2011年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-陜西

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1設(shè)是向量，命題“若，則= ”的逆命題是 A若，則B若，則C若，則D若=，則= -2設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是 ABCD3設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是4（xR）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 A-20 B15C15 D205某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是ABCD6函數(shù)f（x）=cosx在0，+）內(nèi) A沒(méi)有零點(diǎn) B有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)7設(shè)集合M=y|y=xx|,xR,N=x|x|

2、<,i為虛數(shù)單位，xR,則MN為A（0,1）B（0,1C0,1）D0,18右圖中，為某次考試三個(gè)評(píng)閱人對(duì)同一道題的獨(dú)立評(píng)分，P為該題的最終得分。當(dāng)p=85時(shí)，等于 A11B10C8D79設(shè)（，），（，），（，）是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論中正確的是A和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率B和的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D直線過(guò)點(diǎn)10甲乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是ABCD11設(shè)若，則=

3、12設(shè),一元二次方程有正數(shù)根的充要條件是= 13觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第個(gè)等式為。14植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米。開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為（米）。15（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分）A（不等式選做題）若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。B（幾何證明選做題）如圖，且，則。C（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸

4、為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線（為參數(shù)）和曲線上，則的最小值為。三、解答題：解答寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）。16（本小題滿分12分）如圖，在中，是上的高，沿把折起，使 。（）證明：平面  平面；（）設(shè)為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值。17（本小題滿分12分）如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點(diǎn)，且（）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度18（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理。19（本小題滿分12分）如圖，從點(diǎn)P1（0,0）作x軸的垂線交于曲線y=ex于

5、點(diǎn)Q1（0,1），曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交與點(diǎn)P2。再?gòu)腜2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）（k=1,2，n）。（）試求與的關(guān)系（2kn）；（）求20（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）10202030304040505060L1的頻率0102030202L2的頻率001040401現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站。（）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選

6、擇各自的路徑？（）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)（）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論與的大小關(guān)系；（）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案一、選擇題110 DBBCABCCDD二、填空題111 123或4 13142000 15A B C316解（）折起前是邊上的高， 當(dāng) 折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。（）由 及（）知DA，DC兩兩垂直，不防設(shè)=1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

7、所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的余弦值為，=17解：（）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp）由已知得P在圓上，    ，即C的方程為（）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為將直線方程代入C的方程，得 即       線段AB的長(zhǎng)度為注：求AB長(zhǎng)度時(shí)，利用韋達(dá)定理或弦長(zhǎng)公式求得正確結(jié)果，同樣得分。18解 余弦定理：三角形任何一邊的平方等

8、于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍。或：在ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有證法一 如圖即同理可證證法二 已知ABC中A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則,同理可證19解（）設(shè)，由得點(diǎn)處切線方程為由得。（ ），得，所以于是，20解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應(yīng)選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應(yīng)選擇L2（）A,B分別表示針對(duì)（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨(dú)立，的分布列為X012P00404205421解 （）由題設(shè)易知，令得，當(dāng)時(shí)，故（0,1）是的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，故是的單調(diào)增區(qū)間，因此，是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為（），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即（）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設(shè)存在 ，使 對(duì)任意