圓壓軸八大模型題(2)-切割線互垂

1、圓壓軸題八大模型題（二）瀘州市七中佳德學(xué)校易建洪引言：與圓有關(guān)的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型2 切割線互垂在RtABC中，點E是斜邊AB上一點，以EB為直徑的。與AC相切于點D,與BC相交 于點F.C(5)DB2=BC BE;(6)AD2=AE AB.AD=20,AE=10，求 r;(2)AB=40,BC=24求 r.(3)AC=32, AE=

2、10,求 r.(4) / ABD=Z CBD.【分析】在RADO中,(2)由 DO/ BC得DO AOBC AB(10+r)2=r2+202，得 r=15.r 40 r,，24 倚：r=15.(7)A DC障 DGE;(8)DF2=CF BE;(9)AG:AC=1:2,BD=10求 r.(10)DC=12,CF=6,求r和BF.(11)DC=12,CF=6< CO 上任意線段的長.在 RtADO 中，AD=V(10rpr, DO=r, AO=10+r,由 DO/ BC,處皿得，r=15.AC AB(4)連結(jié) DO,DO=BOZ ODB=Z OBD;由 DO/ BC得/ CBD=Z ODB

3、, . / ABD=/ CBD.(5)由 RtA BCD RtBDE 得 BD2=BC BE.(6)由4人口ABD得 AD2=AE AB.【分析】(7)由/ EBD=/ FBD 得 DE=DFJ DE=DF又/ DFC之 DEG/C=/ DGE=90和4 DCF DGE.CF(8)由4 CDD DBE得 DFDEBE，且 DE=DFa DF2=CF BE.(9)由ADS ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:般 DG=k,貝 U DC=DG=k,BC=2k,DB=5 k=10, . k=2 行, BG=BC=2k=4 75，由 Rt DBGs Rt EBD 得 DB2=GB EB,. 102

4、=4 展 EB, /.EB=5 5 ,r= 55 .(10) Z C=Z CFG=Z CDG=90得矩形 DGFCJ DG=CF=6,DC=GF=GE=12, 在 RtGEO中，GO2+eG!=EC2,.,. (r-6)2+122=r2.-.r=15-6=9,由中位線定理得 BF=2GO=18.(11)如圖，在 RtDCO 中，CO=J122 152 =3河,GO=15-6=9,由 D0/CB得，CF CP 6 2,，pc=3cc=皿.GO OP 9 355同理可得圖中CO上其它線段的長度.【典例】(2018 四川成者B)如圖，在 RtABC中，/ C= 90°, AD平分/ BAC

5、交BC于點D, O為AB 上一點，經(jīng)過點 A, D的。O分別交AB, AC于點E, F,連接OF交AD于點G.(1)求證：BC是。的切線;AD的長;(圖 2-1)(2)設(shè)AB= x, AF= y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段(3)若 BE= 8, sinB=,求 DG 的長.13【分析】(1)連接OD,由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內(nèi)錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證;(2)連接DF,由(1)得到BC為圓O的切線，由弦切角等于夾弧所對的圓周角，進而得到三角形ABD與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出 AD;(3)連

6、接EF,設(shè)圓的半徑為r,由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin/AEF= sinB,進而求出DG的長即可.解：(1)證明：如圖，連接 OD, AD 為 / BAC 的角平分線，/ BAD= / CAD, . OA= OD,/ ODA= / OAD,/ ODA= / CAD, OD / AC, /C= 90； ./ODO 90； .,.ODXBC,圖 b .BC為圓。的切線；(2)連接DF,由(1)知BC為。的切線， ./ FDG= / DAF, ./ CDA= Z CFD,/ AFD= / ADB, / BAD= / DAF,A

7、BDA ADF,AB ADAD AF即，AD2= AB - AF=xy,則 AD=網(wǎng)(3)連接 EF,在 RtBOD中，sinB= ODOB設(shè)圓的半徑為r 5r,可得r 8 13解得：r=5,AE= 10, AB= 18, AE 是直徑，/ AFE= ZC=90 ;.EF/ BC, ，/AEF=/B,.AF = AE?sinZ AEF= 10 X5-1350131. AF/ OD,50AG AF 13 10DG OD 513一 13，即 DG= AD,235030，13AD= VABgAF J18 -,11313則DG=小吆史23133011323【點撥】利用直角三角形、 相似三角形的邊與邊之

8、間的和差倍分關(guān)系，勾股定理的關(guān)系，比例線段的關(guān)系等設(shè)元建方程求線段的長度；因此善于分解圖形，由線與角之間關(guān)系，構(gòu)建基本圖形模型，如母子型相似， 共邊角相似，8字型相似，A字型相似等。當(dāng)出現(xiàn)求線段的一部分， 還要考慮用局部占總體的比例來求解。【變式運用】1.（2018 瀘州）如圖，已知AB, CD是。O的直徑，過點C作OO的切線交AB的延長線于點 P, OO的弦DE交AB于點F,且DF= EF.(1)求證：CO2=OF?OP;(2)連接EB交CD于點G,過點G作GH± AB于點H,若PC= 4-./2, PB= 4,求GH的長.解：（1）證明：.pc是。的切線,OCX PC,Z PCO

9、= 90 °,. AB 是直徑，EF= FD,ABXED, . / OFD= / OCP= 90 °,(圖 2-2). OD_OP OP oc OD= OC,.-.OC2=OF?OP.（2）解：如圖作 CM，OP于M,連接EG EO.設(shè) OC= OB= r.在 RtPOC中，PC2+OC2=PC2,(4、叵 2+r2= (r+4) 2,，r = 2,.CM = 0C*PC =9OP.DC是直徑,A圖c/ CEF= / EFM= / CMF= 90 °,四邊形EFMC是矩形,EF= CM =/FOD=/CORAOFDAOCP,在 RtOEF中，OF=Je 0)-EF

10、 之.EC= 2OF=, EC/ OB,EC CGOB GO 3. GH/ CM,CMOC5'GH=2. （2018 云南昆明）如圖， AB是。O的直徑,ED切。O于點C, AD交。O于點F, / AC平分/ BAD,連接BF.(1)求證：AD± ED;(2)若 CD= 4, AF= 2,求。O 的半徑.解：(1)證明：連接 OC,如圖，.AC平分/ BAD,，/1 = /2, OA= OC,/ 1 = 73,(圖 2-3) / 2=7 3, OC/ AD,. ED 切。O 于點 C, . OC，DE, .AD，ED;(2)解：OC交BF于H,如圖, .AB 為直徑,AFB=

11、 90°, 易得四邊形CDFH為矩形， ,-.FH=pCD= 4, / CHF= 90°,圖dOHXBF,BH= FH= 4, - BF=8,在RtABF中，人3 = .2招/ =電2+屋=2同, .o o的半徑為v'Tt.3. (2018 江蘇蘇州)如圖， AB是。O的直徑，點C在。0上，AD垂直于過點C的切線， 垂足為D, CE垂直AB,垂足為E.延長DA交。O于點F,連接FC, FC與AB相交于點G,連接OC.(1)求證：CD= CE;(2)若AE= GE,求證： CEO是等腰直角三角形.證明：(1)連接AC,CD是。的切線， OCXCD, - AD±

12、;CD,/ DCO= /D=90°,AD / OC,/ DAC= / ACO, OC= OA,/ CAO= / ACO), / DAC= / CAO, . CE± AB, .CEA= 90°,在 CDA和ACEA中，ZD=ZCEA/DAONEAC, cd- ACEA (AAS), . CD= CE;AC 二 AC(2)證法.一：連接BC, CD心 CEA/ DCA= / ECA . CE± AG, AE= EG，CA= CG,/ ECA= / ECG 1 AB是。O 的直徑，/ACB= 90°, - CE± AB, / ACE= / B, -/ B= / F,/ F= / ACE= / DCA= / ECG . / D= 90°, .DCF+ / F= 90°,F= / DCA= / ACm / ECG=AOC= 2/ F=45°, . CEO是等腰直角三角形；證法二：設(shè)/ F= x,則/ AOC= 2/F= 2x, AD / OC,/ OAF= / AOC= 2x,/ CGA= / O