高中數(shù)學(xué)素材：巧求函數(shù)定義域

1、巧求函數(shù)定義域 約定兩個(gè)非空數(shù)集A和B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)，記作f:AB，或者y=f(x),xA。此時(shí)，x叫做自變量，集合f(x)xA叫做函數(shù)值域，集合A叫作函數(shù)的定義域，即函數(shù)中自變量的取值范圍，它和函數(shù)的值域及對(duì)應(yīng)法則構(gòu)成函數(shù)的三要素在三要素中，對(duì)應(yīng)法則是核心，定義域是關(guān)鍵，而值域是受定義域與對(duì)應(yīng)法則共同制約的.因此，正確求出函數(shù)的定義域是一項(xiàng)非常基本的數(shù)學(xué)能力.函數(shù)的種類多種多樣，例如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等等。他們其中的一些是非常棘手的，因此廣大中學(xué)生更應(yīng)該學(xué)好

2、這一部分。下面我就以例題的形式介紹幾種方法介紹幾種常用的求函數(shù)定義域的方法。 例1，求下列分式的定義域。 2 求函數(shù)y的定義域 解：（1）依題意可得,須是分母不能為零并且該根式也必須有意義，則 解得 x3或x2因此函數(shù)的定義域?yàn)閄x3或x2。（2） 要使函數(shù)有意義，則所以原函數(shù)的定義域?yàn)閤|x，且x.評(píng)注：對(duì)待此類有關(guān)于分式、根式的問題，切記關(guān)注函數(shù)的分母與被開方數(shù)即可，兩者要同時(shí)考慮，所求“交集”即為所求的定義域。例2，求下列關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域例1 函數(shù)的定義域?yàn)?。分析：對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于零。解：依題意知： 即解之，得 函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)式的真數(shù)為，本來需要考慮分母，但由于已包含的情

3、況，因此不再列出。例3、已知f(x)的定義域?yàn)?1，1，求f(2x-1)的定義域。 （2）已知f(x)的定義域?yàn)?，2，求函數(shù)f(2x-1)的定義域。（3）已知f(x)的定義域?yàn)?，2，求f(x的平方)的定義域。（4）已知f(2x-1)的定義域?yàn)椋?1，5，求函數(shù)f(x)的定義域。（5）已知f(2x-5)的定義域?yàn)椋?1，5，求函數(shù)f(2-5x)的定義域。解：f(2x-1)要有意義，-12x-11,0x1，f(x)的定義域?yàn)?，1 (2)由題意知， 02x-12，得 x 故函數(shù)定義域?yàn)閤x (3)由題0x的平方2，故-x， 原函數(shù)的定義域?yàn)閤-x （4）由題知 -1x5，得-32x-19, 所

4、以，原函數(shù)的定義域?yàn)閄-32x-19. (5)由題意知 -1x5，所以-32x-19， 則-32-5x9，所以-x1 原函數(shù)定義域?yàn)閤-x1評(píng)注：已知f(x)的定義域?yàn)镈，求fg(x)的定義域，實(shí)質(zhì)是解不等式g(x)D；而已知fg(x)定義域?yàn)镈，求f(x)定義域，是根據(jù)xD，求g(x)的取值范圍。此時(shí)，一定要注意題目中給的條件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清說的是x還是別的。例4，將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形的面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的函數(shù)解析式，并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為(a-2x) 于是得矩形面積為y=x(a-2x)=ax-x的平方 由于實(shí)際問題的需要，知函數(shù)

5、的定義域應(yīng)滿足 X0 (a-2x)0 得 0x 故所求的函數(shù)解析式為y=-x的平方+ax,x(0,). 評(píng)注：根據(jù)實(shí)際問題求的函數(shù)的解析式后，還要注意問題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制，這點(diǎn)要加倍注意。這類的題一般難度不大，但是要細(xì)心，考慮要全。這樣，以后再遇到這樣的題，就簡(jiǎn)單了。 總的來說，中學(xué)階段研究的函數(shù)都還只是函數(shù)領(lǐng)域中的皮毛而已。但是不要因?yàn)檫@樣，就高興的太早了。畢竟還有很多同學(xué)對(duì)這方面一竅不通。對(duì)于每一個(gè)確定的函數(shù)，其定義域是確定的，為了更明確、更深刻地揭示函數(shù)的本質(zhì)，就產(chǎn)生了求函數(shù)定義域的問題。要全面認(rèn)識(shí)定義域，深刻理解定義域，在實(shí)際尋求函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵守下列規(guī)則：（1） 分式的分母不能為零；（2） 偶次方根的被開方數(shù)應(yīng)該為非負(fù)數(shù)；（3） 有限個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算得到新函數(shù)其