2014春季高一 第1講 正余弦定理難點突破 教師版 尖子班

1、 正余弦定理 第1講 難點突破 滿分晉級 10級三角函數(shù) 正余弦定理難點 突破 級三角函數(shù)9 三角函數(shù)綜合 級三角函數(shù)8三角恒等變換公式 綜合應(yīng)用 新課標(biāo)剖析 當(dāng)前 分13正余弦定理在近五年北京卷（理）中考查5 形勢要求層次 具體要求 內(nèi)容C A B 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些 高考 正弦定理、余弦定理與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 要求通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦 定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問解三角形 題 2009年 2010年（新課標(biāo)） 2011年（新課標(biāo)） 2012年（新課標(biāo)） 2013年（新課標(biāo)） 北京 高考 解讀 第15題6分

2、第10題5分 第9題5分 第11題5分 第15題13分 知識切片 寒假知識回顧 本板塊主要都是一星和二星的題因為在寒假預(yù)習(xí)的時候，我們已經(jīng)講了一講“正弦定理和教師備案只不過當(dāng)時講的比較簡單，就是直接運用公式，例題都是一星和二星的而在余弦定理”，本講會對知識進行加深，例題都在二星、三星和四星之間，老師在講正余弦定理時，可能需要照顧班里學(xué)生的情況，也需要一些簡單的題，所以老師在講概念的時候，也可以讓學(xué)是正余弦定理是余弦定理的題；、是正弦定理的題；、生做做本板塊的題653412 的綜合運用 ，則_在中，若，?C?75ABC?a?8bB?60? 【解析】64 ） ， ，則在中，等于（2a?434b?A

3、60?ABCB D以上答案都不對C 或A B ?45?135135?45 【解析】 C ，則在中，若?60c?3，A?b8，ABC?a 【解析】 7 222 ），則（在中，已知 ab?ba2?c?ABCC D C A B ?120?45?3060? 【解析】 B ，則中，若在?C7:8:13?C:sinB:sinAsinABC2【解析】 3 中，如果，那么角等于（ ） 在C3sinsinA?ABC30BAA B C D ?60?12030?45?【解析】 D 本講的正余弦定理是同步課程，在預(yù)習(xí)時我們已經(jīng)講了正余弦定理，只不過當(dāng)時只是講公式的運用，而本講會在這個基礎(chǔ)上進行加深在做正余弦定理的時候

4、我們會發(fā)現(xiàn)，有一種做題思想會一直運用，就是邊角互化，本講不會把邊角互化這個做題思想單獨列出來，老師可以在講題的時候給學(xué)生進行講解所以本講會從頭到尾都貫穿邊角互化的做題思想 正余弦定理1.1 正弦定理：考點1 知識點睛 ，的對邊，分別用，表示在中的三個內(nèi)角，bABCCBAcacab 1正弦定理：在三角形中，各邊的長和它所對的角的正弦的比相等，即R2? CsinBsinsinA CsinBc?2Rsina?2RAb?2Rsin；，cab?Csin?B?sinsinA ；， R22R2R C:sinB:sin:b:c?sinAa111 面積公式：BsinA?acsinsinS?abC?bc 222

5、2正弦定理用于兩類解三角形的問題： 已知三角形的任意兩個角與一邊，求其它兩邊和另一角； 已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其它的邊與角 【教師備案】在預(yù)習(xí)時我們已經(jīng)把求三角形面積作為一個板塊，所以建議老師在同步講正弦定理時，把三角形面積放到一塊去講，而且三角形的多解情況我們在預(yù)習(xí)的時候也講過，老師這 21主要是三角形的多解問題，例是利用正弦定理進行化簡里也可以再介紹一下例 為銳角 A 為鈍角A關(guān)系 式 Asinb?a Asinb?a b?a?Asinb ba b?a ba圖 形abA baA baaA abAabA abA 解的個 數(shù)無解 一解 兩解 一解 一解 無

6、解 經(jīng)典精講 ） 中，若，則1】 等于（在【例Bb?2asinABCA 或 DC或 A或 B或 ?12030?60?15060?453060? 所對的邊分別為則 若，在中，角3，b?2，a?1?A0?CABC?cbC，B，a，A 等于 ABC?ACABC?1?B?30），則中，的面積等于（3AB? 33333 或 DB A C或 342224 D【解析】?15105 或 D ，BA，c，Ca，b 6 22012ABC5c?8b中，內(nèi)角天津理，）在【例，已知】 （所對的邊分別是 ?C=2BcosC）（，則24777? D C A B 25252525 （2013年新課標(biāo)II）已知 的對邊分別為，

7、內(nèi)角ABCBsina?bcosC?cAc，C，a，b，B則_ ?BAB2 A?C?CABC，則為鈍角，若的取值范圍是（ 若） 為鈍角三角形，其中角 3BC?1?，?，3，?22，?3A B D C【解析】 A 4 B 考點2：余弦定理 知識點睛 三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，余弦定理：1222?c?ba,cosC? ab2222?,cosC?2abc?a?b?222?b?ca?222變形式為： 即： ,c?2cosBacb?a?,?cosB? 2ac?222a?b?c?2bccosA.?222a?cb?.cosA? 2bc?2余弦定理及其變形常用

8、來解決這樣兩類解三角形的問題： 已知兩邊和任意一個內(nèi)角解三角形； 已知三角形的三邊解三角形 ?相對于正弦定理，因為余弦函數(shù)在教師備案 候要用到三角恒等變換，題目都有一定的難度這部分不是高考的重點，不用深究 經(jīng)典精講 ，則年陜西17）如圖，已知， 【鋪墊】（201014AC?B?45?6AD?10?CD?AB 【解析】 65 A CDB 5 ACBC?2CD?2?ABC?ADC?90?BAD?60【例，】 如圖，求 ，求四邊形，已知圓內(nèi)接四邊形的邊長分別為4DABC?6ABCD?CD?ABCD2AB? 的面積 DACB 第題 212 【解析】 ?AC3 3?sin120?8S?16 ：解三角形應(yīng)

9、用題考點5 經(jīng)典精講 6172010）【例】 陜西卷理（D? 北海里的兩個觀如圖，是海面上位于東西方向相距 BA3?53北?45?60點有一艘輪船測點，現(xiàn)位于的點北偏東，點北偏西?45?60BADAB?60 點海里的相距且與點發(fā)出求救信，位于點南偏西320C60?BB小時，該救援船的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/ 達到點需要多長時間？DC 【解析】 點需要小時救援船到達1D 處有兩種路徑一種是從沿處下山至 （【備選】2013江蘇18）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點CAA直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到現(xiàn)有甲、乙CCBBA乘后，乙從勻速步行，速度為在甲出發(fā)兩位

10、游客從處下山，甲沿min50mAC/AA2min假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為后，再從勻速步行到纜車到，在處停留CBBB1min312 長為，經(jīng)測量，山路AC1260mmin130m/?Acos?cosC 135 求索道的長； AB 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ 處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 為使兩位游客在3CABC 【解析】 索道的長為 1040mAB35?時，甲、乙兩游客距離最短 當(dāng)tmin? 376251250? ）范圍內(nèi) 乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：，m/min? 1443? 正余弦定理綜合運用1.3 正余弦定理的綜合運用： 考點6 知識

11、點睛 正余弦定理的綜合運用 已知條件應(yīng)用定理 一般解法32一邊和兩角 ，（如，）CBa 正弦定理由，求角；由正弦定理求出與 b?CA?B?Ac 兩邊和夾角 ），（如，bCa余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三邊；由正弦定理求出小邊所對的角c（此角一定是銳角）；再用 ?C?A?B ），三邊（bca余弦定理 由余弦定理求出角、；由，求出角 C?C?BA?BA兩邊與其中一邊的對 ），角（如bAa正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角；由，求出角；再利CCA?B?B用正弦定理或余弦定理求 c【教師備案】根據(jù)已知條件，運用正余弦定理及三角形六個元素之間的關(guān)系，靈活實現(xiàn)三角形的邊與角的互相轉(zhuǎn)化 經(jīng)典精講 【鋪

12、墊】（2010浙江卷理18） 1在中，角、所對的邊分別為，已知 bCABCBAca?C?cos2 4 求的值； Csin 當(dāng)，時，求及的長 2?ab2sinA?sinCc 10 【解析】 ?sinC4 ?，6，?2bb?6? 或 ?c?4c?4.? 20107 江蘇卷）】 （【例ba在銳角三角形中，的對邊分別為， c、bA、B、C、aABCC6cos? abtanCtanC則_ ? tanAtanB （2013北京理） ，中， 在6?2b3?ABCaA?2?B 求的值； Acos 求的值 c【解析】 4 6 ?Acos3 5?c A?BC ， 所對應(yīng)的邊分別為【拓展】在中，角，3?2aABCc

13、Aa，Cb，B4tan?tan? 22，求及 ，cbA?sin2sinBcosC，AB【解析】 2， B?C?A 36 2?bc b，ca，r1 ABC的三邊長為已知，內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別是和Rabc2Rr? 求證： c?b?acababc得，正弦定理 【解析】 由?sinCB?，sinA?，sin?2R R2R2RsinsinAsinBC21c11? ，又，r?ca?bS?absinC?ab?S ABCABC2R222?abcrb?ca?abc?Rr2 ?，即 c?ba2R4 2對于正三角形，是否存在既平分周長又平分面積的直線？若存在，這樣的直線有幾條？ 證明你的結(jié)論 條存在，有【解析】

14、 3A 3 ，假設(shè)一條 如圖，設(shè)的邊長為，則， ABC?S3?C1 yABCABC4x直線既平分周長又平分面積，與三角形的兩條邊相交于兩ACAB，NM點，設(shè)， NM，y?x，ANAMCB1?1x?1?xy? x?2 則， 或2?13y?y?1?yx? ?2 ?2有條線滿足題意，且分別是每條邊的中線 3 實戰(zhàn)演練 AB31，則角為鈍角，）在中，_， 【演練1】（2010西城一模13?ABCCC?sinA? BC23_ ?Bsin 22?3【解析】 ，?1506 ur? ，】已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量【演練2ABCC，cA，Ba，b，1，?m?3rurr? ，且若，則角 AsincosA，n?n

15、m?CbacosB?cosA?csin?B 【解析】 6 ? ，所對的邊分別為，若 ，】在【演練3中，角bABCCBAcaCcosa?Acosc?b3 _則?Acos 3 【解析】3 的面積，滿足為，設(shè)4】在中，角，所對的邊分別為【演練ABCbABCCBASca 3?222 c?S?b?a4 的大??； 求角C 的最大值 求BsinsinA? 【解析】 所以?C 3 的最大值是3BA?sinsin ）石景山一模理155】（2010【演練3 ，且，在中，角，所對的邊分別為，2c?1baCABC?BAca?Ccos 4? 求的值；BA?sin 求的值； Asinrruuuu 的值 求CACB? 【解

16、析】 7? ?A?sinB4 14 ?Asin8 ruuuur3 ?CACB 2 大千世界 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省高二年級預(yù)賽）（2010 ，則于若，的，在中，已知的平分線交ABC?BC2AC1CK?ABCB?K?BK2 面積為_ 715 【解析】 16B 法一：如圖，在中，由余弦定理可得：BCK22 ?233222221?2?1? 22252?coscos? ， 482323?122?2?ACK222 ?2322?1?2?21?cosC? 82?1?2 731414 222?， ，?cos1sinsinC?1?cos?sinC?1?cos?884 75? 則，?cossin?ABC?2sin16 7757? ，?sin(sinA?cos)?sin(?sin)?sincos41616 5572ACBC ，中，由正弦定理可得：在，即ABC?AC? 162ABCsinAsin?74 7153715 所以?S?2 ABC16228 法二：2BCBABA ，設(shè)，則由角平分