圓錐曲線知識點

1、圓錐曲線知識點（一）橢圓1.對第一定義的理解要注意到. 第二定義：平面內(nèi)一動點到一定點的距離和它到一條定直線的距離之比是小于1的正常數(shù). 定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線.要注意定點不在定直線上，離心率. 對定義一定要熟練掌握，解題時，有時需把問題返回到定義上來.示例：在邊上的中線，求的重心的軌跡方程.答案：.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的參數(shù)方程，注意：僅限橢圓，一定要靈活應(yīng)用.示例：求橢圓的焦點坐標(biāo).答案：.3.焦半徑公式設(shè)點在橢圓上，則.利用焦半徑公式解題非常方便.示例：設(shè)上一點，為兩焦點，則最小值為多少？答案：.4.備考技巧橢圓上點處的切線方程；斜率為的切線方程；以為橢圓上任一不同與長軸頂點的點，

2、則.以上公式可直接應(yīng)用，尤其是在選擇題和填空題.示例：已知點為橢圓上的點，且，、為焦點，求的面積.答案：.（二）雙曲線1.對第一定義要注意到. 第二定義：平面內(nèi)到定點和到定直線的距離之比等于常數(shù)的點的軌跡. 解題時，返回定義非常有必要.示例：求與圓都外切的圓的圓心的軌跡方程.答案：.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式：.3.漸近線.4.焦半徑公式 若在雙曲線上，則.（點在右支取正號，在左支取負(fù)號）. .（點在上支取正號，在下支取負(fù)號） 在利用焦半徑解題時，可以減少許多運算量，但一定要分清點位于哪一支上，否則極易出錯.示例：經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾斜角為的弦，求的周長.答案：的周長

3、為.5.共軛雙曲線有相同的漸近線，有相同焦距長，焦點位于的圓心上；離心率關(guān)系：.6.等軸雙曲線實軸與虛軸相等，其方程為，漸近線為，離心率為.7.有相同漸近線的雙曲線方程可令：. 有相同離心率的雙曲線方程可令：. 在用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)雙曲線時很靈活，也是較常用的一個方法.示例：已知雙曲線過點，它的漸近線方程為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：.（三）拋物線1.定義：在平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡.注意定點不在直線上. 對于不在標(biāo)準(zhǔn)位置的拋物線的求法，只能返回定義求其方程.示例：若拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，求此拋物線方程.答案：.2.拋物線方程 在解題中為了減少討論量，可將其方程形式

4、設(shè)為：，表示焦點在軸上；，表示焦點在軸上.然后根據(jù)的正負(fù)來確定拋物線的開口方向.3.幾何性質(zhì)：以為例說明. 為拋物線上的點，則焦半徑.過焦點且傾角為，其最短弦長為，此時，即為拋物線的通徑.示例：已知過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，弦長，求該直線的傾斜角的范圍.答案：.（四）直線與圓錐曲線的綜合問題 它們的位置關(guān)系無外乎三種情況，即相切、相交、相離.具體來說：1.相離的問題常轉(zhuǎn)化為二次曲線上的點到已知直線的距離的最大值或最小值來解決.2.只有一個公共點，對橢圓表示相切；對雙曲線表示相切或與漸近線平行；對拋物線表示直線與其相切或表示與其對稱軸平行.3.有兩相異的公共點，表示相割，此時直線被截線段

5、稱為圓錐曲線的弦.有求弦長、中點弦、焦點弦問題.弦長的求法：由，弦長.注意：消去可得關(guān)于的二元方程有直線斜率.示例：雙曲線的中心在直線：上平移，是否存在雙曲線使它截直線的弦長與截的弦長都等于？答案：存在，為.（同時取正或同時取負(fù)，注意要驗證） 對弦中點坐標(biāo)或弦中點軌跡的求法常常利用韋達(dá)定理來解決，重要的思想方法為設(shè)而不求.示例：已知拋物線與圓，求實數(shù)的值.答案：. 在求焦點弦長時，靈活使用焦半徑公式，能快速解答問題.此外，還有一個有關(guān)垂直平分弦的問題，解此類題也可運用到韋達(dá)定理.示例：是否存在這樣的曲線：原點及直線分別為它的焦點和相應(yīng)準(zhǔn)線；被直線垂直平分的弦長為.答案：存在，為.（提示：，然后

6、用韋達(dá)定理求解）.（五）求解圓錐曲線問題的幾種措施圓錐曲線中的知識綜合性較強(qiáng)，因而解題時就需要運用多種基礎(chǔ)知識、采用多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還須掌握一些方法和技巧。1. 緊扣定義，靈活解題靈活運用定義，方法往往直接又明了。例1. 已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點。求的最小值。解析：如圖所示， 雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由第二定律知即點P到準(zhǔn)線距離。 2. 引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2. 求共焦點F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標(biāo)系，

7、設(shè)點F到準(zhǔn)線的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)） ，而 再設(shè)橢圓短軸端點坐標(biāo)為P（x，y），則 消去t，得軌跡方程3. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（3，3）連線的斜率，如圖所示 4. 應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用

8、，問題就會迎刃而解。例4. 已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為_。解：5. 應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足，當(dāng)點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。 分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。 解：如圖，共線，設(shè)，則， 點R在橢圓上，P點在直線上 ， 即化簡整理得點Q的軌跡方程為： （直線上方部分）6. 應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈

9、活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6. 求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為： 則圓心為，在直線上解得 故所求的方程為7. 巧用點差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。 解：設(shè)，則 <2><1>得 即 設(shè)P1P2的中點為，則 又，而P1、A、M、P2共線 ，即 中點M的軌跡方程是（六）與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題1圓錐曲線的弦長求法設(shè)圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A(

10、x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角分析一：由弦長公式易解由學(xué)生演板完成解答為： 拋物線方程為x2=-4y， 焦點為(0，-1)設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k k=±1|AB|=-(y1+y2)+p=-(kx1-1)+(kx2-1)+p=-k(x1+x2)+2+p由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成2與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問題在解析

11、幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(biāo)(x，y)的取值范圍例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值解(1)：將x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)24 即|y-1|1 0y2當(dāng)y=0時，(x2+y2)min=0解(2)：分析：顯然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令x+y=u

12、， 則有x=u-y代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0又0y2，(由(1)可知)-(2u+8)2-4×5×u203與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法例3 在拋物線x24y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；證明：(1)拋物線的焦點為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1 A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1y1+1，d2=y2+1(如圖246所示)由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1

13、|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|即A、B、F三點共線(2)如圖246，設(shè)AFK=|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題解決的關(guān)鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)4圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用0來處理但用0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的解決這類問題：方法1，由“0”與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)實數(shù)a的取值范圍可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)

14、0，如圖247，可知：（七）簡化運算的方法1、數(shù)形結(jié)合簡化運算 例1:已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線上且BC/x軸，求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點證明：如圖，設(shè)直線AC與x軸的交點為N，過A作ADl，垂足為D，因為BC/x軸，所以BCl，于是根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，得 |BF|=e|BC|, |AF|=e|AD|.AD/FE/BC, , ,所以N為EF中點，即直線AC過線段EF中點N點評：本題的解法充分利用了圖形的幾何性質(zhì)，即三角形相似及橢圓定義的幾何表示，避免了復(fù)雜的代數(shù)運算在圓錐曲線的許多問題中合理運用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡化運算，如

15、直線與圓的位置關(guān)系問題，一般借助圓的幾何性質(zhì)解決，其中(1)過弦的中點的直徑垂直平分弦，(2)弦心距、半弦長、對應(yīng)的半徑構(gòu)成直角三角形，(3)直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑等幾何性質(zhì)，都是在解題中經(jīng)常用到的或者利用代數(shù)表達(dá)式的特定幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合避免復(fù)雜代數(shù)運算，如，已知x, y滿足x2+y2=1，求的取值范圍 可以看作是點(x，y)與點(2，2)的連線的斜率2、運用定義簡化運算 例2：已知某橢圓焦點是Fl(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，過F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|FlB|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1，y1)，C(x2，y2)滿足條件：|F2A|

16、、|F2B|、|F2C| 成等差數(shù)列求AC中點的橫坐標(biāo)解：由條件易得橢圓方程為，且B點坐標(biāo)為，右準(zhǔn)線為，離心率根據(jù)橢圓定義有、. 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得 ，由此得出x1+x2=8, 于是AC中點坐標(biāo).點評：這個題目的求解過程利用了橢圓的第二定義，大大簡化了代數(shù)運算，合理運用圓錐曲線的定義可以簡化運算3、設(shè)而不求簡化運算 例3：已知橢圓C的焦點為和，長軸長為6，設(shè)直線yx+2交橢圓C于A、B兩點.求線段A、B中點的坐標(biāo)解：由條件易得橢圓方程為設(shè)A、B兩點坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)，AB中點為M(x0，y0)，于是=1，且y0x0+2，將A、B兩點坐標(biāo)代入橢圓

17、C的方程得兩式相減，得， ， ·2y0=0.由y0=x0+2，得 .點評：本題解法的本質(zhì)是設(shè)出A、B兩點坐標(biāo)，但并不直接求解；而是作為中間過渡，即設(shè)而不求，巧妙地將復(fù)雜的運算簡化，這種方法在解決與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題時非常奏效4、應(yīng)用韋達(dá)定理簡化運算例4：設(shè)A、B為拋物線y24px(p0)上原點外的兩個動點，已知OAOB，求證：直線AB過定點解：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)顯然AB不平行于x軸，設(shè)AB不垂直于x軸，AB所在直線方程為ykx+b，代入 y24px，得 k2x2+(2kb-4p)x+b2=0,.又 y1=kx1+b, y2=kx2+b,.根據(jù)

18、OAOB，得, x1x2+y1y20，于是有,解得b-4kp，所以直線AB方程為：yk(x-4p)故直線AB過定點(4p，0)當(dāng)ABx軸時，設(shè)A(pt2, 2pt)，B(pt2，-2pt)由OAOB，得 pt2=2pt, t=2. AB同樣經(jīng)過定點(4p，0)點評：這個題目的解法應(yīng)用韋達(dá)定理巧妙處理了條件OAOB，使得問題的運算量大大降低運用韋達(dá)定理解決直線與圓錐曲線問題是解析幾何常用的方法，它可以有效地避免復(fù)雜的二次方程的求解運算5、合理設(shè)參簡化運算 例5：已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸證明：直線AC經(jīng)過原點證明

19、：根據(jù)拋物線方程，可設(shè),則，由直線AB過焦點，易得, ,故A、O、C共線.點評：此題運用了拋物線的方程特點，用A、B兩點帶參數(shù)的坐標(biāo)取代了普通直角坐標(biāo)(x，y)，使運算大為簡化在解決圓錐曲線相關(guān)問題時，如果能夠合理使用圓錐曲線的方程巧設(shè)有關(guān)點的坐標(biāo)，可以簡化運算又如：已知x、y滿足，求x+y的最值如果令x=5cos,y=4sin，可使問題的解答化歸為三角函數(shù)問題解決6、合理轉(zhuǎn)化簡化運算例6：已知圓C：(x-1)2+(y-2)225，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-40(mB)證明：不論m為何值，直線l與圓C恒交于兩點解：將直線l的方程重新整理可得(2x+y-7)m+x+y-40令

20、解得x3, y1所以直線l恒過定點(3，1)因為(3-1)2+(1-2)2525，所以點(3，1)在圓內(nèi)，故l與C恒有兩個交點點評：這是一個證明直線與圓有交點的問題，如果用判別式法或證明圓心到直線的距離小于圓的半徑，都有一定的難度，但將證明轉(zhuǎn)化為證明直線過圓內(nèi)定點問題，簡化了運算象這樣通過分析問題的內(nèi)在特征，將問題合理轉(zhuǎn)化，可使問題的解決變得特別簡單除了上述方法外，還可用參數(shù)方程等知識工具簡化運算，這里不再贅述總之，圓錐曲線問題采用合理手段簡化運算，才能順利解決問題，解題時應(yīng)當(dāng)注意留心體會并及時總結(jié).（八）圓錐曲線的焦半徑公式及應(yīng)用我們把連接圓錐曲線的焦點與曲線上任一點的連線段稱為它們的焦半徑

21、,根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義,很容易推出圓錐曲線的焦半徑公式.下面是用得比較多的焦半徑公式: (1)設(shè)是橢圓（0）上的一點，則 ，其中是離心率（下同）.(2)設(shè)是雙曲線（0，0）上的一點，則 ，其中是離心率（證明略，下同）.(3)設(shè)是拋物線（0）上的一點，則.以上各式中, 是曲線上的一點,、分別是橢圓或雙曲線上的左、右焦點.是拋物線的焦點.這里特別強(qiáng)調(diào)的是,隨著曲線方程的不同, 焦半徑公式也各不相同.下面介紹焦半徑公式在解題中的應(yīng)用.1、在橢圓中的應(yīng)用例1 設(shè)為橢圓（0）上的任意一點，是它的左焦點.求的最大值和最小值.解 設(shè)點為橢圓上的一點，則由焦半徑公式得.因為點為橢圓上,所以 所以,即.所以當(dāng)

22、,即P為橢圓的右焦點時, 取得最大值;當(dāng),即P為橢圓的左焦點時, 取得最小值.例2 P為橢圓上一點, 、分別是橢圓的兩個焦點,若,求P點的坐標(biāo).(圖1)解 由,所以離心率.如圖1,設(shè),則,.由,得,解得,把代入橢圓方程中,求得.P點的坐標(biāo)是、.2、在雙曲線中的應(yīng)用例3 已知雙曲線（0，0）的左、右焦點分別是、,P是它左支上的一點,P到左準(zhǔn)線的距離用 表示,雙曲線的一條漸近線為,問是否存在點P,使得、成等差數(shù)列?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解 假設(shè)存在點滿足題中條件,因為雙曲線的一條漸近線為,所以,即.所以,即求得離心率是.由,得 (1)因為雙曲線的準(zhǔn)線方程是,所以.所以,.因為

23、點P在雙曲線上,所以，,代入(1)得,將代入中得.所以存在點P,使得、成等差數(shù)列,點P的坐標(biāo)是.例4 已知雙曲線（0，0）的離心率,左、右焦點分別是、,左準(zhǔn)PF線為,能否在雙曲線左支上找到一點P,使得是P到的距離與的等比中項.解 假設(shè)存在點滿足題中條件,則,.由,即,解得,因為,所以,與已知矛盾,故P點找不到.3、在拋物線中的應(yīng)用例5 過拋物線()的焦點F,做兩條互相垂直的弦AB、CD,求的最小值.(圖2)解 由題意可知, AB、CD均不垂直于軸,如圖2,設(shè)、,AB的斜率是,則,兩式相減得.所以,又AB的方程是,所以.所以.因為,所以,即有.從而=,即當(dāng)時, 取得最小值.例6 過拋物線()的焦

24、點F的直線交拋物線于A、B兩點,求證.證明 設(shè)AB:,代入中,得:,即,所以,.因為,.所以.圓錐曲線經(jīng)典題例例1、設(shè)雙曲線 與（a0，b0）的離心率分別為e1、e2，則當(dāng)a、b變化時，的最小值是（ ） （A）2 (B)4 (C)4 (D)思路分析由題意知：e1=, e2=, =4當(dāng)且僅當(dāng) a=b時等號取得，則（）min=4簡要評述本題難點之一是分別求出兩雙曲線的離心率的表達(dá)式。如果不理解離心率的實質(zhì)，盲目套用“e=”必將導(dǎo)致錯誤。雙曲線的離心率=，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一個自變量的函數(shù)是解決這類問題的常用方法。例2、已知雙曲線y2=1，M為其右支上一動點，F(xiàn)為其右焦點，點A（3，1），則的最小

25、值為 。思路分析（F1為雙曲線的左焦點）=當(dāng)M、F、A三點共線時，最小為簡要評述本題巧妙地運用雙曲線的第一定義，沒有=-2a這一步的轉(zhuǎn)化，則解題很可能陷入僵局。例3、已知的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，請將題目中所空缺的一個可能條件填入_處.思路分析此題所空缺條件一般是應(yīng)滿足什么條件.首先確定焦點所在的坐標(biāo)軸.假設(shè)焦點在軸上,由題意有則從而與題設(shè)矛盾,知橢圓的焦點在軸上.于是有,亦即 綜上應(yīng)有.答案 可以是滿足的任一開放條件.簡要評述焦點三角形的面積問題是解析幾何中一種常見問題,改變一下問題的結(jié)構(gòu)形式,將其設(shè)計成一個條件開放性問題,思考與訓(xùn)練的價值是相當(dāng)大的.本題的難點之一是確定焦點所在位置,

26、考查了分類討論的思想.例4、已知一條曲線上的每個點到A（0,2）的距離減去它到x軸的距離差都是2. （1）求曲線的方程; （2）討論直線A(x4)+B(y2)=0(A，BR)與曲線的交點個數(shù).思路分析（1）設(shè)點M(x,y)是曲線上任意一點,則|y|=2，整理=|y|+2， 所求曲線的方程. C1：當(dāng)y³0時， x2=8y；C2：當(dāng)y<0時，x=0. （2）直線A(x4)+B(y2)=0過定點(4,2)且A、B不同時為零，（數(shù)形結(jié)合）當(dāng)B=0時，A¹0，直線x=4與曲線有1個的交點； 當(dāng)B¹0時，令k=，則y=k(x4)+2，與x2=8y聯(lián)列：x28kx+32

27、k16=0當(dāng)D=0時，k=1，即A=B時，直線與C1和C2各一個交點；當(dāng)k>1時，<1時，直線與C1兩個交點，和C2一個交點；當(dāng)<k<1時，1<<時，直線與C1兩個交點，和C2一個交點；當(dāng)k£時，³時，直線與C1有兩個交點. 直線與曲線有1個的交點,當(dāng)B=0時，A¹0；直線與曲線有2個的交點, A=B和³；直線與曲線有3個的交點, 1<<和<1. 簡要評述軌跡問題是高考考查的熱點，本題主要考查用定義法求軌跡方程，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想。例5、橢圓的中心是原點O，它的短軸長

28、為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線與軸相交于點A，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。(I) 求橢圓的方程及離心率； (II)若求直線PQ的方程； 思路分析(I)：由題意，可設(shè)橢圓的方程為（a） 由已知得 解得 所以橢圓的方程為，離心率 (II) 由(I)可得設(shè)直線PQ的方程為由方程組 得 依題意 得 設(shè) 則 由直線PQ的方程得 于是 由得從而所以直線PQ的方程為或 簡要評述利用向量引進(jìn)條件，體現(xiàn)了新課程、新教材的要求，新內(nèi)容與傳統(tǒng)內(nèi)容的聯(lián)系，這是高考新課程卷的創(chuàng)新題型和發(fā)展趨勢。平面向量的知識與解析幾何的知識得到了很好的結(jié)合，是一個典型的考查綜合能力的試題。例6如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(

29、0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點。 ()設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明()設(shè)直線AB的方程是x2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。思路分析 ()依題意,可設(shè)直線AB的方程為,代入拋物線方程得 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、(x2,y2),則x1、x2是方程的兩根。所以由點P（0，m）分有向線段所成的比為， 得， 即又點Q是點P關(guān)于原點的以稱點，故點Q的坐標(biāo)是（0，-m）,從而 = = = = =0， 所以 () 由得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）。 由得， 所以拋物線在點A處切線

30、的斜率為。 設(shè)圓C的方程是， 則 解之得 所以圓C的方程是，簡要評述函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線斜率，這就為解決解析幾何中的曲線的切線問題提供了有利的工具。 例7 如圖,已知的面積 為S,且(1)、若，求向量與的夾角的范圍；（2）、設(shè)，若以O(shè)為中心，F(xiàn) 為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，求Q的縱坐標(biāo)；（3）、在（2）的條件下，當(dāng)取得最小值時，求此橢圓的方程。思路分析（1）由已知得： 則（2）以O(shè)為原點，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為設(shè)Q點的坐標(biāo)為（3） 又由 , 得簡要評述平面向量已成為中學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的一種必備工具，它已經(jīng)從高考后臺走向前臺，因此平面向量很容易成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個交匯點

31、，與曲線、數(shù)列、三角等綜合命題，考查邏輯推理與運算能力，為多角度展開解題提供了廣闊的空間。例、已知橢圓，橢圓上有不同的三點A，B，且 成等差數(shù)列，（1）求弦AC的中點M的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為思路分析（1） 由題意可得，由焦半徑公式，得由此有 故弦AC的中點的橫坐標(biāo)（2） 將代入，故點M的坐標(biāo)為（），則，又 由即簡要評述此題的難點在“如何建立參數(shù)m的不等關(guān)系”利用程序二求出弦AC的中點M的坐標(biāo)（坐標(biāo)中含參數(shù)m），由點M 必在橢圓內(nèi)，得關(guān)于m 的不等關(guān)系。這是解決二次曲線弦中點問題的通法，大家要認(rèn)真領(lǐng)會，熟練掌握。試卷1、拋物線頂點是坐標(biāo)原點，焦點是橢圓的一個焦點，則此拋物線

32、的焦點到準(zhǔn)線的距離是 （ B ）（A） (B) (C) (D)2、直線 （ A ）（A）1，5)（5，+） （B）（0，5） (C) (D)（1，5）3、已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ） （A） （B） （C） （D）4、 若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=8x的準(zhǔn)線重合，則雙曲線的離心率為 （ A ） (A) (B) ( C) 4 (D) 45、過定點P(0,2)作直線l，使l與曲線y2=4(x-1)有且僅有1個公共點，這樣的直線l共有（ ）(A) 1條(B) 2條(C) 3條(D) 4條6. 已知F1、F2為

33、雙曲線=1(a0,b0）的焦點，過F2作垂直于x軸的直線，它與雙曲線的一個交點為P，且PF1F2=30°，則雙曲線的漸近線方程為 （D）(A) y=±x (B) y=±x (C) y=±x (D) y=±x 7、已知A、B、C三點在曲線的面積最大時，m的值為 （ ）(A) (B) (C) (D) 8、在橢圓為直角三角形，則這樣的點P有 （ ）(A) 2個 (B) 4個 (C)6個 ( D) 8個9、已知雙曲線的離心率互為倒數(shù)，那么以為邊長的三角形是 （ ）(A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)銳或鈍角三角形10、設(shè)點P為雙

34、曲線右支上除頂點外的任意一點，為其兩焦點，則在 （ A ）(A)直線 上 (B)直線 上 (C) 直線 上 (D)直線 上二填空題11、已知橢圓_12、雙曲線_13對任意實數(shù)K，直線：與橢圓： 恰有一個公共點，則b取值范圍是_b或_14、設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1、2、3、），組成公差為d的等差數(shù)列，則實數(shù)d的取值范圍是三、解答題15、已知橢圓C的焦點分別為F1(-2,0)和F2(2,0)，長軸長為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)。.解 設(shè)橢圓C的方程為+=1，由題意知a=3,c=2，于是b=1。橢圓C的方程為+y2=1。由 得1

35、0x2+36x+27=0因為該二次方程的判別式>0，所以直線與橢圓有兩個不同交點。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2= -,故線段AB的中點坐標(biāo)為(-,)。16、如圖，線段AB過x軸正半軸上一定點M(m,0)，端點A、B到x軸的距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，求該拋物線的方程。 y AM x OB解 設(shè)所求拋物線方程為 y2=2px(p>0)。 若AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-m)(k0)，由，消去x，得y2-y-2pm=0設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為A(,a),B(,b)。則a,b是方程的兩個根。ab= -2pm，又|a|

36、83;|b|=2m，即ab=-2m，由-2pm= -2m(m>0)得p=1,則所求拋物線方程為y2=2x。若AB垂直于x軸，直線AB的方程為x=m,A、B兩點關(guān)于x軸對稱，故=2pm,2m=2pm,又m0，p=1，則所求拋物線方程為y2=2x。綜上，所求拋物線方程為y2=2x。17、直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。（）求實數(shù)的取值范圍；（）是否存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出的值。若不存在，說明理由。解：（）將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得。依題意，直線與雙曲線C的右支交于不同兩點，則，。解得的取值范圍為。（）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)

37、分別為、，則由得，。假設(shè)存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c,0），則由FAFB得。既。整理得。把式及代入式化簡得。解得或（舍去）?？芍沟靡跃€段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點。18、如圖，P為雙曲線（a、b為正常數(shù)）上任一點，過P點作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點若 y A O P x B（1）求證：A、B兩點的橫坐標(biāo)之積為常數(shù)；（2）求AOB的面積（其中O為原點）解：（1）設(shè)A（，）、B（，）、P（，）因為，所以，又，所以從而又因為P點在雙曲線上所以，為常數(shù)(2)又，則，19、設(shè)、yR，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)、軸正方向上的單位向量，向量axi(y2)

38、j，bxi(y2)j ，且| a | b |8(1)求點M (x，y)的軌跡C的方程；(2)過點(0，3)作直線與曲線C交于A、B兩點，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由(1) 解：axi(y2)j，bxi(y2)j ，且| a | b |8 點M(x，y)到兩個定點F1(0，2)，F(xiàn)2(0，2)的距離之和為8 軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，方程為(2) 解：過軸上的點(0，3)，若直線是軸，則A、B兩點是橢圓的頂點 0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾直線的斜率存在，設(shè)方程為ykx3，A(x1，y1)，B (x2，y2)

39、由 得： 此時，恒成立，且 ，四邊形OAPB是平行四邊若存在直線，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即0 即Þ解得： 存在直線l：，使得四邊形OAPB是矩形20、在ABC中，A點的坐標(biāo)為（0，3），BC邊的長為2，且BC在x軸上的區(qū)間3，3上滑動.(1)求ABC的外心P的軌跡方程；(2)設(shè)一直線l：y=x+b與P的軌跡交于E、F點，原點O到直線l的距離為d，求的最大值，并求此時b的值.解：（1）設(shè)B，C的坐標(biāo)分別為B(t,0),C(t2,0)(1t3),則線段BC的中垂線方程為x=t1, AB中點（,）,AB斜率為 (t0),所以線段AB的中垂線方程為y=(x) 由得：x2=6y

40、8(2x2且x1) 當(dāng)x=1時，t=0時，三角形外心P為(1,),適合；所以P點的軌跡為x2=6y8(2x2) （2）由得x22x6b+8=0(2x2) x1x2=86b,x1+x2=2 所以EF=又因為d=,所以=因方程有兩個不相同的實數(shù)根，設(shè)f(x)=x22x6b+8,b,. 當(dāng)=時，()max=.所以的最大值是,此時b=.一、數(shù)形結(jié)合簡化運算 例1:已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線上且BC/x軸，求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點 證明：如圖，設(shè)直線AC與x軸的交點為N，過A作ADl，垂足為D，因為BC/x軸，所以BCl，于是根據(jù)橢

41、圓幾何性質(zhì)，得 |BF|=e|BC|, |AF|=e|AD|. AD/FE/BC, , , 所以N為EF中點，即直線AC過線段EF中點N 點評：本題的解法充分利用了圖形的幾何性質(zhì)，即三角形相似及橢圓定義的幾何表示，避免了復(fù)雜的代數(shù)運算在圓錐曲線的許多問題中合理運用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡化運算，如直線與圓的位置關(guān)系問題，一般借助圓的幾何性質(zhì)解決，其中(1)過弦的中點的直徑垂直平分弦，(2)弦心距、半弦長、對應(yīng)的半徑構(gòu)成直角三角形，(3)直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑等幾何性質(zhì)，都是在解題中經(jīng)常用到的或者利用代數(shù)表達(dá)式的特定幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合避免復(fù)雜代數(shù)運算，如，已知x, y滿足x2+y2=1，求的取值范圍 可以看作是點(x，y)與點(2，2)的連線的斜率 二、運用定義簡化運算 例2：已知某橢圓焦點是Fl(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，過F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|FlB|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1，y1)，C(x2，y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C| 成等差數(shù)列求AC中點的橫坐標(biāo) 解：由條件易得橢圓方程為，且B點坐標(biāo)為，右準(zhǔn)線為，離心率根據(jù)橢圓定義有、. 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得 ，