用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR帶通濾波器

1、課程設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)名稱：用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR帶通濾波器專業(yè)班級(jí)：XXXXXX學(xué)生姓名：XXX學(xué)號(hào)：XXXXXXXXXXXX指導(dǎo)教師：XXX課程設(shè)計(jì)時(shí)間：2014616至2014620說(shuō)明：本表由指導(dǎo)教師填寫(xiě)，由教研室主任審核后下達(dá)給選題學(xué)生，裝訂在設(shè)計(jì)(論文)首頁(yè)電子信息工程專業(yè)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)學(xué)生姓名XXX專業(yè)班級(jí)XXXX學(xué)號(hào)XXXXXX題目用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR 低通濾波器課題性質(zhì)其他課題來(lái)源自擬指導(dǎo)教師XX同組姓名用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR 低通濾波器，要求通帶邊界頻率為 400Hz，阻帶邊界頻率分別為500Hz，通帶最大

2、衰減 1dB，阻帶最小衰減 40dB，抽樣頻率為 2000Hz，用 MATLAB 畫(huà)出幅頻特性，畫(huà)出并分析濾主要內(nèi)容波器傳輸函數(shù)的零極點(diǎn)；信號(hào)x(t)x,t)x2(t)sin(2 gt)sin(2 f?。經(jīng)過(guò)該濾波器，其中仃 300Hz，f2600Hz，濾波器的輸出y(t)是什么？用 Matlab 驗(yàn)證你的結(jié)論并給出x1(t),X2(t),x(t),y(t)的圖形。1、掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR 低通濾波器的原任務(wù)要求理和設(shè)計(jì)方法。2、求出所設(shè)計(jì)濾波器的 Z 變換。3、用 MATLAB 畫(huà)出幅頻特性圖。4、驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的濾波器。1、程佩青者， 數(shù)字信號(hào)處理教程，清華大學(xué)出

3、版社，20012、Sanjit K. Mitra 著，孫洪，余翔宇譯，數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū) (MATLAB參考文獻(xiàn)版)電子工業(yè)出版社，2005 年 1 月3、郭仕劍等， MATLAB 7.x 數(shù)字信號(hào)處理，人民郵電出版社，2006 年4、胡廣書(shū)，數(shù)字信號(hào)處理理論算法與實(shí)現(xiàn)，清華大學(xué)出版社，2003 年指導(dǎo)教師簽字：審查意見(jiàn)教研室主任簽字：2014年 06 月 12 日一需求分析和技術(shù)要求1、需求分析濾波器從廣義上來(lái)說(shuō)對(duì)特定的頻點(diǎn)或頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾波的電路， 這種電路保留輸入信號(hào)中的有用信息，濾除不需要的信息，從而達(dá)到信號(hào)的檢測(cè)、 提取、識(shí)別等不同的目的。如果處理的信號(hào)是時(shí)域離散信號(hào)，

4、 那么相應(yīng)的處理系 統(tǒng)就稱為數(shù)字濾波器，由于在實(shí)際工作中被處理的信號(hào)都是幅度量化的數(shù)字信 號(hào)，因此，數(shù)字濾波器實(shí)際上是用有限精度的算法實(shí)現(xiàn)一個(gè)線性時(shí)不變的時(shí)域離 散系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的種類很多，分類方法也不同，可以從功能上分類，也可以從實(shí) 現(xiàn)方法上及設(shè)計(jì)方法上來(lái)分類等等。濾波器在功能上總的可分為四類，即低通(LP)、高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BS)濾波器等，從實(shí)現(xiàn)方法上，由有限長(zhǎng)沖激 響應(yīng)的數(shù)字濾波器被稱為FIR濾波器，具有無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器稱作IIR濾波器。橢圓濾波器(Elliptic filter)又稱考爾濾波器(Causer filter)，是在 通帶和阻帶等波紋的一種濾波

5、器。 橢圓濾波器相比其他類型的濾波器，在階數(shù)相 同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動(dòng)。 它在通帶和阻帶的波動(dòng)相同，這一點(diǎn)區(qū) 別于在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器，以及阻帶平坦、通帶等波紋的切比 雪夫?yàn)V波器。利用雙線性變換法將模擬傳輸信號(hào)Ha(s)變換為數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)，從而是z域的數(shù)字傳輸函數(shù)保留s域的模擬傳輸函數(shù)的基本性質(zhì)。 設(shè)計(jì)成的IIR數(shù)字低 通濾波器能夠去掉信號(hào)中不必要的高頻成分， 降低采樣頻率，避免頻率混淆，去 掉高頻干擾。2、技術(shù)要求1、 掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)原型低通為橢圓型的數(shù)字IIR低通濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法。2、求出所設(shè)計(jì)濾波器的Z變換。3、用MATLAB畫(huà)出幅頻特性圖

6、。4、驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的濾波器。設(shè)計(jì)原理及設(shè)計(jì)思路1、設(shè)計(jì)原理數(shù)字濾波器是一種用來(lái)過(guò)濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行 數(shù)學(xué)處理來(lái)達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。數(shù)字濾波器也是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字 信號(hào)處理裝置，其輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn) 的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函 數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響 應(yīng)(FIR)數(shù)字濾

7、波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，其差分方程為:(2.1)(2.2)設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù) 響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻 率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。本次課程設(shè)計(jì)采用雙線性變換法。雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器雙線性變換法主要是采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍 壓縮到-n/Tn/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將 整個(gè)S平面壓縮映射到S平面的-n/Tn/T條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變 換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平

8、面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系 如圖1所示H(z)，使其頻率ri)=另也工(wJ -h 55 i)2 ej1T/2ej1T/2j1T/2j1T/2T eeS平面和S1平面，令jQ=s,jQ1=s1，則得圖1雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jQ壓縮到S1平面jQ1軸上的-n/T到n/T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)-tanT 2iT(2.3)式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Q1由-n/T經(jīng)過(guò)0變化到n/ T時(shí)，Q由-x經(jīng)過(guò)o變化到+x,也即映射了整個(gè)jQ軸。將式（2.3）寫(xiě)成S1T/2e2 es1T/21T/2sT/2T

9、 e eZtanhSl2T2 TSiT1 eSiT1 e(2.5)再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面z=eS1T(2.6)從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為:2 1 z1z(2.7)1Tszp22 sT_2 s T(2.8)式（2.7）與式（2.8）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都 是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（2.6）與式（2.7）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)(2.4)2 1 ej.2、sjj tan -T 1 ejT 2即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=c+jQ代入式(2.8)，得由此看出，當(dāng)c0時(shí)，

10、|z|0時(shí)，|z|1。也就是說(shuō)，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的2、設(shè)計(jì)思路具體實(shí)現(xiàn)方法如下：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減Rp阻帶 截止頻率3s、阻帶衰減Rs。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。如果采 用脈沖響不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(2.12)如果采用雙線性變換法， 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(2.13)(3) 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(4)利用雙線性變換法將模

11、擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù) 字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。222.T222TT j|z|首先，把Z=j，可得(2.10)(2.9)因此(2.11)(5) 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)為：3p=0.4nrad,Rp=1dB;3s=0.5nrad,Rs=40dB(6) 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率3p=(2/T)*tan( 3 p/2)=tan(0.392)=0.0068阻帶截止頻率3s=(2/T)*tan(3s/2)=tan(0.628)=0.011通帶最小衰減Rp=1dB和阻帶最大衰減Rs=40dB;歸一化截止角頻率3p=2pi*Fs/Ft；3s=2pi*Fs/Ft(7) 利用

12、模擬橢圓濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。通帶截止頻率為：3p=0.4*pi;阻帶截止頻率為：3s=0.5*pi;通帶最大衰減為：Rp=1;阻帶最大 衰減為：Rs=40設(shè)定周期為1s；模擬低通濾波器的生成：num1,den1 =ellip(N,Rp,Rs,Wn,s);最后實(shí)現(xiàn)輸入輸出、幅頻特性、相頻特性的圖形。三程序流程圖開(kāi)始確定數(shù)字低通濾波器的各項(xiàng)性能指標(biāo)數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器利用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字低通濾波器利用模擬橢圓濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器結(jié)束圖2濾波器設(shè)計(jì)流程方框圖四程序源代碼MATLAB 程序如下：clea

13、r allclose allCoeff_LF = 1;%低頻信號(hào)系數(shù)F1(300 Hz)Coeff_HF = 1;%高頻信號(hào)系數(shù)F2(600 Hz)Coeff_NOISE = 0;%噪聲系數(shù),如0(沒(méi)有噪聲),1, sqrt(2), 3等等.F1 = 300; % HzF2 = 600; % HzFS = 2000; % Hz抽樣頻率%時(shí)間定義En dTime = 1/FS * 1023;Time = 0:1/FS:E ndTime;N = len gth(Time);%產(chǎn)生正弦信號(hào)x1(t),x2(t)和x(t)SinSignal_x 1= Coeff_LF*sin(2*pi*F1*Time

14、)% x1(t)Si nSig nal_x2= Coeff_HF*si n( 2*pi*F2*Time)% x2(t)Si nSig nalSum = Sin Sig nal_x1 + Sin Sig nal_x2+ Coeff_NOISE*ra ndn (1, N);Si nSig nal = Si nSig nalSum;% x(t)%繪制信號(hào)x1(t)figuresubplot(3,1,1)plot(Time, Sin Sig nal_x1)xlabel(時(shí)間)xlim(O 0.5)title(時(shí)域信號(hào)x1(t) subplot(3,1,2)plot(Time, Sin Sig nal_

15、x1) xlabel(時(shí)間)xlim(0 0.05)title(時(shí)域信號(hào)x1(t)FFTSi nSig nal_x1 = 2/N*fft(Si nSig nal_x1) subplot(3,1,3)Fn Sin_x1 = abs(FFTSi nSig nal_x1);FW = 2*pi*(Time)/E ndTime;plot(FW(2:length(FW)*FS/pi/2, FnSin_x1(2:length(FW)hold onplot(FW(2:le ngth(FW)-2*pi)*FS/pi/2, Fn Sin_x1(2:le ngth(FW)xlim(-FS/2 FS/2)xlabel

16、(頻率)%繪制x2(t)figuresubplot(3,1,1)plot(Time, Si nSig nal_x2)xlabel(時(shí)間)xlim(0 0.5)title(時(shí)域信號(hào)x(2) subplot(3,1,2)plot(Time, SinSignal_x2)xlabel(時(shí)間)xlim(0 0.05)title(時(shí)域信號(hào)x2(t)FFTSi nSig nal_x2 = 2/N*fft(Si nSig nal_x2)subplot(3,1,3)Fn Sin_x2 = abs(FFTSi nSig nal_x2);plot(FW(2:length(FW)*FS/pi/2, FnSin_x2(

17、2:length(FW)hold onplot(FW(2:le ngth(FW)-2*pi)*FS/pi/2, Fn Sin_x2(2:le ngth(FW) xlim(-FS/2 FS/2)xlabel(頻率)%繪制信號(hào)x(t)figuresubplot(3,1,1)plot(Time, Si nSig nal)xlabel(時(shí)間)xlim(0 0.5)title(時(shí)域信號(hào)) subplot(3,1,2)plot(Time, Si nSig nal)xlabel(時(shí)間)xlim(O 0.05)title(時(shí)域信號(hào)x(t)FFTSi nSig nal = 2/N*fft(Si nSig nal

18、)subplot(3,1,3)Fn Sin = abs(FFTSi nSig nal);plot(FW(2:length(FW)*FS/pi/2, FnSin(2:length(FW)hold onplot(FW(2:le ngth(FW)-2*pi)*FS/pi/2, Fn Si n(2:le ngth(FW)xlim(-FS/2 FS/2) xlabel(頻率)%- 設(shè)計(jì)低通濾波器-Rp = 1;%通帶衰減/dBRs = 40; %阻帶衰減/dBOmegaP1_1=400; %通帶邊界頻率OmegaS1_1=500; %阻帶邊界頻率FS=2000; %抽樣頻率Wp仁2*pi*OmegaP1

19、_1/FS; %將模擬頻率變?yōu)閿?shù)字角頻率Ws仁2*pi*OmegaS1_1/FS; %將模擬頻率變?yōu)閿?shù)字角頻率OmegaP1=tan(Wp1/2); %非線性變換OmegaS1=tan(Ws1/2); %非線性變換Eta_P=OmegaP1/OmegaP1; %歸一化Eta_S=OmegaS1/OmegaP1; %歸一化Lemta_P_EquivalentLowPass=1/Eta_P; %變?yōu)榈刃У屯▍?shù)Lemta_S_EquivalentLowPass=1/Eta_S; %變?yōu)榈刃У屯▍?shù)%估計(jì)濾波器階數(shù)N, Wn = Ellipord(Lemta_P_Equivale ntLowPass

20、, Lemta_S_Equivale ntLowPass,Rp,Rs,s);%時(shí)間濾波器nu m1,de n1 = ellip(N,Rp,Rs,Wn,s);nu m2,de n2=lp2lp( num1,de n1,OmegaP1);nu m,de n=bili near( nu m2,de n2,0.5);%計(jì)算增益響應(yīng)w = 0:pi/255:pi;h = freqz( nu m,de n, w);g = 20*log10(abs(h);%繪制增益響應(yīng)figure;plot(w/pi,g);gridaxis(0 1 -60 5);xlabel(omega八pi); ylabel(增益/dB

21、);title(橢圓低通濾波器的增益響應(yīng));%繪制零點(diǎn)和極點(diǎn)figure;z,p,k=tf2zp( nu m,de n);zpla ne(z,p);title(零點(diǎn)和極點(diǎn))%End Programfiguresubplot(2,1,1)YLP = filter( num,de n. Sin Sig nal); plot(Time, YLP)xlim(O 0.05) xlabel(時(shí)間)title(低通濾波后的時(shí)域信號(hào))FFTSi nSig nalSum = 2 / N * fft(YLP) subplot(2,1,2)FnSin Sum = abs(FFTSi nSig nalSum);plo

22、t(FW(2:le ngth(FW)*FS/pi/2, Fn Si nSum(2:le ngth(FW)hold onplot(FW(2:le ngth(FW)-2*pi)*FS/pi/2, Fn Si nSum(2:le ngth(FW)xlim(-FS/2 FS/2)ylim(0 1)xlabel(頻率)%return頻率五仿真結(jié)果圖1 ECC人ECTC；0.5 -I小trIrrIftt01-b-1-1-1-1-1-1-1-b-L-1000-800-600-400-20002004006008001000頻率時(shí)間時(shí)域信號(hào) x2(t)1 b-hliI0.5 -I-0.0050.010.015

23、0.020.0250.030.0350.040.0450.05時(shí)域信號(hào) x1(t)時(shí)間時(shí)域信號(hào) x1(t)00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05時(shí)間時(shí)域信號(hào) x(2)10-1頻率I.I0 F_ rIIF_-1000-800-600-400-20002004006008001000時(shí)域信號(hào)0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05時(shí)間1000wk叩20-2時(shí)間時(shí)域信號(hào) x(t)0.5-600200400600800頻率-400-2000-1000 -800橢圓低通濾波器的增益響應(yīng)增/頻率零點(diǎn)和極點(diǎn)Re