(完整)中考復(fù)習(xí)：將軍飲馬類題型大全,.docx

1、“將軍飲馬”類題型大全一.求線段和最值1 （一）兩定一動(dòng)型例1:如圖， AM ±EF, BN± EF,垂足為 M、N , MN =12m , AM = 5m , BN =4m ,P是EF上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是 m.E W P X F分析：這是最基本的將軍飲馬問題，A, B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬 型，根據(jù)常見的“定點(diǎn)定線作對稱”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，,根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接A' B,此時(shí)A' P+PB即為A' B,最短.而要求A' B, 則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱

2、點(diǎn)A ',過點(diǎn)A'作A' C± BN的延長線于C.易知A' M = AM=NC = 5m, BC= 9m , A' C=MN=12m,在 Rt AA' BC 中，A' B=15m, 即PA+PB的最小值是15m .變式:如圖，在邊長為2的正三角形ABC中，E, F, G為各邊中點(diǎn)，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則ABPG周長的最小值為.4B G分析：考慮到BG為定值是1,則ABPG的周長最小轉(zhuǎn)化為求BP+PG的最小值，又是 兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不 出來到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接 AG,則A

3、GLBC,再連接EG,根據(jù)“直角三 角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AE= EG,則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對 稱點(diǎn).最后計(jì)算周長時(shí)，別忘了加上 BG的長度.解答：連接 AG,易知 PG = PA, BP+PG = BP+PA,當(dāng) B, P, A 三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PG=BA,此時(shí)最短，BA=2 , BG = 1,即ABPG周長最短為3.（二）一定兩動(dòng)型 例2：如圖，在 ABC中，AB = AC=5, D為BC中點(diǎn)，AD= 5, P為AD上任意一點(diǎn),E為AC上任意一點(diǎn)，求PC + PE的最小值.AB D C分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P, E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于 ABC 是等腰

4、三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC,點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B, PC+PE=PB+PE,顯然當(dāng)B, P, E三點(diǎn)共線時(shí)，BE更短.但此時(shí)還不是 最短，根據(jù)“垂線段最短”只有當(dāng)BE, AC時(shí)，BE最短.求BE時(shí)，用面積法 即可.解答：作BELAC交于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)P,易知ADLBC, BD = 3, BC = 6,則 AD BC=BE AC,4X6 = BE 5, BE=4.8變式：如圖，BD平分NABC, E, F分別為線段BC, BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB = 8, ABC的周長為20,求EF+CF的最小值B E分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn), E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣

5、于 “定點(diǎn)定線作對稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問題.因?yàn)辄c(diǎn)C的對稱點(diǎn)C'必然在AB上，但由于BC長度未知，BC'長度也未知，則C'相對的也是不確定點(diǎn), 因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn).解答：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E',連接E' F,則EF+CF = E' F+CF,當(dāng)E', F, C三點(diǎn)共線時(shí)，E' F+CF = E' C,此時(shí)較短.過點(diǎn)C作CE' '，AB于E'', 當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)E''重合時(shí)，E' ' C最短，E' '

6、; C為AB邊上的高，E' ' C = 5.B E（三）兩定兩動(dòng)型例3：如圖，Z AOB= 30° , OC=5, OD=12,點(diǎn)E, F分別是射線OA , OB上的動(dòng)點(diǎn)，求CF+EF + DE的最小值.分析：可以用這里的點(diǎn)C,點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn), E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊 '定點(diǎn)定線作對稱”來考慮.作點(diǎn) C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA 的對稱點(diǎn).解答：作點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C',點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D',連接C' D'.CF + EF + DE=C' F+EF+D' E,當(dāng) C' , F

7、, E, D'四點(diǎn)共線時(shí)，CF + EF + DE= C' D'最短.易知 ND' OC' =90 ° , OD ' =12 , OC' =5, C' D' =13, CF + EF+ DE 最小值為 13 .變式:（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面 AB寬1.78m,白球E距AD邊0.22m ,距CD邊1.4m ,有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊0.1m ,若要使白球E經(jīng) 過邊AD, DC,兩次反彈擊中紅球F,求白球E運(yùn)動(dòng)路線的總長度.4?£oBFC分析：本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知

8、，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對稱點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對稱點(diǎn),即可畫出白球E的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型.解答：作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對稱點(diǎn)E',作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對稱點(diǎn)F，,連接E' P , 交AD于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,則運(yùn)動(dòng)路線長為EG+GH+HF長度之和，即E' F' 長，延長 E' E 交 BC 于 N,交 AD 于 M,易知 E' M =EM=0.22m , E' N=L78 + 0.22 = 2m, NF' = NC+CF' =1.4+0.1 =L5m,則 RtE&

9、#39; NF'中，E' F' =2.5m ,即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長度為2.5m .小結(jié):以上求線段和最值問題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“ 一定兩動(dòng)”“兩 定兩動(dòng)”類的將軍飲馬型問題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對稱”，利用“兩點(diǎn) 之間線段最短” “垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的 斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來求解.當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對稱.(二)求角度例1:P為NAOB內(nèi)一定點(diǎn)，M, N分別為射線OA, OB上一點(diǎn)，當(dāng)PMN周長最小 時(shí),ZMPN = 80° .(1) /AO

10、B=(2)求證：OP平分Z MPN分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將 M, N的位置找到，再來思考NAOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P',關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P'',連 接P' P'',其與OA交點(diǎn)即為M, OB交點(diǎn)即為N,如下圖，易知NDPC 與ZAOB互補(bǔ)，則求出ZDPC的度數(shù)即可.解答：(1)法 1 ：如圖，Zl + Z2 = 100 ° , N1 = NP' + N3=2N3, N2 = NP' ' +N4 = 2N4, 則 N3 + /4 = 50。 , Z DPC= 130 

11、6; , N AOB= 50° .再分析:考慮到第二小問要證明OP平分NMPN,我們就連接OP,則要證N5 = N6,顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對稱性，我們再連接 OP' , OP'',則N5 = N7,N6= N8,問題迎刃而解.解答：(1)法2：易知 OP' = OP' ' , N 7+ N8 = N5 + N 6= 80° , Z P' OP' ' = 100 ° ： 由對稱性知，Z9 = Z 11, Z 10 = Z 12, N AOB= N 9 + N10 =50 °(2)由 OP' = OP' ' , N P' OP, ' = 100 ° 知， Z7 =N 8= 40° , Z5 =N 6 =40 ° , OP 平分 ZMPN .變式:如圖，在五邊形 ABCDE 中，ZBAE=136 ° , NB=NE=90。,在 BC、DE ±分別找一點(diǎn)M、N ,使得AAMN的周長最小時(shí)，則N AMN + NANM的度數(shù)為分析:這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，必然是作 A點(diǎn)關(guān)于BC、D