六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專題練習(xí)6整除及數(shù)字整除特征全國(guó)通用含解析

1、 1 / 5 6、整除及數(shù)字整除【數(shù)字整除特征】 例1 4228是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99所得的商是_。 （上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。 設(shè)千位上和個(gè)位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為16+（a+b）。 要使原數(shù)能被9整除，必須使16+（a+b）是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。 又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，（b-a-8）是11的倍數(shù)不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11，可求得a=7，b=4

2、。 從而很容易求出商為427284÷99=4316。 例2某個(gè)七位數(shù)1993能同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是_。 （1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題） 講析：因?yàn)?、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上（2520-2200）=320時(shí)，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。 2 / 5 例3七位數(shù)17562的末位數(shù)字是_的時(shí)候，不管千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。 （上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 講析：設(shè)千位上和個(gè)位上的數(shù)字

3、分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。 要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍數(shù)。則有b-a=8，或者a-b=3。 當(dāng)b-a=8時(shí)，b可取9、8； 當(dāng)a-b=3時(shí)，b可取6、5、4、3、2、1、0。 所以，當(dāng)這個(gè)七位數(shù)的末位數(shù)字取7時(shí)，不管千位上數(shù)字是幾，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。 例4下面這個(gè)四十一位數(shù) 555999 （其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是_。 （1991年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題） 講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被

4、7整除。則18個(gè)5或18個(gè)9組成的數(shù)，也能被7整除。 要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需5599這個(gè)五位數(shù)是7的倍數(shù)。 容易得出，中間方格內(nèi)的數(shù)字是6。 【整除】 例1一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是_。 （天津市第一屆“我愛(ài)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題） 3 / 5 講析：所求這個(gè)數(shù)分別除以3和7時(shí)，余數(shù)相同。 3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個(gè)數(shù)是23。經(jīng)檢驗(yàn)，23除以5商4余3，23是本題的答案。 例2一個(gè)整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個(gè)整數(shù)是_。 （現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題） 講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但

5、仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把這個(gè)數(shù)加上4以后，它就能同時(shí)被3、5、7整除了。 因?yàn)?、5和7的最小公倍數(shù)是105。3600÷105=34余30，105-30=75， 所以，當(dāng)3600加上75時(shí)，就能被3、5和7整除了。即所求這個(gè)整數(shù)是3675。 例3在一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)字，就變成了一個(gè)三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有_個(gè)。 （中南地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 講析：因?yàn)椴迦胍粋€(gè)數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個(gè)位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0或5。 又插入的一個(gè)數(shù)字，必須小于個(gè)位數(shù)字，否則新三位

6、數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個(gè)位不能為0，而一定是5。 結(jié)合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個(gè)。 例4a是一個(gè)自然數(shù)，已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是_。（1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試試題）講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。則a的個(gè)位數(shù)字一定是9。 4 / 5 因?yàn)槿绻麄€(gè)位上不是9時(shí)，若a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。 只有當(dāng)a的個(gè)位上是9時(shí)，a+1之后，個(gè)位上滿十后向前一位進(jìn)一，a+1的個(gè)位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。 聯(lián)想到69，69+1=70

7、，經(jīng)適當(dāng)調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。 例5一個(gè)自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個(gè)商是a見(jiàn)圖5.43（1），又知這個(gè)自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個(gè)商是2a見(jiàn)圖5.43（2），求這個(gè)自然數(shù)。 （北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 講析：可從最后的商步步向前推算。 由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×（64a+57）+1=512a+457 由圖5.43（2）得，所求的自然數(shù)是578a+259 所以，512a+

8、457=578a+259。 解得a=3。 故，這個(gè)自然數(shù)是512×3+457=1993。 例6某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門(mén)牌號(hào)分別是1、2、3、12。他們的電話號(hào)碼依次是十二個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的電話號(hào)碼都能被這戶的門(mén)牌號(hào)整除。已知這些電話號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)是9的這一家的電話號(hào)碼也能被13整除。問(wèn)這一家的電話號(hào)碼是什么數(shù)？ （1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第二試試題） 講析：設(shè)這十二家住戶的電話號(hào)碼依次是a+1、a+2、a+3、，a+12。 5 / 5 因?yàn)槊繎舻碾娫捥?hào)碼都能被自己家的門(mén)牌號(hào)整除，所以數(shù)a能同時(shí)被1、2、3、12整除。 而1、2、3、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時(shí)被1、2、3、12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880 現(xiàn)在考慮第九戶人家的電話號(hào)碼能被13整除問(wèn)題。 因?yàn)?10880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。