2022屆高考數學一輪復習精品學案第1講集合

1、2022年普通高考數學科一輪復習精品學案第1講 集 合一課標要求：1集合的含義與表示1通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于關系；2能選擇自然語言、圖形語言、集合語言列舉法或描述法描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2集合間的根本關系1理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的根本運算1理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；2理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；3能使用venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。二命題走向有關集合的高考試題，考查重點是

2、集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集開展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。預測2022年高考將繼續(xù)表達本章知識的工具作用，多以小題形式出現，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為：1題型是1個選擇題或1個填空題；2熱點是集合的根本概念、運算和工具作用。三要點精講1集合：某些指定的對象集在一起成為集合。1集合中的對象稱元素，假設a是集合a的元素，記作；假設b不是集合a的元素，記作；2集合中的元

3、素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設a是一個給定的集合，x是某一個具體對象，那么或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體對象，因此，同一集合中不應重復出現同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；3表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內。具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值或變化范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共

4、同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。4常用數集及其記法：非負整數集或自然數集，記作n；正整數集，記作n*或n+；整數集，記作z；有理數集，記作q；實數集，記作r。2集合的包含關系：1集合a的任何一個元素都是集合b的元素，那么稱a是b的子集或b包含a，記作ab或；集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。假設ab且ba，那么稱a等于b，記作a=b；假設ab且ab，那么稱a是b的真子集，記作ab；2簡單性質：1aa；2a；3假設ab，bc，那么ac；4假設集合a是n個元素的集合，那么集合a有2n個子集其中

5、2n1個真子集；3全集與補集：1包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作u；2假設s是一個集合，as，那么，=稱s中子集a的補集；3簡單性質：1()=a；2s=，=s。4交集與并集：1一般地，由屬于集合a且屬于集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。2一般地，由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的并集。注意：求集合的并、交、補是集合間的根本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且與“或，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。5

6、集合的簡單性質：1234；5ab=ab，ab=ab。四典例解析題型1：集合的概念例1設集合，假設，那么以下關系正確的選項是 abcd解：由于中只能取到所有的奇數，而中18為偶數。那么。選項為d；點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關系。首先應該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關系，而集合之間是包含與不包含的關系。例2設集合p=m|1m0，q=mr|mx2+4mx40對任意實數x恒成立，那么以下關系中成立的是 apqbqpcp=qdpq=q解：q=mr|mx2+4mx40對任意實數x恒成立，對m分類：m=0時，40恒成立；m0時，需=4m24×m×40，解得m0。

7、綜合知m0，q=mr|m0。答案為a。點評：該題考察了集合間的關系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數m，需要對參數進行分類討論，不能忽略m=0的情況。題型2：集合的性質例3集合a=1，2，3，4，那么a的真子集的個數是 a15 b16 c3 d4解：根據子集的計算應有241=15個。選項為a；點評：該題考察集合子集個數公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，a不是a的真子集。變式題：同時滿足條件：假設，這樣的集合m有多少個，舉出這些集合來。答案：這樣的集合m有8個。例4全集，a=1,如果，那么這樣的實數是否存在假設存在，求出，假設不存在，說明理由。解：；，即0

8、，解得當時，為a中元素；當時，當時，這樣的實數x存在，是或。另法：，0且或。點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：集合，,求的值。解：由可知，1，或2解1得，解2得，又因為當時，與題意不符，所以，。題型3：集合的運算例5集合mx|x3，nx|log2x1，那么mn abx|0x3cx|1x3dx|2x3解：由對數函數的性質，且2>1，顯然由易得。從而。應選項為d。點評：該題考察了不等式和集合交運算。例6設集合，那么等于 abcd解：，所以，應選b。點評：該題考察了集合的交、補運算。題型4：

9、圖解法解集合問題例7集合a=x|x|2，xr，b=x|xa，且ab，那么實數a的取值范圍是_。解：a=x|2x2，b=x|xa，又ab，利用數軸上覆蓋關系：如下列圖，因此有a2。點評：此題利用數軸解決了集合的概念和集合的關系問題。例8全集in*，集合axx2n，nn*，bxx4n，nn，那么 aiabbiabciabdiab解：方法一：a中元素是非2的倍數的自然數，b中元素是非4的倍數的自然數，顯然，只有選項正確.方法二：因a2，4，6，8，b4，8，12，16，所以b1，2，3，5，6，7，9，所以iab，故答案為.方法三：因ba，所以ab，aba，故iaaab。方法四：根據題意，我們畫出v

10、enn圖來解，易知ba，如圖：可以清楚看到i=ab是成立的。點評：此題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。題型5：集合的應用例9向50名學生調查對a、b兩事件的態(tài)度，有如下結果贊成a的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成b的比贊成a的多3人，其余的不贊成；另外，對a、b都不贊成的學生數比對a、b都贊成的學生數的三分之一多1人。問對a、b都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人解：贊成a的人數為50×=30，贊成b的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為u，贊成事件a的學生全體為集合a；贊成事件b的學生全

11、體為集合b。設對事件a、b都贊成的學生人數為x,那么對a、b都不贊成的學生人數為+1,贊成a而不贊成b的人數為30x，贊成b而不贊成a的人數為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對a、b都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。例10求1到200這200個數中既不是2的倍數，又不是3的倍數，也不是5的倍數的自然數共有多少個解：如圖先畫出venn圖，不難看出不符合條件 的數共有200÷2200÷3(200÷5)(200÷10)(200÷6)(200÷15)(200÷30)146所以，符合條

12、件的數共有20014654個點評：分析200個數分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例11設集合a=x|xa|<2，b=x|<1，假設ab，求實數a的取值范圍。解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以a=x|a2<x<a+2。由<1，得<0，即2<x<3，所以b=x|2<x<3。因為ab，所以，于是0a1。點評：這是一道研究集合的包含關系與解不等式相結合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組

13、的根本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數軸上的表示方法.表達了數形結合的思想方法。例12an是等差數列，d為公差且不為0，a1和d均為實數，它的前n項和記作sn,設集合a=(an,)|nn*,b=(x,y)| x2y2=1,x,yr。試問以下結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：1假設以集合a中的元素作為點的坐標，那么這些點都在同一條直線上；2ab至多有一個元素；3當a10時，一定有ab。解：1正確；在等差數列an中，sn=,那么(a1+an),這說明點(an,)的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。2正確；設(x,y)ab,那

14、么(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時ab=；當a10時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。ab至多有一個元素。3不正確；取a1=1，d=1，對一切的xn*，有an=a1+(n1)d=n>0, >0，這時集合a中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=10 如果ab，那么據(2)的結論，ab中至多有一個元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)a,產生矛盾，故a1=1,d=1時ab=，所以a10時，一定有ab是不正確的。點評

15、：該題融合了集合、數列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：設集合，,求實數m的取值范圍.分析：關鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：的取值范圍是um=m|m<-2.解法三設這是開口向上的拋物線，那么二次函數性質知命題又等價于注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否那么解答沒有這么簡單。兩個正整數集合a=a1,a2,a3,a4,、b.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據“交、并的意義及元素的根本性質解決，注意“正整數這個條件的運用，分析：正確理解要使,由當k=0時，方程有解,不合題意；當又

16、由由，由、得b為自然數，b=2，代入、得k=1點評：這是一組關于集合的“交、并的常規(guī)問題，解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數學內容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標創(chuàng)新題例13七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，那么有多少不同的排法解：設集合a=甲站在最左端的位置，b=甲站在最右端的位置，c=乙站在正中間的位置，d=丙站在正中間的位置，那么集合a、b、c、d的關系如下列圖，不同的排法有種.點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的根本功，容易錯，假設考慮運用集合思想解答，那么比較容易理解。上面的例子說明了集合思

17、想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經驗。例14a是由定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：對任意，都有 ； 存在常數，使得對任意的，都有1設，證明：2設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;3設,任取,令證明:給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式。解：對任意,所以對任意的，所以0<,令=，所以反證法：設存在兩個使得,。那么由，得，所以，矛盾，故結論成立。，所以+。點評：函數的概念是在集合理論上開展起來的，而此題又將函數的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎。五思維總結集合知識可以使我們更好地理解數學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數學問題，運用集合觀點去研究

18、和解決數學問題。1學習集合的根底能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、=、a、，等等； 2強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容即讀懂問題中的集合以及各個集合之間的關系，常常根據“venn圖來加深對集合的理解，一個集合能化簡或求解，一般應考慮先化簡或求解；3確定集合的“包含關系與求集合的“交、并、補是學習集合的中心內容，解決問題時應根據問題所涉及的具體的數學內容來尋求方法。 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2；