人教版高中數(shù)學(xué)全套教案導(dǎo)學(xué)案311回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用3 1.1. 了解回歸分析的基本思想方法及其簡單應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1. 2.會解釋解釋變量和預(yù)報變量的關(guān)系 【教學(xué)重難點】. 教學(xué)重點：回歸分析的應(yīng)用b. 公式的推到教學(xué)難點：、a 【教學(xué)過程】 一、設(shè)置情境，引入課題).y,(x,x,y),(x,y),(x,y),(其回歸直線引入：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)n3212n13 方程的截距和斜率的最小二乘法估計公式分別為： n? )?yx)(y(x?ii 1i?bbxy?a? n? 2)x?x(i1i?nn11? yyx?x?y,(x) 稱為樣本點的中心。 iinni1?1i?如何推到著兩個計算公式？ 二、引導(dǎo)探

2、究，推出公式 n?2?ba)x(yQ(?,?)?取最小值時和斜率分別是使從已經(jīng)學(xué)過的知識，截距 ii1?i?,的值，由于 n? 2?x(y?）x）Q(+,()?yy?x?ii1?in? 22?）?(y?(y?x）(y?x）?y?(x?y?xx）?2y?xiiii 1i?nn? 22?）x?x）?n(x?y?2x）?yy?x?(y?x）(y?y?iiii 1?1i?i因為 nn? ?x?x?y(?(x?y）y?）?(y?x?）?y(x?y?x）iiii1i?i?1 nn? ?0,x）?ynnny?y?）yn?(?yx?）y?x(?x(?x）?x?(?ii11i?i? 所以n? 22?x）y?x?

3、(y?）x?Q（n，）?(y?ii1i?nnn? 2222?）?y?(y?y)x(x?x)?n?2(y(x?x)(y?)iiii11i?1i?i?nn? 2)yy?y)?(x?x)(x?x)(yiiiinn? 2222?1?1ii)?y?(x?x)?(y?n(?xy） iinn? 221?i?1i)?x(x?x)xii1?i1?i?,取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前無關(guān)，而前兩項為非負(fù)數(shù)，因此要使在上式中，后兩項和Q 兩項的值均為0.，既有n? )?y(x?x)(yii ?1?i?x?y n? 2)?x(xi1i?可以訓(xùn)練學(xué)生的計算能力，觀察分析能力，能夠很好訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)能力，必通過上式推導(dǎo)， 須在老師

4、引導(dǎo)下讓學(xué)生自己推出。n? )yy?x?x)(ii 1?i?bbx?a?y 所以： n? 2)(x?xi1i?三、例題應(yīng)用，剖析回歸基本思想與方法 例1、 從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如圖所示： 編1 2 3 4 5 6 7 8 /cm 身高165 165 157 170 175 165 155 170 64 61 48 54 57 59 50 43 /kg 體重 y的散點圖(1) 畫出以身高為自變量x,體重為因變量 求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報體重的回歸方程(2) 的女大學(xué)生的體重(3) 求預(yù)報一名身高為172cm作散x,因此選取身高為自變量體重為因變量y解：（1）由于問題

5、中要求根據(jù)身高預(yù)報體重， 點圖85.712?b?0.849,a ）（285.712.0.849x?回歸方程:y 對于身高172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報體重為：(3)60.316(kg?y0.84917285.712 四、當(dāng)堂練習(xí) 觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)x 流速1 y(m/s) 2 1.70 1.79 3 1.88 4 1.95 5 2.03 2.10 5 2.16 3 2.21 4 2 1 y 9 7 5 3 1 1 5 3 7 9 求兩個變量的回歸方程. 1010? 2110,x?0,yx?110,?0,x?y 答：iii11i?i? 10? yxy?10xii110?10?0

6、1i?1,a?b?y?bx?0?0b?0. 10 110?10?02? 2xx10?i1?iy?x 所以所求回歸直線方程為五、課堂小結(jié) ab公式的推到過程。 1. 、 y?bx?a通過(x,y) 2 六、布置作業(yè) 1 頁習(xí)題90課本31.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) n?2?ba)(yQ(?,?)?x,的值。通過截距取最小值時，求與斜率 分別是使 ii1i?: 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容,(x,y),(xx,y).y),(x,y),其回歸直線方 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)1.n312321n 程的截距和斜率的最小二乘法估計公式： ab= ， = xy= 2 = , 3樣本

7、點的中心 三、提出問題 ?)(,Q值最小，通過觀察分析式子進(jìn)行試探推到 如何使 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解回歸分析的基本思想和方法 2. 培養(yǎng)學(xué)生觀察分析計算的能力 二、學(xué)習(xí)重難點 y?bx?a， 學(xué)習(xí)重點：回歸方程 b公式的推到、學(xué)習(xí)難點： a 三、學(xué)習(xí)過程 ?),Q(,值的推到值最小時，1使 n? )y)(y?(x?xii ?1i?xy? 2結(jié)論 n? 2)x(?xi1?iba?y?bx的含義是什么3 中和a (x,y)一定通過回歸方程嗎？ 4. 四、典型例題 例1研究某灌溉倒水的流速y與水深x之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下： 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1

8、.90 2.00 2.10 ）m（x水深 (1) 求y與x的回歸直線方程； (2) 預(yù)測水深為1.95m時水的流速是多少？ y?0.733x?0.6948 的回歸直線方程為y與x分析：（1）（2）當(dāng)水深為1.95m時，可以預(yù)測水的流速約為2.12m/s 五、當(dāng)堂練習(xí) (x,y),(x,y),(x,y),(x,y).得到一組樣本數(shù)據(jù)：進(jìn)行回歸分析，1.對兩個變量y和xn3231n12則下列說法不正確的是（ ） (x,y)a?bxy 由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心A. B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 22RR越小，說明模型的擬合效果越好 用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，C.r?0.936

9、2，則變量y與xD若變量y與x之間的相關(guān)系數(shù)之間具有線性相關(guān)關(guān)系 2.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)： 年份1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8

10、 13.0 若x與y之間線性相關(guān)，求蔬菜年平均產(chǎn)量y與使用氮肥量x之間的回歸直線方程，并估計1515? 2xy?16076.8?x101,y?10.11,161,x） 每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量.（已知iiii?11i?y?bx?a，則解：設(shè)所求的回歸直線方程為 15? y5xy?1xii6076?.8?15?10110.111 1i?01?371001?bx?10.1?0.9?,b?7?0.093a?y 512121116?0115?52? 2x?15xi1i?0.6463y?x0.0937? 所以，回歸直線方程為：y?0.0937?150?0.6463?14.701(kg) 當(dāng)x=150k

11、g時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量課后練習(xí)與提高 1、 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1) 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； y?bx?a；的線性回歸方程 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x (2)(3) 已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ 3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5） （參考數(shù)值：解：（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如下圖 （2

12、）由對照數(shù)據(jù)，計算得： 444.54?2.5?3?63?4?5? 266.5xyy?4.5,?3.5,?x?86,x 已知 iii4411i?i?所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： 4? yxy?4xii66.5?4?4.5?3.5 1i?b0.7,a?y?bx?3.5?0.7?4.5?0.35. 424.54?862? 2x?4xi1i?y?0.7x?0.35 因此，所求的線性回歸方程為(4) 由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為 90?(0.7?100?0.35)?19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤） 。31.2 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本

13、思想及其初步應(yīng)用 【教學(xué)目標(biāo)】1.了解相關(guān)系數(shù)r；2 了解隨機誤差；3 會簡單應(yīng)用殘差分析 【教學(xué)重難點】 教學(xué)重點：相關(guān)系數(shù)和隨機誤差 教學(xué)難點：殘差分析應(yīng)用。 【教學(xué)過程】 一、設(shè)置情境，引入課題 上節(jié)例題中，身高172cm女大學(xué)生，體重一定是60kg嗎？如果不是，其原因是什么？ 二、引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題 b?0.84985.712?y?0.849x是斜率的估計值，說明身高x每增加1 1對于個單位，體 重就 ，表明體重與身高具有 的線性相關(guān)關(guān)系。 2 如何描述線性相關(guān)關(guān)系的強弱？ n? )y)(xy?(x?ii1?i?r nn?22)(y?y)(x?xii1?i?1i(1)r>

14、;0表明兩個變量正相關(guān)；（2）r<0表明兩個變量負(fù)相關(guān)； （3）r的絕對值越接近1，表明相關(guān)性越強，r的絕對值越接近0，表明相關(guān)性越弱。 （4）當(dāng)r的絕對值大于0.75認(rèn)為兩個變量具有很強的相關(guān)性關(guān)系。 3 身高172cm的女大學(xué)生顯然不一定體重是60.316kg,但一般可以認(rèn)為她的體重接近于 60.316kg. 樣本點與回歸直線的 所有的樣本點不共線，而是散布在某一條直線的附近，該直線表示身高與體重的關(guān)系的線?ay?bx 性回歸模型表示y?bx?a的誤差，ey與為隨機變量，e稱為隨機誤差。 e是2? 的精度越高。D(e)越小，預(yù)報真實值D(e)= y>0.E(e)=0，y 之間的

15、誤差之一。與真實值隨機誤差是引起預(yù)報值yyba,與真實值的真實值之間存在誤差，這種誤差也引起a,b為截距和斜率的估計值，與 y之間的誤差之一。 4 思考 e的原因是什么？產(chǎn)生隨機誤差項y的誤差，它是一個不可觀測的量，那么應(yīng)是用y預(yù)報真實值e5 探究在線性回歸模型中， 該怎樣研究隨機誤差？如何衡量預(yù)報的精度？2?)D(eabx?y?y?ey?y?ey 來衡量隨機誤差的大小。 iiiiiiiin1122?)(n?2)e?Q(a,b 2n?n?21?i2?)b(a,Q 越小，預(yù)報精度越高。稱為殘差平方和， 6 思考?xì)埐钇椒胶褪嵌嗌?？用這樣的樣本建立的線性回歸方程的預(yù)報誤差2時，當(dāng)樣本容量為1或 0嗎

16、？為 7 殘差分析n?2)y?y(ii2i?1?R?1 相關(guān)指數(shù)判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)；殘差圖 n? 2)y(y?i1?i22R越大，殘差平方和越小，擬合效果越好；R越接近1，表明回歸的效果越好。 8 建立回歸模型的基本步驟： 確定研究對象，明確哪個變量時解釋變量，哪個變量時預(yù)報變量。 畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量得散點圖，觀察它們之間的關(guān)系； 由經(jīng)驗確定回歸方程的類型； 按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)； 得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常。 三、典型例題 例1 下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料，今以x表示轎車的使用年數(shù)，y表示響應(yīng)的年均價格，求y關(guān)于x的回歸方程 用使x 年數(shù)1 2 3

17、 4 5 6 7 8 9 10 均年2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 y價格美（ 元）分析：由已知表格先畫出散點圖，可以看出隨著使用年數(shù)的增加，轎車的平均價格在遞減， 但不在一條直線附近，但據(jù)此認(rèn)為y與x之間具有線性回歸關(guān)系是不科學(xué)的，要根據(jù)圖的形狀進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系的變量間的關(guān)系。 解：作出散點圖如下圖 可以發(fā)現(xiàn)，各點并不是基本處于一條直線附近，因此，y與x之間應(yīng)是非線性相關(guān)關(guān)系.bx?az?bx?aylnzy?e?，來刻畫題中模型更為合理，令，則與已學(xué)函數(shù)圖像比較，用 題中數(shù)據(jù)變成如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7

18、8 9 10 y 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318 在散點圖中可以看出變換的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸模型方程擬 r?0.996,r?0.75之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)z與x，認(rèn)為合，由表中數(shù)據(jù)可得z?0.298x?8.165z?0.298,a?8.165,?lnyb?，據(jù)的，最后回代所以 ?0.298x?8.165e?y 即四、當(dāng)堂練習(xí)： 2如下，其R的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)1 兩個變量y與x中擬合效果最好的模型是（ ） 220.80?R?0.98R B 模

19、型2的的A 模型1 220.25R?0.50R? 3D 的 模型4的模型C A 答案 五、課堂小結(jié)2 和相關(guān)指數(shù)rR相關(guān)系數(shù)1 殘差分析2 六、作業(yè)布置3 頁習(xí)題90課本 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用31.2 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)2 3 了解隨機誤差產(chǎn)生的原因 2 了解殘差分析 和相關(guān)指數(shù)1 了解相關(guān)系數(shù)rR 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容r 1 相關(guān)系數(shù)n? )yy?(x?x)(ii1?i?r nn?22)?)y(y(x?xii1i?1i?，表明r的絕對值越接近1 ； ；r<0表明兩個變量 r>0表明兩個變量 的絕對值大 當(dāng)r ，r的絕對值越接近0,表示兩個變

20、量之間 兩個變量相關(guān)性 認(rèn)為兩個變量具有很強的相關(guān)性關(guān)系。 于 2 隨機誤差ea?y?bx?abx?y?與是y 在線性回歸模型： ，e中，a和b為模型的 ，方 ，通常e為隨機變量，稱為隨機誤差，它的均值E(e)= 之間的 2?0 差D(e)= e?bx?ay?2?越小，通過回的方差線性回歸模型的完整表達(dá)式為隨機誤差e?2?)?0,D(eE(e)?a?y?bx y的精確度 歸直線 預(yù)報真實值 3 殘差分析).x,y),(,yx,y),(x,y),(x 殘差對于樣本點而言，相應(yīng)于它們的隨機誤差為n13312n2e,n) , (i=1,2,3 = = i )y(x,e稱為相應(yīng)于點,n). (i=1,

21、2,3, 其估算值為= = iii 的殘差。2? = 殘差平方和：類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用 = n? )yy?x(x?)(ii 2?1?i?bQ(aa?y,?bxb)稱為殘差的估計量，其中，n>2（）作為 ， n? 2)xx(?i1i?22? 平方和，可以用衡量回歸方程的預(yù)報精度， 越小，預(yù)報精度 2?1R? 來刻畫回歸的效果。 用圖形來分析殘差特性：用 三、提出問題 1 隨機誤差產(chǎn)生的原因是什么？ 2如何建立模型擬合效果最好？ 課內(nèi)探究學(xué)習(xí) 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解相關(guān)系數(shù)和相關(guān)指數(shù)的關(guān)系. 2 理解隨機誤差產(chǎn)生的原因.3 3 會進(jìn)行簡單的殘差分析 二、學(xué)習(xí)重難點 2 3

22、R隨機誤差 學(xué)習(xí)重點 1 相關(guān)系數(shù)r 2相關(guān)指數(shù)學(xué)習(xí)難點 殘差分析的應(yīng)用 三、學(xué)習(xí)過程 1 相關(guān)系數(shù)r= 2 r的性質(zhì)： 3 隨機誤差的定義： 2= 4相關(guān)指數(shù)R 2的性質(zhì)： 5 R 6 殘差分析的步驟： 四、典型例題 例 隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，城鄉(xiāng)居民的審核水平不斷提高，為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計部門隨機調(diào)查10個家庭，得數(shù)據(jù)如下： 家庭編 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 ) 千元x收入(2.5 1.0 1.5 1.2 2.0 1.0 1.3 1.3 1.7 0.7 y支出千元(1) 判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關(guān)？ (2) 若二者線性相關(guān)，求回歸直線方程。 思路點撥：利用散點圖觀察收入x和支出y是否線性相關(guān)，若呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，可利用公式來求出回歸系數(shù)，然后獲得回歸直線方程。 解：作散點圖 觀察發(fā)現(xiàn)各個數(shù)據(jù)對應(yīng)的點都在一條直線附近，所以二者呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系。 1 (0.8?1.1?1.3?1.5?1.5?1.8?x?2.0?2.2?2.4?2.8)?1.74, (2) 101 (0.7?1.0?1.2?1.0?1.3?1.5?1.3?1.7?2.0y?2.5)?1.42, 10n? ynxxy?ii 1