三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明張思明課型和教學(xué)模式：習(xí)題課，導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”模式教學(xué)目的：(1)掌握利用三角形條件進(jìn)行角的三角函數(shù)恒等式證明的主要方法，使學(xué)生熟悉三角變換的一些常用方法和技巧(如定向變形，和積互換等)。(2)通過自主的發(fā)現(xiàn)探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造的思維習(xí)慣和思維能力，體驗數(shù)形結(jié)合、特殊一般轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。并利用此題材做學(xué)法指導(dǎo)。(3)通過個人自學(xué)、小組討論、互相啟發(fā)、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主與協(xié)作相結(jié)合的學(xué)習(xí)能力和敢于創(chuàng)新，不斷探索的科學(xué)精神。教學(xué)對象：高一(5)班教學(xué)設(shè)計：一.引題：(A,B環(huán)節(jié))1.1 復(fù)習(xí)提問：在三角形條件下，你能說出哪些有關(guān)角的

2、三角恒等式？擬答：H十合十C=sinA=sin(5+0)cosA=-cqs(B+C),必=+C)sin4/2=cos(B+C)/2cosA/2=sin(B+C)/2這些結(jié)果是誘導(dǎo)公式/(用一外.7,*/2-0)口才的特殊情況。1.2 今天開始的學(xué)習(xí)任務(wù)是解決這類問題：在三角形條件下，有關(guān)角的三角恒等式的證明。學(xué)習(xí)策略是先分若干個學(xué)習(xí)小組(四人一組)，分頭在課本P233P238,P261-266的例題和習(xí)題中，找出有三角形條件的所有三角恒等式。1.3備考：期待找出有關(guān)4ABC內(nèi)角A、B、C的三角恒等式有：(1)P233：例題10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosc/

3、2(2)P238:習(xí)題十七第6題：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosc/2.(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.(4) sin2A+sin2B+sin2c=4sinAsinBsinC.(5)cos2A+cos2B+cos2c=-1-4cosAcosBcosC.(6)P264:復(fù)參題三第22題：tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.cosAcosBcosC-+4-=2(7) .'>，.:.二二Wil.：.Mt:工力；二”也許有學(xué)生會找出:P264-(23)但無妨。1. 4請各組學(xué)生分工合作完成以上恒等式

4、的證明：提示：建議先自學(xué)例題10,注意題目之間的聯(lián)系，以減少證明的重復(fù)勞動。二.第一層次的問題解決(C,D環(huán)節(jié))2. 1讓一個組上黑板，請學(xué)生自主地挑出有代表性”的3題(不超過3題)書寫證明過程。然后請其他某一個組評判或給出不同的證法。證法備考：(1)左到右：化積->提取->化積。(2)左到右：化積一。提取-一>化積sin(A+B)/2=cosC/2cosC=cos(j4+B)=1-cos2(3)左到右：化積->2->留“1提取->化積(4)左到右：化積->提取一。化積sin2C=sin2(A+B)(5)左到右:8s2C-cos2(jl+B)-2cos

5、aCi4+)-l(6)左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB)(7)左到右：通分后利用(4)的結(jié)果2.2教師注意記錄學(xué)生的選擇”，問：為什么認(rèn)為你們的選擇有代表性？體現(xiàn)學(xué)法的暗導(dǎo)”。選擇的出發(fā)點(diǎn)可以多種多樣，如從品種、不同的證法、邏輯源頭等考慮。2.3另一組學(xué)生判定結(jié)果或給出其他解法，(解法可能多樣。)也可對前一組學(xué)生所選擇書寫的例題”的代表性”進(jìn)行評價。教師記錄之。注意學(xué)生的書寫中的問題(不當(dāng)?shù)奶降?。2.4其他證法備考：1 .如右到左用積化和差，(略)2 .利用已做的習(xí)題：smtT+sinsiny-sinf/+S+7)=4sinsm-sm222#+/#+V予+cos/+

6、coscos；r+cos(9+#+力=4coscoscos222先一般后特殊3 .幾何直觀：鼠13C=$+iiAOC+左式=0.5absinC=2R2sin4sin5sinC0.5*(皿2.4+sin25+sin2。由此得證(4)圖14 .用方/2-A/2,開/2-B/2,霏/2-C/2代才爽A,B,C（仍保持三個角之和為算）可速由（4）推出（1）;由（5）推出（2）三.探索發(fā)現(xiàn)練習(xí)（回朔與E環(huán)節(jié)）3.1 請學(xué)生以小組為單位通過觀察、聯(lián)想、對比、猜想、發(fā)現(xiàn)解決以下幾項任務(wù)（1）找出更多的三角恒等式。（2）用發(fā)散的方式尋求更多的結(jié)果?？梢宰灾骺隙ǖ慕Y(jié)論記為定理”，還不能肯定的結(jié)論暫記為猜想”3.

7、2小組活動10分鐘后，組代表上前表述發(fā)現(xiàn)”，交流結(jié)果。3.3教師注意記錄學(xué)生的發(fā)現(xiàn)結(jié)果，挖掘再發(fā)現(xiàn)”的潛力。3.4結(jié)果的予儲”（1）結(jié)果一般化：如K-1/r、a也從白土（-1）4cos-COS-COS，07俞效9?9sin3+uin沖B+sinnC=（T）24sin-sinsin嚴(yán)7E偶數(shù)222對cos,tg亦有類似結(jié)果(2)變維發(fā)散三角形變四邊形，如對四邊形ABCD有-DA+CA+D-B-C.B+Ccos=wincos=sin4242sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(C-D)/2=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4

8、*cos(A+D-B-C)/4=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2兩邊換成cos亦正確進(jìn)一步可探索四邊形ABCD是平行四邊形或是圓內(nèi)接四邊形時的相應(yīng)結(jié)論。(3)逆序發(fā)散：如對(6),原等式成立，能推出A+B+C=花嗎？舉反例可知不行，可推出A+B+C=kK,k是整數(shù)。(4)變形式發(fā)散：sin2j4+sin25+sin2C=2cosAcosBcosC3/3nmL3力3a3CQABCsm+sin+sin(7=cos-cos-cos+3coscoscos一222222再如對偶聯(lián)想：上面的式子該成cos怎樣？(5)批判式的發(fā)散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形條件下有

9、哪些三角函數(shù)的不等式？如對銳角三角形ABC,有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCsinAsinBsinC>cosAcosBcosC。對一般三角形tgA+tgB+tgC=ctgA+ctgB+ctgC恒不成立特別注意記錄意外”。3.5評論與小結(jié)：請學(xué)生評述本課解決的問題、自認(rèn)為用到的重要方法和得到重要結(jié)果、并做小結(jié)教師記錄補(bǔ)充（與學(xué)生互補(bǔ)之）一重點(diǎn)是學(xué)法和思維方法：怎樣復(fù)習(xí)，怎樣提高做題的效率，怎樣學(xué)會舉一反三”，怎樣用發(fā)散思維的方式提出問題。3.6作業(yè)：A類：閱讀P257-P261B類：（1）選擇學(xué)生課上提出的三個結(jié)果，給出證明或證偽。（2）改寫或重寫本章的小結(jié)（參看P25