高中高考復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)之?dāng)?shù)列的題型與方法(理科)(共23頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題二：數(shù)列的題型與方法一、 考點(diǎn)回顧1數(shù)列的概念，數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系式差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常用三種方法：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列。中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn的最值問題常用鄰項(xiàng)變號法求解：(1)當(dāng),d0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng),d0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法、分組求和法、累加

2、累積法、歸納猜想證明法等。5.數(shù)列的綜合應(yīng)用：函數(shù)思想、方程思想、分類討論等思想在解決數(shù)列綜合問題時常常用到。數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合、用數(shù)列知識解決實(shí)際問題等內(nèi)容。6注意事項(xiàng)：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義法，即通過證明或而得。在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便。對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。注意一些特殊數(shù)列的求和方法。注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=，=數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路解綜合題

3、的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略通過解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力知識網(wǎng)絡(luò)二、 經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)例題1. （2007年5月上海市十一所實(shí)驗(yàn)示范校）（1）數(shù)列an和bn滿足 （n=1，2，3），（1）求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列。 （2）數(shù)列an和cn滿足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件。提示：設(shè)數(shù)列bn為分析：本題第（1）問的充要條件的解決可以分別設(shè)出等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)；

4、對探究問題我們通常采用的是先假設(shè)再論證。證明：（1）必要性 若bn為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差d則 an為是公差為的等差數(shù)列充分性 若an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d則當(dāng)n=1時，b1=a1也適合bn+1bn=2d， bn是公差為2d的等差數(shù)列 （2）結(jié)論是：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 點(diǎn)評：本題考查了等差、等比數(shù)列的基本知識，但解決起來有一定的難度，同時還需要對問題進(jìn)一步深入下去。例題2. （2007年5月上海市寶山區(qū)）已知數(shù)列的首項(xiàng)（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。 （1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列

5、的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)a>0時，求數(shù)列的最小項(xiàng)。分析：第（1）問用定義證明，進(jìn)一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。解：（1）(n2)由得， ，即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當(dāng)n2時，是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù)，3a+4=0，即 。（3）由（1）知當(dāng)時，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。當(dāng)時，最小項(xiàng)為8a-1；當(dāng)時，最小項(xiàng)為4a或8a-1；當(dāng)時，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)時，最小項(xiàng)為4a或2a+1；當(dāng)時，最小項(xiàng)為2a+1。 點(diǎn)評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定

6、的綜合性?？键c(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和例題3. （2007年5月湖北省十一校）.已知數(shù)列中各項(xiàng)為： 12、1122、 （1）證明這個數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個相鄰整數(shù)的積. （2）求這個數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 分析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步再求和。解：（1） 個記：A = , 則A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 (2) 點(diǎn)評：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，再將這個通項(xiàng)“分成” 兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。例題4. (2007年5月深圳市) 已知數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：

7、對任意的，分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。解：（），又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 ，即. （） （）， 當(dāng)時，則， 對任意的， 點(diǎn)評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到?？键c(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系例題5.（2007年5月莆田四中）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng). 求函數(shù)的表達(dá)式； 求證：； 求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不

8、等式的另一種出路。解： 又為銳角 都大于0 , , 又 點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。例題6.（2007年5月江蘇省淮安市）已知數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（）證明：分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），得，即得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則 點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。例題7

9、.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當(dāng)n2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?<x<1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-

10、f(x)= , 0<x<1,由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.因?yàn)?所以,即>0,從而() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 <<= .由 兩式可知: . 點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意?？键c(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系例題8.（2007年5月徐州市）已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的值; (2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時,Sn(2n1)分析：比較大小

11、常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號，因?yàn)?，即?）當(dāng)時，所以，所以 點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。例題9.（2007年5月江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個點(diǎn)列An，Bn，Cn，其中 ，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)（B，n）在方向向量為（1，6）的線上 （1）試用a與n表示； （2）若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，試求a的取值范圍。分析：第（1）問實(shí)際上是求數(shù)列的通項(xiàng)；第（2）問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。解：（1）又Bn在方向向量為（1，6）的直線上， （2）二次函數(shù)是開口向上，對

12、稱軸為的拋物線又因?yàn)樵赼6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列an的最小項(xiàng)，對稱軸 點(diǎn)評：本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。例題10.（2007年5月重慶市高三聯(lián)合診斷）已知，若數(shù)列an 成等差數(shù)列. （1）求an的通項(xiàng)an; （2）設(shè) 若bn的前n項(xiàng)和是Sn，且分析：觀察數(shù)列特征，利用等差數(shù)列基本條件，得出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求解.解：解：設(shè)2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+21)dd=2, （2）， 點(diǎn)評：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，不等式的放縮，有一定的綜合性。例題11.（20

13、07年5月湖南省長沙雅禮中學(xué)）數(shù)列和數(shù)列（）由下列條件確定：（1），；（2）當(dāng)時，與滿足如下條件：當(dāng)時，；當(dāng)時，.解答下列問題：（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若已知當(dāng)時，求.（）是滿足的最大整數(shù)時，用，表示滿足的條件.分析：利用條件及第（）小題的結(jié)論提示，找出的關(guān)系，是入手的關(guān)鍵之處.解：（）當(dāng)時，當(dāng)時，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數(shù)列是等比數(shù)列（）由（）知，故，所以所以，又當(dāng)時，故.（）當(dāng)時，由（2）知不成立，故，從而對于，有，于是，故， 若，則，所以，這與是滿足的最大整數(shù)矛盾.因此是滿足的最小整數(shù).而，因而，是滿足的最小整數(shù). 點(diǎn)評：本題難度較大，但試題分為三個小問，

14、降低了坡度，是的入手較為容易，而且步步深入，前一問題的結(jié)論為后一問題做鋪墊，考生在解題中要充分注意這種“便利條件”.例題12. (2007年5月寧波市三中) 已知數(shù)列中， （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮anSnSn1(n2)解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以 點(diǎn)評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.三、 方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1.

15、 求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項(xiàng)；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。2. 數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式；數(shù)學(xué)歸納法；有的還要用到條件不等式。3. 數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個知識點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。（二）2008年高考預(yù)測1. 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在考試說明中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但實(shí)際

16、上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。2. 探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.3. 等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。4. 求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.5. 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與

17、概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)。今后在這方面還會體現(xiàn)的更突出。強(qiáng)化訓(xùn)練（一） 選擇題1在等差數(shù)列中，則 （ ） （A） （B） （C） （D）以上都不對【答案】A解析：，。2在等比數(shù)列中， 和 是二次方程 的兩個根，則的值為 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A解析：根據(jù)韋達(dá)定理，有，又因?yàn)椋瑒t，所以。設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和。已知。則等于 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B解析：， ，在數(shù)列中，已知，則等于（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D解析：，。5. 數(shù)列的通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的前（ ）項(xiàng)之和等于。ABCD【答案】B 6. 已知等差數(shù)列項(xiàng)和為等

18、于（ ）ABCD【答案】C 7. 設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（n+1）=（nN*）且f（1）=2，則f（20）為（）A95B97C105D192【答案】Bf（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=978. 由公差為d的等差數(shù)列a1、a2、a3重新組成的數(shù)列a1+a4， a2+a5， a3+a6是（）A公差為d的等差數(shù)列B公差為2d的等差數(shù)列C公差為3d的等差數(shù)列D非等差數(shù)列考查等差數(shù)列的性質(zhì)【答案】B （a2+a5）（a1+a4）=（a2a1）+（a5a4）=2d（a3+a6）（a2+a5）=（a3a2）+（a6a5）=2d依次類推9. 已知三角形的

19、三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是（ ）A B C D 【答案】D 設(shè)三邊為則，即 得，即10. 在中,是以為第三項(xiàng), 為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差,是以為第三項(xiàng), 為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比,則這個三角形是（ ）A鈍角三角形 B銳角三角形 C等腰直角三角形 D以上都不對【答案】B ，都是銳角11彈子跳棋共有顆大小相同球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它們疊成正四面體形球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩余的彈子共有 （ ） （A）顆 （B）4顆 （C）顆 （D）顆【答案】B解析：最上面一層放1個，設(shè)最上一層是第一層，由上而下共有層，第層彈子數(shù)為，總彈子數(shù)為，由得，故時剩余最小，且剩余顆。12三個數(shù)

20、成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D解析：設(shè)，則有。當(dāng)時，而，；當(dāng)時，即，而，則，故。（二） 填空題13. 已知數(shù)列中，則數(shù)列通項(xiàng)_?！敬鸢浮?是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，14. 數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是_?！敬鸢浮?15. 等比數(shù)列前項(xiàng)的和為，則數(shù)列前項(xiàng)的和為_?！敬鸢浮?（三） 解答題17已知函數(shù) （1）求的反函數(shù)，并指出其定義域； （2）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn對所有的大于1的自然數(shù)n都有，且a1 =1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）令18已知數(shù)列an滿足 （1）求證：an為等比數(shù)列； （2）記為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，那么：當(dāng)a=2時，求Tn；當(dāng)時

21、，是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.19函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項(xiàng)和為 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)； （）若，求數(shù)列的最大項(xiàng)20已知數(shù)列中， （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：21已知數(shù)列滿足遞推式，其中 （）求； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22已知等差數(shù)列，公差d大于0，且是方程的兩個根，數(shù)列的前n項(xiàng)和為。（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）記解答題答案18解：1）當(dāng)n2時， 整理得所以an是公比為a的等比數(shù)列.（4分）（2）當(dāng)a=2時，兩式相減，得（9分）因?yàn)?a

22、0，所以：當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，所以，如果存在滿足條件的正整數(shù)m，則m一定是偶數(shù).當(dāng)所以所以當(dāng)當(dāng)故存在正整數(shù)m=8，使得對于任意正整數(shù)n都有19解：（）由 ， 由題意知：的兩根， （）， 為等差數(shù)列， 經(jīng)檢驗(yàn)時，是等差數(shù)列， （）20解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以21解：（1）由知解得：同理得 （2）由知構(gòu)成以為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列；為所求通項(xiàng)公式 （3）22解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得：（2）（四） 創(chuàng)新試題1. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=2. 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式 3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4) (1)求證 數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(