2020高考理數總復習課后限時集訓49雙曲線

1、1課后限時集訓（四十九）雙曲線（建議用時：40 分鐘）A 組基礎達標一、選擇題1. （2019 福州模擬）已知雙曲線 E: mx2-y2= 1 的兩頂點間的距離為 4,則 E 的 漸近線方程為（）xxA. y 二壬B. y=2C. y= LxD. y= x2 21x2B 因為 E: mx2-y2= 1 的兩頂點間的距離為 4,所以 m=4 所以 E 的方程為- y2= 1,所以 E 的漸近線方程為 y=易 故選 B.22. （2015 全國卷I）已知 M（xo, yo）是雙曲線 C:；2 y2= 1 上的一點，F1, F2是C 的兩個焦點，若 MF1MF2V0,則 yo的取值范圍是（A匚迥亞)

2、I 3 ,3 丿Cf 2/2 占C.3 ,3A由題意知a= 2 ,b= 1 ,c= , 3，二 F1( 3 , 0) , F2( (3 ,0)，二 MF1=(3 X0, y。) )，MF2= ( .3 X0, y。) ). TMF1MF20,. (3X0)( 3X0)+y00,即 X0 3 + y00.2點 M(x, y)在雙曲線上，二 X y2= 1,即 x0= 2+ 2y0, 2 + 2y()() 3 + y00）上一點，F1, F2分別為雙曲a 9線的左、右焦點,/ F1PF2= 60 則|PF1|PF2|的值為（）3A. 6C. 18D. 36D不妨設點 P 在雙曲線的右支上,則由雙曲

3、線的定義,得|PFi| |PF2匸 2a, 兩邊平方，整理得|PFi|2+ |PF2f= 4a2+ 2|PFi|PF2|.在厶 PF1F2中，由余弦定理，2 2 2 2 2,口 _ IPF1I+IPF2I |FiF2| ”也+ 2|PFi|PF2| 4( (a + 9) )i 得cos/FiPF2=2|PFi|PF2|，即2|PFi|PF2|= i,解得|PFi|PF2匸36，故選 D.2244.已知雙曲線予一存=i（a0，b0）的兩條漸近線的夾角B滿足 sin 缸 5 焦點到漸近線的距離為 1，則該雙曲線的焦距為（）A.誦B.乎或廂C.5 或 2 5D. 2 5x2y24C 因為雙曲線孑一

4、b2= 1（a0，b0）的兩條漸近線的夾角B滿足 sin4以 tan 缸 3,不妨設雙曲線經過第一、三象限的漸近線的傾斜角為a則 皓 2a亠-, - ,2tana4 存.亠 1 十、b 1或9= n2a,tanAan 2a=2-=，得 tana2 或石，所以-=2 或：1tan2a32a 2月2= b= 1,又 b2= c2 a2= 1,解得 c=今或 5,所以雙曲線的焦距為5 或a + b22 5.225. （2019 惠州一調）已知 Fi和 F2分別是雙曲線字一浮=1（a0, b0）的兩個焦點，A 和 B 是以坐標原點 0 為圓心，以|OFi|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個C.3+1B.

5、9設右焦點為（c, 0），其中一條漸近線方程為y=bx，貝 U 焦點到漸近線的距離 d=交點，且 F2AB 是等邊三角形,A.3+ 12則該雙曲線的離心率為B. 3 14C 由題意知|FiF2匸 2c,vF2AB 是等邊三角形,5_3c c/AF2F1= 30 連接 AF1,. IAF1匸 c, |AF2|=3C,Aa= 廠,c _-e=3+1.故選 c.226.已知雙曲線 C:拿一=1(a 0, b 0)的右焦點為 F,以 F 為圓心和雙曲線 的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為 M，且 MF 與雙曲線的實軸垂直，則 雙曲線 C 的離心率為( ( ) )A 逅2C.2-,即 a= b,所以雙

6、曲線的離心率 e=a2 27.已知 F1, F2分別為雙曲線倉一片=1 的左、右焦點，P(3, 1)為雙曲線內一點, 點 A 在雙曲線上，則|AP| + |AF2|的最小值為( () )A. 37+ 4B. 37 4C. 37 2 5D. 37+ 2 5C 由題意知，|AP|+ |AF2匸|AP|+ |AFi| 2a,要求|AP|+ IAF2I 的最小值，只需求 AP|+ |AFi|的最小值,當 A, P, F1三點共線時，取得最小值，則 |AP|+ |AF1|= |PF1|= 37, |AP|+ |AF2|的最小值為 |AP|+ |AF1| 2a= 37 2 5.二、填空題2 28.如圖，F

7、1, F2是雙曲線字一語 1(a0, b0)的左、右焦點，B. 5C 易知雙曲線的漸近線方程為 y=，則點 F(c, 0)到漸近線的距離為2、a2+ b2= 寮 b,即圓 F 的半徑為 b.令 x= c,則 y=b21=,由題意，得 b=6過 F1的直線 I 與 C 的左、右兩個分支分別交于點 B, A.若 ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為 _ .77ABF2為等邊三角形，:.AB|= AF2ITBF2I,/FIAF2=60由雙曲線的定義,得|AFi|AF2匸 2a,：|BFi匸2a.又 |BF2| |BFi|= 2a,|BF2|= 4a, AF2|= 4a, |AFi|= 6a.在厶

8、 AF1F2中，由余弦定理，得|FIF2|2=|AFI|2+ |AF2|2 2|AF2| |AFi|cos 60,(2C)2=(6a)2+ (4a)2 2X4ax6ax2,化簡得 c?= 7a2,為（屮 5, 4）,則此雙曲線的標準方程是 _ .2 2 2 24倉=1 橢圓 27+ 36= 1 的焦點坐標為（0,均.2 2設雙曲線的標準方程為字希=1（a0, b0）,由雙曲線的定義得2a =；15 02+ 4 32；15 02+ 4+ 32|=4,故 a = 2, b2= 32 22= 5,2 2故所求雙曲線的標準方程為 4*=1.210. （2019 武漢模擬）已知雙曲線 x2春=1 的左頂

9、點為 A1,右焦點為 F2, P 為雙曲線右支上一點，則 PA1PF2的最小值為_ .2 由題可知 A1（ 1, 0）, F2（2, 0）.設 P(x, y)(x 1),229 設雙曲線與橢圓 2x7+36=1 有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的坐標c.e=8則 PAi= (- 1-x, y), PF2= (2 x, y), PAiPF2= x2 x 2 + y2= x2 x22 2+ 3(x 1)= 4x x 5.因為 x 1,函數 f(x)= 4x2 x 5 的圖象的對稱軸為取得最小值2.B 組能力提升x221.已知雙曲線 C: 3 y2= 1 的左、右焦點分別為 F1, F2,過點

10、F2的直線與雙廠14衍A. 4 3B.3C. 5 3D.163J3D 由雙曲線方程得 a2= 3, b2= 1,所以 c2= a2+ b2= 4,所以 c= 2,所以右焦點 F2(2, 0),因為XP=2 且 PQ 過點 F2,所以 PQ 丄 x 軸，如圖,|PF1|2 |PF2|2= 4c2二 16,須3由此得？|PF1| + |PF2匸二|PF1| |PF2匸2a= 2/33所以 PF1Q 的周長為 2(|PF1+ |PF2|)=1y.故選 D.2 22. (2018 全國卷川)設 F1, F2是雙曲線 C: x *=1(a0, b0)的左、右焦點，O 是坐標原點.過 F2作 C 的一條漸

11、近線的垂線，垂足為 P.若|PF1匸6|OP|,則 C 的離心率為( () )A. 5B. 2X=8,所以當 x= 1 時,PA1PF2曲線 C 的右支相交于P,Q 兩點，且點 P 的橫坐標為2,則厶 PF1Q 的周長為(9C. 3D. 2C 不妨設一條漸近線的方程為 y=?x，則 F2到 y= ?x 的距離 d= b,aa22va + b10在 Rt F2PO 中，|F20|= c,所以|P0 匸 a,所以|PFi|= 6a.又|FiO 匸 c,所以在cos/ POF2= 即 3a2+ c2-( 6a)2= 0,得 3a2= c2,所以 e=字 3.2 23.已知 Fi, F2分別是雙曲線C

12、：O2-b2 1 的左、右焦點，若 F2關于漸近線的 對稱點恰落在以 Fi為圓心，|OFi|為半徑的圓上，則雙曲線 C 的離心率為 取 x= 2,得|PA|最小值為2 a + 0 = |2 a|= 3,所以 a= 1. 綜上，得 a= 1 或 5 2.2 由題意，得 Fi(-G0), F2( (c, 0), 一條漸近線方程為 y=bx,則 F2到漸近線 a=b. FiPO 與 Rt F2PO 中，根據余弦定理得cosZ POFi=a2 * * 5+ c2-(任a,2ac的距離為一 T2b + a11設 F2關于漸近線的對稱點為 M , F2M 與漸近線交于點 A,則|MF2匸 2b, A 為F2M 的中點.又 0 是 FiF2的中點，二 OA/ FiM ,/ F1MF2為直角, MF1F2為直角三角形,由勾股定理,得4C2=c2+ 4b2,3C2=4(C2-a2), c2= 4a2, c= 2a , e= 2.24._已知點 A(