圖形運(yùn)動(dòng)與幾何證明題中的輔助線添加1.

1、B2!型帥*努力打造國(guó)內(nèi)最開(kāi)放的資源下載基地和最專業(yè)的遠(yuǎn)程教育平臺(tái)!1圖形運(yùn)動(dòng)與幾何證明題中的輔助線添加上海初中數(shù)學(xué)新教材的特色之一是打破平面幾何的公理體系，將平面幾何大致分成直觀幾何、 實(shí)驗(yàn)幾何和論證幾何。其編者意圖一方面是為了順利實(shí)現(xiàn)幾何的入門教學(xué)，另一方面通過(guò)實(shí)驗(yàn)幾何 中學(xué)生的動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)幾何知識(shí)并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)解決幾何問(wèn)題的方法。教學(xué)中如果能利用好這部分 內(nèi)容對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)將很有裨益。由于實(shí)驗(yàn)幾何又以線段或直線的平移、基本圖形的旋轉(zhuǎn) 與翻折為核心，而這部分內(nèi)容對(duì)于幾何證明題中的輔助線添加又有著非常密切的關(guān)系。因?yàn)槲覀兛?以通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)把幾何題中分散的條件匯聚到一個(gè)基本圖形或者通過(guò)

2、圖形運(yùn)動(dòng)把題目中不很明朗 的、比較隱蔽的條件明朗化。本文試圖通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)的三種基本形式對(duì)平面幾何證明題中的輔助線 添加作點(diǎn)探索，拋磚以期引玉。一、線段或直線的平移平移的特征是把線段或直線從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方，通過(guò)平移可以將圖形中一些分散的 條件匯集到一起，也可以把不太明朗的關(guān)系明朗化。特別是對(duì)于有些條件比較隱蔽的幾何題，往往 能起到“柳暗花明又一村”的效果。由于線段或直線在平移過(guò)程中保持著線段的長(zhǎng)短和角的大小不 變，這一結(jié)論對(duì)于將題目中的有用條件集中到一起從而能比較容易的添加出輔助線以達(dá)到解題的目 的很有好處。，AB/ CD M N分別是AB CD的中點(diǎn)，求證:例1、如圖一，在梯形 AB

3、CD中，/ A+/ B=90°MNj (AB CD)。2分析：觀察本題的已知條件/A + /B=90 °圖一中的/A、/B分別為梯形的兩個(gè)底角不利于這一 條件的應(yīng)用。比較理想的是將這兩個(gè)角放到一個(gè)三 角形中，從而可以利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解 決。又考慮到通過(guò)線段的平移可以將一個(gè)角從一個(gè) 位置移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣，就想到過(guò)D點(diǎn)作B C的平行線DP。也就是將線段BC平移到線段D P,可以得到/A + /AP D=9 0 °。自此不難 發(fā)現(xiàn)(AB-CD = AR而AP為直角三角形 ADP的斜1邊，要證 MN= AP,只要證MN等于AP邊上的中2線，因此，想到取線段

4、AP的中點(diǎn)G并連結(jié)DG這樣 只要證明DG =MN只需證明四邊形 DGM為平行四邊形就可以了。 這由GM=AMAG=1 (AAAP) =- B21 1P= CD DN及AB/ CD即可證明。2 2證明從略。例2、求證：兩中線相等的三角形是等腰三角形。 已知：如圖二， ABC中，D、E分別是 AB 求證：AB= AGAC的中點(diǎn),BE= CD分析：本題中的 BE= CD不能直接應(yīng)用，而證明 AC的基本思路是證明/ ABC玄ACB，因此只需證明 CBD,只需證明/ EBC玄DCB,要證明這兩個(gè)角相等就需 要把這兩個(gè)角中的一個(gè)進(jìn)行移動(dòng)。考慮到線段的平移能把一個(gè)角從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方，故過(guò)E點(diǎn)作CD

5、的平行線并和BC的延長(zhǎng)線相交于F,從而把/BCD平移到 /CFE位置。只需證明EF = CD，而連結(jié)D、E后， DE/ BC容易證明四邊形DCFE為平行四邊形，從而原 命題可證。證明從略。AB=BCEB例3、由平行四邊形 ABCD勺頂點(diǎn)作它的高 AE、AF,已知EF=a, AC=b（如圖三），求點(diǎn)A到 AEF的三條高的交點(diǎn)H的距離。故將AE平移到CGCG=AE又有 CGL ADb從而分析：若從已知條件直接求AH相當(dāng)困難。 而題目中的基本圖形是平行四邊形，平行關(guān)系較 多，如OEH/CD、 FH/ CE/ AG等等,因此可以考 慮將圖中的某些線段進(jìn)行平移。 這一平移既保持了EG=AC由于四邊形 H

6、ECF為平行四邊形，四邊形 AECG為矩形，所以 HF=CE=AG從而四邊形 AHFG 為平行四邊形，AH=FG又AHI EF , GF/ AH, EFG為直角三角形，所以AH=GF = JeG2 -EF2 = Jb2 -a2。本題的解題關(guān)鍵是 將AE平移到CG并由此得到若干個(gè)相等線段和 平行四邊形，由此可見(jiàn)，線段或直線的平移對(duì)于幾何題中的輔助線添加有著非常重要的作用。證明從略。二、圖形的旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn)是把圖形的一部分或全部繞著一個(gè)確定的點(diǎn)從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置。通過(guò)旋 轉(zhuǎn)可以把題目中一些不明朗的關(guān)系明朗化，它的最大特點(diǎn)是在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)部分兩點(diǎn)之間的距離 不變、兩直線間的夾角不變和對(duì)應(yīng)

7、直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。它的使用范圍一般是等腰三角形或中心 對(duì)稱圖形。有時(shí)再結(jié)合基本輔助線添加更能體現(xiàn)其在添加輔助線中的優(yōu)勢(shì)。例4、如圖四，已知 ABC中，點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)，過(guò) M作/ BAC的平分線AD的平行線交 AB于E,交CA的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。EAM ' D求證：BE=CF分析：這一題的已知條件中有M是線段BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為線段BC的對(duì)稱中心，同時(shí)考慮到相似三角 形中的基本圖形“ 8”字形，故可將 FMC繞中點(diǎn)M 旋轉(zhuǎn)180。，這時(shí)線段 CF也由原來(lái)的位置移動(dòng)到線段 BN位置，而 BN E同在 BEN中，只要證明 BEN 為等腰三角形即可。而/N=/F,/BEM2 FEA只要證

8、明/ FEA=/ F。又/ F=/ CAD / FEA=/ BAD AD又是角平分 B 線，從而此題可證。此題的解題關(guān)鍵在于將線段CF旋轉(zhuǎn)到線段BN從而I線段BC的 試。將要證明相等的兩條線段集中到一個(gè)三角形中，而這一考慮正是基于點(diǎn) M為中點(diǎn)（對(duì)稱中心），因此，有中心對(duì)稱圖形的幾何題的輔助線添加不妨仿此一 證明從略。例5、設(shè)P為等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且 PA=5, PB=4, PC=3求此等邊三角形的邊長(zhǎng)。 分析：如圖五，本題的難度在于已知的PA PBCBD=A P=5。過(guò)B點(diǎn)-90°PC是分散的，難以直接利用，因此必須添加輔助線。 又由于 ABC為等邊三角形，從而可以考慮到利

9、用旋 轉(zhuǎn)法來(lái)添加輔助線。但將那一部分旋轉(zhuǎn)又怎樣怎樣旋 轉(zhuǎn)呢？注意到 CA=CB=AB因而將 ACP繞C點(diǎn)按逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D,即ACPBCD 此時(shí) PCC是等邊三角形。PD=3PB=4,根據(jù)勾股定理的逆定理知/ BPD=90 作CP的垂線交CP的延長(zhǎng)線于E。/ BPE=180D圖五 60°=30 °，從而 BE=2 ,P E=2CE=3+2 J3這樣可以通過(guò)直角三角形CBE的斜邊長(zhǎng)求努力打造國(guó)內(nèi)最開(kāi)放的資源下載基地和最專業(yè)的遠(yuǎn)程教育平臺(tái)!出三角形ABC的邊長(zhǎng)。 證明從略。BC AC上的點(diǎn)，且 CE=CD過(guò)C、D作AE圖六例6、在等腰直角

10、三角形 ABC中E、D分別是直角邊 的垂線交斜邊 AB于L、K,求證：BL=LK>分析：如圖六，欲證 BL=LK,由于三角形 ABC 為等腰直角三角形， 即CA=CB因此可以將直角三 角形CAE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到直角三角形 CBF 這時(shí)點(diǎn)A、D C E在一條直線上且有 CF=CE=CD 因此只要證明BF/ LC/ KD,只要證明/ FBC=/LCB,而/ FBC=/ EAC 只要證明/ LCB=/ EAC 這 一點(diǎn)利用同角的余角相等即可得到該結(jié)論。證明從略。三、圖形的翻折翻折就是將圖形中的一部分沿著一條直線進(jìn) 行翻折。通過(guò)翻折可以構(gòu)造出軸對(duì)稱圖形并充分圖七利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

11、進(jìn)行解題。例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基本特點(diǎn)是各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)到 對(duì)稱軸的距離相等，因此利用圖中的已知相等線段并以其對(duì)稱軸為對(duì)稱軸構(gòu)造軸對(duì)稱圖形是一種常 見(jiàn)的輔助線添加方法。例7、如圖七，已知： ABC中，AD為/ BAC 的平分線，EF為AD的垂直平分線 ，EF、BC交于 F,求證：DF2=FCX FB。分析：這個(gè)題目中既有角平分線又有線段的 垂直平分線，它們分別是這兩個(gè)基本圖形的對(duì)稱 軸，若要翻折將那一部分翻折？結(jié)合結(jié)論中的線 段DF FC FB都在一條直線上證明起來(lái)很不方便， 因此考慮到將 DFE沿著直線EF（EF為線段AD的 對(duì)稱軸）翻折。故連結(jié)A、F。這時(shí)，只要證明AF2=FC X

12、 FB,只要證明 ACFA ABE只要證明/ FAC=/ FBA 由于 FA=FD 所以/ FAD=Z FDA / ADF玄 B+/ BAD / FAD=/ FAD+Z CAD 而/ BAD/ CAD為 已知，故命題得證。證明從略。ABD圖八例8、如圖八，已知 ABC中，AB> AC AD平分/ BAC P是AD上任一點(diǎn)，求證： AB-AC> P B PC。分析：由于P點(diǎn)在/ BAC的平分線上， 直線AP是/ BAC的對(duì)稱軸。又因?yàn)榫€段 AB AC PB PC在圖中相對(duì)分散， 因此可將 ABP 沿著直線AD翻折得到 AER這時(shí)，AE=AB PE=PB AB- AC=A AC=CE因

13、此只要比較 PEPC與CE的大小，而這一點(diǎn)在 PCE中 是顯然的。證明從略。例9、如圖九，在等腰直角三角形 ABC中，E、F分別是底邊 BC上的兩點(diǎn)，且/ EAF=45。求證：以 BE EF、FC為邊的三角形為直角三角形。分析：線段 BE EF、FC在一條直線上， 要證明它們能組成直角三角形，關(guān)鍵是將它們移到一個(gè)三角形中以便于找到其邊或角之間 的關(guān)系。所以將 ACF沿著直線AF翻折得到 ADE這時(shí) DF=CF考慮到移動(dòng)的目的，連 結(jié)DE并期望著DE=BE故想到證明 ABE ADE 因?yàn)? CAF=DAF 所以/ DAE=Z BAE 又 AD=AC=AB故厶 ABEA ADE / ADE=/ B=45°, 而/ ADF=/ C=45,所以 EDF為直角三角形。 即BE、EF、FC組成直角三