同的類型選擇不同的方法，從而使解題過程簡化，提高解題效率。 一、線性方程組的解法（一）線性方程組的一般形式及其相關(guān)概念含有個未知量的線性方程組的一般形式為 其中為未知量，,為已知數(shù)。未知量和已知量都是任意的復(fù)數(shù)或某一個域的元素。若全為零，則稱為齊線性方程組。若，則方程組還可以寫成矩陣形式。 其中稱為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱為未知數(shù)向量，稱為常數(shù)向量。稱為線性方程組的增廣矩陣。若記則還可以寫成向量形式 （二）線性方程組的解法1.解齊次線性方程組的基本解法設(shè)有齊次線性方程組(為階矩陣)，及矩陣為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣

9、)。首先對齊次方程組系數(shù)矩陣的秩進(jìn)行判定；當(dāng)時，方程組只有零解；當(dāng)時，方程組有無窮多解，此時方程組有個獨(dú)立未知量，個獨(dú)立方程，有個自由未知量，有個線性無關(guān)解向量。其次，根據(jù)解的性質(zhì):i設(shè)是齊次方程組的解，則，仍是齊次方程組的解。ii元齊次線性方程組的全體解所構(gòu)成的集合是一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩時，解空間的維數(shù)為。iii若是的解，且滿足：(i) 線性無關(guān)；(ii)任何的解向量均可由線性表出，則向量組稱為的基礎(chǔ)解系。最后得出的通解：，其中是的基礎(chǔ)解系，是任意實(shí)數(shù)。下面介紹基礎(chǔ)解系的求法。對施以行初等變換(必要時重新排列未知量的順序)可得，對應(yīng)的齊次線性方程組 與原方程組同解，其中為自由未知量，

10、分別取 為 (共個)得的個線性無關(guān)的解。即為基礎(chǔ)解系。例1. 已知齊次線性方程組：其中，試討論和滿足何種關(guān)系時，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解，在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系。解: 方程組的系數(shù)行列式為(1)當(dāng)且時，方程組僅有零解。(2)當(dāng)時，原方程組的同解方程組為由，可知不全零，不妨設(shè)，因?yàn)橹?，取為自由量，可得到方程組的基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時，由，知，系數(shù)矩陣可化為 由于秩，則的基礎(chǔ)解系2.解非齊次線性方程組的基本方法設(shè)有非齊次線性方程組及系數(shù)矩陣與增廣矩陣，首先進(jìn)行判定當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時，方程組有惟一解；當(dāng)時，方程組有無窮多解。再求出非齊次方程組的一個特解，其導(dǎo)出組的一個

11、解，則仍是非齊次線性方程組的解。根據(jù)以上的性質(zhì)，最后求出非齊次線性方程組的通解，其中是非齊次方程組的一個特解，是其導(dǎo)出組的通解。例2. 為何值時，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解？在有解情況下，求出其全部解。解: 對增廣矩陣作初等行變換，有(1)當(dāng)，且時，方程組有唯一解，即(2)當(dāng)時，方程組無解。(3)當(dāng)時，有因?yàn)?，方程組有無窮多解。取為自由變量，得方程組的特解為，又導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為。所以方程組的通解為，為任意常數(shù)。例3 設(shè)線性方程組(1)證明：若兩兩不相等，則線性方程組無解。(2)設(shè)，且已知是該方程組的兩個解，其中寫出此方程組的解。解： (1)因?yàn)樵鰪V矩陣的行列式是范德蒙行列式，故，而

12、系數(shù)矩陣的秩，所以方程組無解。(2)當(dāng)時，方程組同解于因?yàn)?，知，由于，知?dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含有1個解向量，那么是的基礎(chǔ)解系,于是方程組的通解為，為任意常數(shù)。以上兩條介紹了解決線性方程組的基本方法，它們是解題的根本。下面根據(jù)不同的類型介紹幾種具體的解法3克萊默（Cramer）法則我們曾經(jīng)討論過二元線性方程組，當(dāng)系數(shù)行列式時，存在惟一解，并且方程組的解可以表示為下列形式 這一結(jié)果可以推廣到一般的元線性方程組。定理1：（克拉默法則）如果含有個方程的元線性方程組 的系數(shù)行列式，則方程組有惟一解，并且，其中 是將系數(shù)行列式的第列元換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式。下面我們對克拉默法則進(jìn)行證明。將方程組表示為矩陣形

13、式 其中，由于，故可逆。因此將公式兩邊同時左乘，得到 由，從而上式即 其中,，即按第列的展開式。從而有又當(dāng)可逆時，其逆矩陣唯一，因此由上面的結(jié)果可知方程組的解唯一。定理2：如果含有個方程的元齊次線性方程組 的系數(shù)行列式則方程組僅有零解。推論 如果方程組有非零解，則其系數(shù)行列式。例4.解線性方程組解：該線性方程組的系數(shù)行列式因此，方程組有唯一解，又 故方程組的解為例5設(shè)齊次線性方程組有非零解，求的值。解：由定理2的推論，該方程組的系數(shù)行列式必為零，即 或。用克拉默法則解線性方程組是需要兩個前提的，一是未知量的個數(shù)必須等于方程個數(shù)，二是系數(shù)行列式的值不能為零。然而，許多線性方程組并不能同時滿足這兩

14、個條件。即使是滿足這兩個條件的元線性方程組，當(dāng)較大時，計算量也是很大的。因此，用克拉默法則解線性方程組有很大的局限性。4高斯（Gauss）消去法高斯消去法是高斯首次發(fā)現(xiàn)并使用的。它的基本思想是：在線性代數(shù)方程組中，如果某方程中某未知量的系數(shù)非零，則可以利用它消去所有其它方程中該未知量的系數(shù)，從而使方程組得到簡化。消去法是對線性方程組實(shí)行三種變換(統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換)：對換方程組中某兩個方程的位置； 以非零常數(shù)乘以方程組中某個方程； 用數(shù)乘方程組中某個方程后加到另一個方程上去。定理3： 線性方程組經(jīng)過初等變換后所得到的新方程組與原方程組同解。為了便于討論，現(xiàn)將消去法的一般步驟規(guī)范如下：設(shè)

15、線性代數(shù)方程組為(1)利用第一方程第一未知量的非零系數(shù)消去其他方程的第一未知量的系數(shù)。.不失一般性,設(shè)。這是因?yàn)槿绻梢酝ㄟ^互換兩個方程或互換兩個未知量的位置，使變換后的第一方程第一未知量的系數(shù)非零，即使。.若第一方程第一未知量的系數(shù)，則可以通過互換兩個方程的位置或第一方程兩邊同時乘以非零常數(shù)，使第一方程第一未知量的系數(shù)化為。.第方程加上第一方程的倍，則消去第方程的第一未知量的系數(shù)，得同解方程組形如：(2)利用第二方程第二未知量的非零系數(shù)消去其它方程的底二未知量的系數(shù)。.不失一般性，設(shè)。這是因?yàn)槿绻?，可以通過互換除第一方程之外的任意兩個方程的位置，或互換除第一未知量之外的任意兩個未知量的位置

16、，使變換后的第二方程第二未知量的系數(shù)非零，即使。.若第二方程第二未知量的系數(shù)，則可以通過互換除第一方程之外的任意兩個方程或第二方程兩邊同時乘以非零常數(shù)，使第二方程第二未知量的系數(shù)化為。.第方程加上第二方程的倍，則消去第方程的第二未知量的系數(shù)，使得同解方程形如：依此類推，直到這個過程不能再進(jìn)行為止。消去的結(jié)果是把原線性方程組變換為如下形式同解的方程組，我們稱其為最簡方程組：(i)第一形式最簡方程組此時，方程組有唯一解，即(ii)第二形式最簡方程組其中，此時，方程組有無窮多組解。實(shí)際上，對于任意常數(shù)，均為方程組的解。(iii)第三形式最簡方程組其中?；蛘?其中。此時，方程組中均包含有矛盾方程，因而

17、方程組無解。注：在應(yīng)用消去法解線性方程組時不必拘泥于上述步驟，可以根據(jù)具體情況具體分析的原則靈活運(yùn)用。例6 解線性代數(shù)方程組解：利用第一方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 利用第二方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 利用第三方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 此即最簡方程組故知，方程組有唯一解 例7 解線性代數(shù)方程組解：利用第一方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 利用第二方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 第三方程兩邊同乘以，再利用第三方程的系數(shù)消去其它方程的系數(shù)，得 此即最簡方程組 這里相當(dāng)于對未知量的位置進(jìn)行了互換。顯然，方程組有無窮多解。實(shí)際上，對于任意常數(shù)， 恒為方程組的解。利用消去法解線性代數(shù)

18、方程組是通過消元變形把方程組化為容易求解的同解方程組。而且對求解未知元較多的方程組，高斯消去法是一種較為簡便的方法。5列主消元法高斯消去法在沒有舍入誤差時給出了線性方程組的精確解。但在實(shí)際求解時，我們所用的計算機(jī)只能對一定位數(shù)的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。這樣，消去法的計算過程就帶有舍入誤差，得到的解也只能是近似解，有時求得的近似解與精確解相差很大。其實(shí)，高斯消去法有兩個缺點(diǎn)：第一，消元過程中可能出現(xiàn)主元素為零的情況，盡管系數(shù)行列式不等于零，此時消元過程將無法進(jìn)行下去；其次，如果主元素很小，由于舍入誤差，使得方程組的解極不準(zhǔn)確。 考察如下方程組其真解為。假定我們采用三位十進(jìn)制浮點(diǎn)運(yùn)算，并用高斯消去法可得 回代

19、即得。顯然，這一解是無準(zhǔn)確度可言的。得出這一錯誤結(jié)果的原因在于第一步的主元素太小所致。如果我們先交換兩個方程，再用高斯消去法可得 回代之即得。顯然，這是真解的三位舍入值。其實(shí)，后一方法主要是選取用第二個方程中的的系數(shù)為主元素進(jìn)行的消元過程，這說明適當(dāng)選取主元素，方能得到線性方程組較為準(zhǔn)確的近似解。列主元消去法就是未知數(shù)仍然按的順序消去的，不同的是在進(jìn)行第次消元前先選出 中絕對值最大的元素作為主元素。并把它所在的行與第行對換后再進(jìn)行消元過程。 例8 解線性方程組 解：把的系數(shù)中絕對值最大者選作主元素，按消元過程消去的一些系數(shù)，得 消去的一些系數(shù)時，從中選出絕對值最大者作為主元素，按消元過程可得

20、于是，由回代過程得方程組的解列主元消去法彌補(bǔ)了高斯消去法的缺點(diǎn)，在其基礎(chǔ)上更準(zhǔn)確地計算出線性方程組的真實(shí)解。從理論上說，方程組的系數(shù)行列式不為零時，列主元消去法總是可以進(jìn)行下去的。實(shí)際上，在線性方程組的直接解法中主要是采用列主元消去法。6迭代法迭代法是從任意給定的初始向量出發(fā)，用某個適當(dāng)選取的計算公式，求出向量，再用同一公式以代替，求出向量，如此反復(fù)進(jìn)行，得到向量序列。當(dāng)收斂時，其極限為方程組的解。由于實(shí)際計算都只能計算到某個就停止，所以迭代法與直接法不同，即使不考慮舍入誤差的影響，通常在有限步驟內(nèi)得不到方程組的準(zhǔn)確解，只能逐步逼近解。這里我簡單介紹一下雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法。(1)

21、.雅克比（Jacobi）迭代法假定要求解的方程組是 如果,把方程組改寫成任選一組數(shù)作為方程組的近似解(通常稱為零次近似解)，將其代入右端即可求出數(shù)值。即 把這種計算到的數(shù)值稱為一次近似解，再將其帶入右端即可求出二次近似解。一般地，當(dāng)求出了次近似解以后，把它們代入的右端即可得到線性方程組的次近似解。即或者，；。 如果我們把次近似解記作 ，則從零次近似解出發(fā)，由可得近似解序列 當(dāng)時，如果序列中每一個向量的分量都趨于向量對應(yīng)的分量，即，其中，則稱是序列的極限，或序列收斂于，記作。這樣一來，我們按得到的近似解序列收斂于極限向量，并且就是方程組的準(zhǔn)確解。例9. 用雅可比迭代法求解下列方程組，要求當(dāng)時停止

22、迭代。 解：相應(yīng)的雅可比迭代公式為 取迭代初值為按此迭代公式進(jìn)行迭代，得計算結(jié)果如下表： 0 0 0 0 1 1.2 1.3 1.42 0.93 0.92 1.023 1.006 1.012 1.03 4 0.9958 0.9958 0.9964 5 1.00078 1.0012 1.00168 6 0.999712 0.999676 0.999604 7 1.000072 1.0000972 1.0001224 8 0.99997804 0.99997336 0.99996616 9 1.000006048 1.000007776 1.00000972（2）.高斯-塞德爾（Gauss-Sei

23、-del）迭代法高斯-賽德爾(Gauss-Sei-del)迭代法，也稱逐個迭代法。在用雅可比迭代法解線性方程組的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，在求時，已經(jīng)求出，但是在計算時卻仍然用的是。同樣，在計算時，和均已求出，然而在公式中仍然用的是和。依此類推，由于最新計算出來的分量比舊的分量更接近方程組的準(zhǔn)確解，因此，如果用新計算出來的分量來替換舊分量，可能會更快地接近方程組的準(zhǔn)確解。高斯-賽德爾迭代法的迭代公式為： 或者寫成，；。例10. 用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程組，初值取零向量，要求誤差小于等于0.001。解：相應(yīng)的高斯-賽德爾迭代公式為取初始值。按上面公式進(jìn)行迭代，結(jié)果如下表所示： 0 0 0 0

24、 1 0.7778 0.9722 0.9753 2 0.9942 0.9993 0.9993 3 0.9998 1.0000 1.0000 4 1.0000 1.0000 1.0000第四次迭代結(jié)果可以作為方程組的高斯-賽德爾迭代解,即。前面幾種方法都是求出線性方程組的精確解，便于分析和探討關(guān)系。但是在有些實(shí)際問題中，有些數(shù)據(jù)量都是比較大的，要求出精確解需要進(jìn)行大量計算，另一放面，許多實(shí)際問題并不需要求出精確解，只要求出滿足一定條件的近似解即可，這時，我們可以利用迭代法。高斯迭代法比雅可比迭代法步驟更簡單，收斂速度更快。但前提必須是用高斯迭代法保證其解是收斂的。7.杜里特爾分解法設(shè)是階方陣，若

25、把矩陣分解成單位下三角陣與上三角陣的乘積，即，簡之，則稱之為杜里特爾分解，其計算公式為 先用公式(13)計算的第行，后用公式(14)計算的第列，再先算的第行，后算的列。設(shè)方程組，可以分解為，令，則，解出，回代公式為 (15)例11 用杜里特爾分解法求解方程組解: 應(yīng)用公式對增廣矩陣作統(tǒng)一處理，得即，用回代公式(15)求得。二、線性方程組的應(yīng)用（一）線性方程組的理論在研究矩陣的秩，向量組的線性相關(guān)性等概念中的應(yīng)用1 由于對于元齊次線性方程組有：系數(shù)矩陣的秩+解空間的維數(shù)=，于是有如下的定理：定理4：設(shè)是矩陣，則有 證明：設(shè)為齊次線性方程組的解空間，為齊次線性方程組的解空間，則，都是維向量空間的子

26、空間，于是有：對于中的任意向量，顯然有，所以有 即：是齊次線性方程組的解，這說明是方程組解空間的子空間，于是有：。另外， 因?yàn)槭堑淖涌臻g，所以有，因此有 即 。2設(shè)是矩陣，令 即是的第列元素按原來的順序構(gòu)成的維向量，稱為的列向量，同樣可以定義行向量。若的秩是，則中有階子式不等于，且的任意階子式（如果存在的話）全為零，利用方程組的理論，有： 定理5：設(shè)矩陣的秩是，則有個列向量線性無關(guān)，且任意個列向量（如果存在）線性相關(guān)。證明：設(shè)的秩為，則為不等于零的階子式，不妨設(shè)位于的左上角，考慮的前個列向量，設(shè)數(shù)使得： 我們要證明，考慮線性方程組 因?yàn)榈南禂?shù)矩陣中有一個不等于零的階子式，所以的秩為，從而線性方

27、程組只有零解。因此滿足式的只能全為零，這就證明是線性無關(guān)的。設(shè)是的任意個列向量，考慮線性方程組 ，方程組的系數(shù)矩的秩小于（的任意階子式肯定是的階子式，故為）所以有非零解，即存在不全為的數(shù)使 這說明向量組是線性相關(guān)的，所以的任意個列向量是線性相關(guān)的。3定理6：設(shè) 是個維向量，作矩陣 則以下四條是等價的： 向量組線性相關(guān) 秩 的某個行向量是其余行向量的線性組合 含有個未知量的齊次線性方程組有非零解。說明：這樣判斷中的一組向量是否線性相關(guān)就化歸為一個齊次線性方程組有無非零解的問題。例12.設(shè)是一組線性無關(guān)的向量， 證明線性無關(guān)的充分必要條件是證明: 設(shè)，代入，整理得 由于線性無關(guān)，以為未知量的齊次線

28、性方程組 于是線性無關(guān) 方程組只有零解 方程組的系數(shù)行列式4. 定理7: 設(shè)矩陣的列向量依次是，矩陣的列向量依次是，若只經(jīng)過初等行變換化為，有當(dāng)且僅當(dāng)。 證明：由線性方程組的理論知：當(dāng)只通過行初等變換化為時，齊次線性方程組與是同解的，亦即與是同解的，故結(jié)論成立。（二）線性方程組在特征向量與矩陣對角化中的應(yīng)用設(shè)是階方陣，要求的特征根，只需求的特征多項(xiàng)式的在復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部根即可，對于特征向量而言有：1 定理8：設(shè)是數(shù)域上的階方陣，是的特征根，如果復(fù)數(shù)域上的維列向量是的屬于特征根的特征向量，那么是線性方程組的非零解向量，反過來，方程組的在復(fù)數(shù)域上的非零解向量都是的屬于的特征向量。證明：若是的屬于的特

29、征向量，則，因此，即是方程組的非零解向量，反過來，若是在復(fù)數(shù)域上的非零解向量，則，所以， 即是的屬于的特征向量。例13求矩陣 的特征值與特征向量解： 得的特征根為：對于特征根，解線性方程組 即： 得到它的一個基礎(chǔ)解系所以的屬于特征根，的全部特征向量為，其中取遍非零復(fù)數(shù)，對于特征根，解線性方程組求出一個基礎(chǔ)解系 所以屬于特征根的全部特征向量只需在復(fù)數(shù)域上求出方程組的全部非零解向量即可。2 判斷上階方陣是否可對角化的方法： 先求出的全部特征根 如果的特征根都屬于數(shù)域，那么對于每一個特征根，求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系。 對于每一個特征根來說，相應(yīng)的齊次線性方程組在上的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于它的重數(shù)，那么可以對角化，以這些解向量為列作一個階矩陣，則是可逆矩陣，且即為對角形矩陣，該對角形矩陣主對角線上的元素作為的全部特征根與矩陣的列向量作為的特征向量是相對應(yīng)的。例14給定有理數(shù)域上階方陣 解：求出的特征根是 ，對于特征根，求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系 對