向量法求異面直線的夾角、線面角和二面角的平面角及距離ppt課件

1、abABCD設(shè)異面直線設(shè)異面直線a、b的夾角為的夾角為cos = AB , CDcos| |=AB CDAB| |CD| | = AB , CD或或 = AB , CD 利用兩條直線的方向向量的夾角的余弦利用兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦而得。的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦而得。1 1 求直線和直線所成的角求直線和直線所成的角一、用向量法求角一、用向量法求角2、求直線和平面所成的角、求直線和平面所成的角CBn設(shè)直線設(shè)直線BA與平面與平面的夾角為的夾角為，n 為平面為平面的法向量的法向量,Ag1g1n 與向量與向量BA 的夾角為銳角的夾角為銳角g1當(dāng)當(dāng)12g=CBAng

2、2g2n 與向量與向量BA 的夾角為鈍角的夾角為鈍角g2當(dāng)當(dāng)22g=balqn1n2g3.法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系 設(shè)設(shè) , = gn1 n2設(shè)設(shè)a l b的平面的平面角為角為qq =gbalqn1n2gg 兩個(gè)平面的法向量在二面角內(nèi)兩個(gè)平面的法向量在二面角內(nèi)同時(shí)指向或背叛。同時(shí)指向或背叛。balqn1n2gbalqn1n2g 設(shè)設(shè) , = gn1 n2設(shè)設(shè)a l b的平面的平面角為角為qq =g 兩個(gè)平面的法向量在二面角內(nèi)兩個(gè)平面的法向量在二面角內(nèi)一個(gè)指向另一個(gè)背叛。一個(gè)指向另一個(gè)背叛。二：向量法求間隔二：向量法求間隔AB1、知、知A(x1 , y

3、1, z1), B(x2 , y2, z2)|AB|=ABAB212212212zzyyxx=212212212,zzyyxxdBA=其中其中dA,B表示表示A與與B兩點(diǎn)間的間隔，這就是空間兩點(diǎn)間的間隔公式。兩點(diǎn)間的間隔，這就是空間兩點(diǎn)間的間隔公式。2. 點(diǎn)到平面的間隔點(diǎn)到平面的間隔知知AB為平面為平面a的一條斜線段的一條斜線段,n平面平面a的法向量的法向量.那么那么A到平面到平面a的間隔的間隔| |AB n| |nd=BCAna3. 直線和它平行平面的間隔直線和它平行平面的間隔n知直線知直線a平面平面,求求a到平面到平面的間隔的間隔AB在在a和平面和平面上分別任取一點(diǎn)上分別任取一點(diǎn)A和和Bn

4、 是平面是平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量直線直線a和它平行平面和它平行平面的間隔為的間隔為| |AB n| |nd=a a4. 兩個(gè)平行平面間的間隔兩個(gè)平行平面間的間隔ABn| |AB n| |nd=A、B分別是分別是a、上的恣意點(diǎn)，上的恣意點(diǎn)，n 是平面是平面a、 的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量ababAB只需在兩條異面直線只需在兩條異面直線a 、 b上上分別任取一點(diǎn)分別任取一點(diǎn)A、B。 設(shè)與設(shè)與a 、 b的方向向量都垂直的的方向向量都垂直的向量為向量為n 那么那么nn a =0n b =0 a、b之間的間隔之間的間隔| |AB n| |nd=3、求兩條異面直線的間隔、求兩條異面直線的間隔1GKFE

5、AB1C1D1CDBAzyx例例1：棱長(zhǎng)為：棱長(zhǎng)為1的正方形的正方形ABCDA1B1C1D1中中,E,F,G,K分別是分別是棱棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求求A1D與與CK的夾角；的夾角；求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面EFG的間隔；的間隔；二面角二面角GEFD1的大小的大小用三角函數(shù)表示用三角函數(shù)表示 DD1與平面與平面EFG所成的角；所成的角； 用三角函數(shù)表示用三角函數(shù)表示求求A1D與與CK之間的間隔。之間的間隔。解：以解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)DA , DC , DD1 為單位正為單位正交基底建立直角坐標(biāo)系。交基底建立直角坐標(biāo)系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1

6、(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)21, 0 , 0KDA1=(1,0,1)=21, 1, 0CK , CKcosDA1=| |CK| |DA1CKDA1411221=1010= DA1 與與CK的夾角為的夾角為1010arccos求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面EFG的間隔；的間隔；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA，0 , 0 ,21E，21, 0 , 1F.1 ,21, 1G，=21, 0 ,21EF=1 ,21,21EG設(shè)面設(shè)面EGF的法向量的法向量=(x, y, z)nn EG=0n EF=0=0212102121zyxzx即令令x=1,得得=(1, 1,1)n=0 , 1,2

7、1BE而點(diǎn)點(diǎn)B到平面到平面EFG| |BE n| |nd=3121=23=二面角二面角GEFD1的大小的大小用三角函數(shù)表示用三角函數(shù)表示zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向量的法向量=(1, 1,1)n而面而面DAD1A1法向量法向量DC =(0, 1,0), , cosDCnDCnDCn=3331=在二面角在二面角GEFD1內(nèi)內(nèi)是指向面是指向面GEFnDC 是背叛平面是背叛平面DAD1A1二面角二面角GEFD1為為33arccos DD1與平面與平面EFG所成的角；所成的角； 用三角函數(shù)表示用三角函數(shù)表示zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面由知面GEF的法向

8、量的法向量=(1, 1,1)nDD1=(0,0,1) , cosDD1n11DDnDDn=31= , DD1n33arccos= DD1與平面與平面EFG所成的角為所成的角為33arccos233arccos2=求求A1D與與CK之間的間隔。之間的間隔。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx=2110，CKA1D=(1,0 ,1)DAn1令CKn =(x, y, z)n且設(shè)且設(shè)=001DAnCKn由=0021zxzy得令令x=2,得得=(2, 1, 2)nGKFEA1B1C1D1CDBAzyx=(2, 1, 2)n=2100 ，DKA1D與與CK之間的間隔之間的間隔| |DK n| |nd=9

9、1=31=例例2 正四棱柱正四棱柱ABCDA1B1C1D1中底面邊長(zhǎng)為中底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5,P為為CC1上的恣意一點(diǎn)上的恣意一點(diǎn).求證求證:BDAPC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP證明：以證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)由知可知由知可知P(0,4,z)APBD=(4, 4, z ),=(4,4, 0 ),AP BD=1616=0 AP BD AP BDC1P=2,求二面角求二面角AB1PB的正切值。的正切值。解：解：P(0, 4,3)

10、B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP =(4, 4,3)PB1 =(4, 0,2)令平面令平面APB1的法向量為的法向量為=(x, y, z)n=0240344zxzyx得n n AP=0PB1=0由由令令x =2 得得=(2, 5, 4 )n而面而面BCPB1的法向量為的法向量為CD的方向向量的方向向量=(0, 1, 0 )m , cosmn455=35=在二面角在二面角AB1PB內(nèi)是指向平面內(nèi)是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角在二面角AB1PB內(nèi)是指向平面內(nèi)是指向平面APB1nm在二面角在二面角AB1PB內(nèi)是背叛平面內(nèi)是背叛平面BCPB1故二面角

11、故二面角AB1PB的平面角為的平面角為 , mn無妨令二面角無妨令二面角AB1PB的平面角為的平面角為tan1,cos12=mn552=二面角二面角AB1PB的正切值為的正切值為552例例3 在三棱錐在三棱錐DABC中中,底面底面ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,側(cè)面?zhèn)让鍰BC是等邊三角形是等邊三角形,平面平面DBC平面平面ABC,AB=AC=4,E,F分別為分別為 BD,AD中點(diǎn)。中點(diǎn)。求二面角求二面角FCED的大小；的大小；求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面CEF的間隔；的間隔；直線直線CE與平面與平面ABC所成的角；所成的角；O解：找解：找BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O,連連AO,DOABC是等腰三角形是

12、等腰三角形AOBC于于ODOBC于于ODO面面ABC故可以以故可以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)OA、OC、OD分別為分別為x,y,z軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系z(mì)yxBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2FxOzyBFEDACABCOxy0 , 0 ,22A0 ,22, 0,B0 ,22 , 0C62 , 0 , 0D6,2, 0 E6, 0 ,2F0 ,2,2=EF6,23,= oCE設(shè)面設(shè)面EFC的法向量的法向量=(x, y, z)nn CE=0n EF=0由由=0623022zxyx得令令 x =13, 1, 1=n得因因OA面面BCD,故故的方向向量OA=(1, 0, 0)為面為面BCD的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量mmn,cos51=55=xOzyBFEDAC3, 1, 1=nm =(1, 0, 0)mn,cos51=55=在二面角在二面角FCED內(nèi)內(nèi)3, 1, 1=n指向面指向面EFC,nm 在二面角在二面角FCED內(nèi)是背叛面內(nèi)是背叛面BCD二面角二面角FCED的大小等于的大小等于mn,即二面角即二面角FCED的大小為的大小為55arccos求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面CEF的間隔；的間隔；xOzyBFEDAC解：由知平面解：由知平面CEF的法