用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值二、知識(shí)講解常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法。考點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上考點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)解決能成立問題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.解決不等式恒成立問題和能成立問題，注意一個(gè)是全稱

2、命題，一個(gè)是存在性命題，所以轉(zhuǎn)化的時(shí)候要注意求的到底是函數(shù)最大值和最小值。三、例題精析【例題1】【題干】設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（1）求、的值；（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求的取值范圍【答案】（1），（2）的取值范圍為【解析】（1），函數(shù)在及取得極值，則有，即，解得，（2） 由（1）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，則當(dāng)時(shí)，的最大值為對(duì)于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范圍為【例題2】【題干】設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若在l，e上至少存在一組使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）切線

3、為                                       （2），由題意若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，在（0，+）上恒成立，即，  （3）在1，e上至少存在一組使成立；則，          

4、;              9分在1，e上遞減，令當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)時(shí)在上遞增，不合題意。當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞減，ks5u時(shí)，不合題意。綜上：                                  

5、0; 【例題3】【題干】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，的極小值是（2）在上，是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，若要成立，則需，解得.當(dāng)時(shí)，若要成立，則需，解得.綜上，的取值范圍是四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.三次函數(shù)f（x）=x33bx+3b在1，2內(nèi)恒為正值，則b的取值范圍是_【答案】 【解析】方法1：拆分函數(shù)f（x），根據(jù)直線的斜率觀察可知在1，2范圍內(nèi)，直線y2與y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范圍方法2：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)b進(jìn)行討論，比較是

6、否與已知條件相符，若不符則舍掉，最后求出b的范圍。2. 對(duì)于總有成立，則的值為多少？【答案】a=4【解析】若，則不論取何值，顯然成立；當(dāng)，即時(shí)可化為.設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而.當(dāng)，即時(shí)，可化為，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而.綜上所述.【鞏固】1.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.【解析】（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，>0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.2. 已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【解析】的定義域是(0,+)

7、,設(shè),二次方程的判別式. 當(dāng)，即時(shí)，對(duì)一切都有,此時(shí)在上是增函數(shù)。 當(dāng),即時(shí)，僅對(duì)有,對(duì)其余的都有,此時(shí)在上也是增函數(shù)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,.+0_0+單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時(shí)在上單調(diào)遞增, 在是上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.【拔高】1.設(shè)函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】（）,曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）由，得， 若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

8、，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.2. 已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）證明：若，則對(duì)任意x，x，xx，有。【解析】(1)的定義域?yàn)?。（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù) 則由于1<a<5,

9、故，即g(x)在(4, +)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有課程小結(jié)關(guān)于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的策略還有很多，參數(shù)問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng)，對(duì)于某些“含參函數(shù)”題目，不一定用某一種方法，還可用多種方法去處理這就要求我們養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，有良好的觀察與分析問題的能力，靈活的轉(zhuǎn)化問題能力，使所見到的“含參函數(shù)”問題能更有效地解決課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 已知函數(shù)（1） 如，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明6. w. 【解析】（）當(dāng)時(shí)，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.()由條件得：從而因?yàn)樗?

10、將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（I） 令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減。故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【鞏固】1. 已知函數(shù)，其中若在x=1處取得極值，求a的值；求的單調(diào)區(qū)間；（）若的最小值為1，求a的取值范圍。w.w.w.k.s.5.u.c

11、.o.m 【解析】（）在x=1處取得極值，解得（） 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由（）當(dāng)時(shí)，由（）知，當(dāng)時(shí)，由（）知，在處取得最小值綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是2. 已知函數(shù).w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】，函數(shù)的最小正周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.【拔高】1.已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)f+(x) ,記函數(shù)g(x)在區(qū)間-1、1上的最大值為M. ()如果函數(shù)f(x)在x1處有極值-，試確定b、c的值： （）若b>1,證明對(duì)任意的c,都有M

12、>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若MK對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值?！窘馕觥?，由在處有極值可得解得或若，則，此時(shí)沒有極值；若，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：10+0極小值極大值當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。（）證法1：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即證法2（反證法）：因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外，在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)假設(shè)，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，（）解法1：（1）當(dāng)時(shí)，由（）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，w.w.w.k.

13、s.5.u.c.o.m 此時(shí)由有若則，于是若，則于是綜上，對(duì)任意的、都有而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。解法2：（1）當(dāng)時(shí)，由（）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即2. 已知函數(shù),其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.【解析】(1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時(shí)方程的根為,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時(shí),x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時(shí), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值