線性代數(shù)2.3向量間的線性關(guān)系-2(線性相關(guān)與無關(guān))

1、*1 + =0 |+2=0 (*) A 2 +&3 = 0011«II(*=1011-11-2*01I0 >1E I0= k" =* Cfp,方程組（。只有零解p+y , y+a線性無關(guān).例證明如果向量組a, P. y線性無關(guān)，則竺, 卩卄»尸性無關(guān).設(shè)C區(qū)®十& 2十” +釘些區(qū)仗+匕）or + （不不廬衛(wèi)7廷）y = 00, Y羲性無關(guān)卩1+“課堂練習(xí)設(shè)/+，“十心(I <*>何0««()所以（X,%,，叫 線性無關(guān).«n&21t*G2=«I2 勺2“a% 二14|42

2、，4丹線性相關(guān) J存在不全為0的數(shù)*,忍g I,使也+匕碼+ .+3=0a尸倉%不令為9的數(shù)*7""卜務(wù)、 ""u"iw是n個m維向量二存在不全為0的數(shù)6心+S血+ijAr"d由十<出十十AR) (*)次線性方程組2X非零解I秩(ai，a2,， ) 51"|»2 丿a陰二&«22 皿2" U“21v"g彳<n線性相關(guān)與無關(guān)的一些判別方法:(a %對于m維列向量組 <3fi =<a、- ia斤=«2««e朋1”0"t

3、tp Qj,a 線41 相關(guān).-r a) <n/O -“21“22<nW _02 ©am«1Ct, a” ，ctn 線性無關(guān)秩(dp a?,，ctu ) n 行的情形：F、"11 12 - %a"®,線性相關(guān)秩勺P=秩«21«22-«2«*1,帥1 dm2十5竹VWOf=(如1如12”"1做) a =(«21*22»2/1) % M(“炳山皿2八"府)«2對于n維行向童組a” <12,線性無關(guān)*秩皿丿例QLT3«2 =71/&#

4、171;3 =J丿-4、-5判斷向量組6 % aj的 線性相關(guān)性f -2-4p -2-4>10-2解(Oq <12 a,)=31 -5077011W 1 ij0 1Jb0<J/Zi 71 門6 5«1 _只作行變林r(a,a,aj=2<3«1，a, aj 線性相關(guān)T 73 = -2/1 + /2； «3 =-加 1 + «22a I-a 尹 <13=0x2只作行變換J（時曲）Oy =C例判斯向量組a嚴(yán)（12-1卩廠 fn 2 41 2 4'''1 02、2-13(1 -5 -50 1 1I0 I1-1

5、 1 -1T0 3 3-0 1 17(» 00.51 11.lu申刖0 1 1Jl« 0V% = (2,bbl)r虜al al £/(a 仁 a 40= 2v 3'a, m 5線性相關(guān).'.+2"仁辺洛線性相關(guān)（TR作行變換I'* 卩、-201 + 022ai + 02 - Gg M 06、%«1=«2I««2=1««2w*當(dāng)< ©時 r（ai，a3 a ）=秩5, a”，叫線性相關(guān)Ct" 5,On線性相關(guān)II是向量組所含向量的個數(shù);Cl是其中每

6、個向量的維數(shù).r (oti，0.2 On) <nM"i< nWXHr、“11 引2 -尙"“21 22 - «2«Pm I Gm2 ”“加仃推論 當(dāng)向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時, 此向量組一定線性相關(guān).例如: 'I'2 廠 0V線性相關(guān)5個3維向量線性相關(guān)2個1維向量,3個2維向量,4個3維向量線性相關(guān). "1個II維向量線性相關(guān).當(dāng)向i組所含向i的個數(shù)其中每個向童的維數(shù)時aj*如'幻111«>a 22t%、2/11<wl >02,S" >5 牛2 &qu

7、ot; %421ttp a?八",ct線性相關(guān)Si«11«21«12”>«=»列Id?«|T«2%tOfl®w2nn Inn個n維向量aa?,線性相關(guān)佝 也=0*<推論n個n維向量 «| =勺1V.«2 =匕2、 «22«“8 =九、 %»“1丿線性相關(guān)的丸分必要條件是«|%021% aa. “=0n個n維向量01（5切2嗎丿線性相關(guān)的充分必要條件是02 =（"21皿22 曲2/1）如2«nd】/i%=0推論n個n

8、維向量 «| =5】V.«2 =a, ®22«Ia* =九、 %*«Al/厲2“®ii 12a,®2I% 5線性無關(guān)的充分必要條件是n個n維侖量 A （4|1坷zlMmFl M （口21 心22"*®2材）鼻1 g., g.l）線性無關(guān)的充分必要條件是«11«21«12«22 解円k2 1A-13 roA-13勺=210 =2A 0pg 2k幻1一 111-1 1= (* 1，一6 = 2A6 3)(R +2)U>"不全為零5*6“4%“9陽*2，”

9、線性相關(guān)課堂練習(xí)已知向量組2 1)幻=(2 k «) 03=(1 -I I) k為何值時，向量組円皿2旳 線性相關(guān)？線性無關(guān)？當(dāng)k3k-2時,向量組ss©線性相關(guān). 當(dāng)k*3且k* -2時，向量組6皿2皿3線性無關(guān).(三)關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理定理1(例7)如果向量有一部分向量(稱為部分組) 線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān) 證：設(shè)向量組喬逼>%即心中有一部分 線性相關(guān).不妨設(shè)只r個向irapor,“a,線性相關(guān)存在不全為率的數(shù)“k"，_ 使4+&2%+心礙=0 + A/z? +女毎 十()a“ +»©一2 +十Oq =6系

10、數(shù)：至少一個不等于0如果一個向量組線性無關(guān)，則其任意部分組也線性無關(guān).中任一部分?jǐn)X線性無關(guān)CTgCCp 2, 幵 CTj.中有一部分線性相關(guān)如果向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān).逆否命題：整個向童組a、, a，911 a°»j, 憐 a、線性無關(guān)整個向量組耳宀心八sq "、 線應(yīng)相關(guān)+ #心注意:存在一組不全為0的向量組（11,02,a$線柱相關(guān) 1 數(shù)匕&,札 使ftjCj叫 + . +忍冬=0存在一組數(shù)gkf也T-I0礙2© 04B是向童組«2,，務(wù) 的線性組合如0無不全為P - Oa, + Oa,

11、卩可由8,（12線性表示.0的要求s個向童5皿2 線性相關(guān)在ki*0 使/c,a, =0= 0同時k,*0二 a? a» 二Qn 0/.0| =0&a| =a、右a產(chǎn)“2«()1存在S個不全為0的數(shù) 7嚴(yán)也 使+*©+欠a =0存在2個不全為0的數(shù)_A蟲使=6設(shè)1% =/&|«2V= /Qf,=幻=弘2a =b 5, a?的對應(yīng)分i成比例.U.n>/rM «> JiyJt不妨設(shè)b*0，則 0 = -a,=/<存在S個不全為0的數(shù)A沁”R/C|<x, +他Gi +&碼=0當(dāng)s=1時，11¥

12、向量a餐 性相關(guān)1T 個柩顧殛叮筱血司個向童構(gòu)成的向童組«,線性相關(guān) 即一個零向量線性相關(guān)，而一個非零向量紋性無關(guān).（例4）S 個向量 a、, flfj, *»?線性相關(guān)J當(dāng)S=2時,2個向icci，0（2線性相關(guān)1 p它們的對應(yīng)分量成比例.例割斷下列命題是否正確.對于向量組引”心如果存在一組數(shù)h、k» 使丘冋+*2«2 +人磅=0成女用向量組儀,4"心(2) 因為(切40勺4“0幻=0所以心線性無巻(3) 如果一個向量組線性相關(guān)，則其任意部分組 V 也線性相關(guān)七(4) 任意21個n秦向量均線性相(5) 若向量組叫皿2,6線性無關(guān)，2線性相關(guān)，

13、則向量組6、6心很泯 也線性相有關(guān)線性相關(guān)和線性無關(guān)的定理定理26向量組02"心(22)線性相關(guān)的充要條件 是:其申至少有一個向量是其余*1個向量的線性組合.何60«2 =3a產(chǎn)63549線性相關(guān)© <>21 Up 02, 線性相關(guān)例如：的=引対皿丫中至少有一個向量是其余sT個向量的線性組合«3= 0® 十 ta工 la Off, + 礙 2= «a,>- a.i tti， ttj,，ttj (s >2) 線性相關(guān)一其中至少有一個向*是其余sl個向量的線性 組合證必要性設(shè)SSS “王2)年童聲黑 則存在一組不全

14、為0的數(shù)AI血"&快馬k2“十6不妨設(shè)k * 0,則ft,a,= -心一心一-化乞Jt.Jtkor, =(- )«2 十(-)碣十，十(一->a, 他kk即d為s Qj ,，(1$的線性組合即cq為其余S-1牛向童的線性組合.定理27如呆向童組貝，012,，a$線性無關(guān)， 而向量組a“a2,，4,矽線:性相關(guān)Bp可由向量組 Ct| y a?, 八，Ctg線性表丁丘萬法是r * . 證：因為aP «2,., ttj P線,桂相關(guān)Qi，幅,，從©)所以存在一組不全為0的竣占kj,. k卵£?茯滬a +嚴(yán)骨0:不曲Bkp - kjaj - kpOt? -k$a$若k =0,則kis+a?十十瓦0»三0 ： |k|k小，kji全為零4fi?JaHQj,.,Qj線性相關(guān)