2020年新課標(biāo)版高考理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用挖命題【考情探究】破考點【考點集訓(xùn)】考點一數(shù)列求和1.(2017 湖南郴州第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,6)在等差數(shù)列an考點內(nèi)容解讀5 年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.數(shù)列求和1掌握非等差、等比數(shù)列求 和的幾種常見方法.2能在具體的問題情境中2017 課標(biāo) I ,12,5 分?jǐn)?shù)列求和等比數(shù)列的前 n 項和公式的應(yīng)用2017 課標(biāo) II ,15,5 分裂項相消法求和等差數(shù)列基本量的計算識別數(shù)列的等差關(guān)系或等 比關(guān)系，抽象出數(shù)列的模 型,并能用有關(guān)知識解決相 應(yīng)的問題2015 課標(biāo) 1,17,12 分裂項相消法求和遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的通項公式2.數(shù)列的綜合應(yīng)用2016

2、 課標(biāo) II ,17,12 分?jǐn)?shù)列的綜合應(yīng)用取整函數(shù)分析解讀1.會用公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉(zhuǎn)化法求解不同類型數(shù)列的和.2.能綜合利用等差、等比數(shù)列的基本知識解決相關(guān)綜合問題.3.數(shù)列遞推關(guān)系、非等差、等比數(shù)列的求和是高考熱點，特別是錯位相減法和裂項相消法求和.分值約為 12 分，難度中等.中,a4=5,a7=11.設(shè) 0=(-1)nan,則數(shù)列bn的前 100 項之和 S100=()A.-200B.-100C.200D.100答案 D2. (2018 湖北東南省級示范高中聯(lián)考，15)已知 S 為an的前 n 項和，若 an(4+cosnn)=n(2-cos nn),貝

3、 US?8 等于_.答案 2 3323. (2018 江西吉安一中、九江一中等八所重點中學(xué) 4 月聯(lián)考,13)若an,bn滿足2anbn=1,an=n +3n+2,則bn的前 2 018 項和為_.答案考點二數(shù)列的綜合應(yīng)用1. (2018 福建漳州期末調(diào)研測試，5)等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn的首項均為 1,公差與公比均為 3,則 +=()A.64B.32C.38D.33答案 D2. (2017 陜西西安鐵一中第五次模擬，9)已知數(shù)列an滿足 an=log(n+1)(n+2)(n N*),我們把使乘積 a1a2as - - an為整數(shù)的數(shù)n 叫做 優(yōu)數(shù)”則在區(qū)間(1,2 004)內(nèi)的所有 優(yōu)數(shù)的

4、和為( )A.1 024B.2 003C.2 026D.2 048答案 C3. 已知 an=3n(n N*),記數(shù)列an的前 n 項和為 Tn,若對任意的 n N*,- k 紹 n-6 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍是 _ .答案 kA煉技法【方法集訓(xùn)】方法1錯位相減法求和1. (2018 福建閩侯第八中學(xué)期末,16)已知數(shù)列nan的前 n 項和為S-na 田+500,+2an=4S+3.（1）求an的通項公式；設(shè) bn=-,求數(shù)列bn的前 n 項和解析（1）由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+l+3.可彳得-+2（an+仁 an）=4an+i,即2（an+i+an）=-=（an

5、+i+an）（an+仁 an）.由于an0,所以an+i-an=2.又由 +2ai=4a 計 3,解得 ai=-i（舍去）或 ai=3.所以an是首項為 3,公差為 2 的等差 數(shù)列，通項公式為 an=2n+i.（6 分）思路分析 由 +2an=4Sn+3,得+2an+i=4Sn+i+3,兩式相減得出遞推關(guān)系，再求出 ai,利用等差數(shù)列的通項公式可得通項.（2）利用裂項相消法求 Tn考點二數(shù)列的綜合應(yīng)用1. （20i7 課標(biāo)I,i2,5 分）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案

6、：已知數(shù)列 i,i,2,i,2,4,i,2,4,8,i,2,4,8,i6,其中第一項是2,接下來的兩項是2,2i,再接下來的三項是2,2i,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:Ni且該數(shù)列的前 N 項和為 2 的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是（）A.440B.330C.220D.110答案 A2. （2016 課標(biāo)n,17,12 分）Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和，且 ai=1,Sy=28.記 bn=lg an,其中x表示不超過 x 的最大整數(shù)，如0.9=0,lg99=1.（1）求 bi,bii,bii；求數(shù)列bn的前 1 000 項和.解析（1）設(shè)an的公差為 d,據(jù)已知有 7+2

7、1d=28,（2）由 an=2n+i 可知 bn=- =-=-.設(shè)數(shù)列bn的前 n 項和為 Tn,則Tn= bi+b2+bn=-+.（i2 分）解得 d=1.所以an的通項公式為 an=n.bi=lg 1=0,bii=lg 11=1,bii=lg 101=2.（6 分）所以數(shù)列bn的前 1 000 項和為 1X90+2X900+3X1=1 893.(12 分)思路分析(1)先求公差，從而得通項 an,再根據(jù)已知條件求b1,bn,b101.(2)分析出bn中項的規(guī)律,進(jìn)而求出數(shù)列bn的前 1 000 項和B組自主命題省(區(qū)、市)卷題組考點一數(shù)列求和1.(2018 天津,18,13 分)設(shè)an是等

8、比數(shù)列，公比大于 0,其前 n 項和為 S(n N*),bn是等差數(shù)列.已知 a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通項公式；設(shè)數(shù)列Sn的前 n 項和為 Tn(n N*).(1) 求 Tn；(ii)證明 - =- 2(n N ).2解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q.由 a1=1,a3=a2+2,可得 q -q-2=0.因為 q0,可得 q=2,故 an=2n-1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=tk+2b6,可得 3b1+13d=16, 從而 b1=1,d=1,故 bn=n.所以，數(shù)列an的通項

9、公式為 an=2n-1,數(shù)列bn的通項公式為 bn= n.(2) (i)由(1),有 S=2n-1,故 Tn=- =- -n=2n+1-n-2.(ii)證明：因為- =二-(2)因為bn=(9 分)=-=-,所以,-=-+ + - =-2.2.(2016 山東,18,12 分)已知數(shù)列an的前 n 項和 S=3n2+8n,bn是等差數(shù)列，且 an=bn+bn+i.(1)求數(shù)列bn的通項公式令 Cn=- ,求數(shù)列Cn的前 n 項和 Tn.解析由題意知，當(dāng) n 呈 時,an=9-Sn-1=6n+5.當(dāng) n=1 時,a1=S1=11,所以 an=6n+5.設(shè)數(shù)列bn的公差為 d.由即可解得 b1=4

10、,d=3.所以 bn=3n+1.(2) 由 (1) 知Cn=- =3(n+1) 2n+1.又Tn=C1+C2+Cn,得Tn=3X2X 22+3X 23+(n+1)X2n+1,2Tn=3X2X23+3X2+(n+1)X2n+j,兩式作差,得-Tn=3X2X 22+23+24+2n+1-(n+1)X2n+j=3X-=-3n 2n+2. 所 以n+2Tn=3n 2 .考點二數(shù)列的綜合應(yīng)用1.(2015 福建,8,5 分)若 a,b 是函數(shù) f(x)=x -px+q(p0,q0)的兩個不同的零點，且 a,b,-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 p+q 的值等于()A.6B

11、.7C.8D.9答案 D2.(2018 浙江,20,15 分)已知等比數(shù)列an的公比 q1,且 as+a4+a5=28,a4+2 是 as,a5的等差中2項.數(shù)列bn滿足 b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前 n 項和為 2n +n.(1)求 q 的值；求數(shù)列bn的通項公式.解析(1)由 a4+2 是 a3,a5的等差中項得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8.由 a3+a5=20 得 8- =20,解得 q=2 或 因為 q1,所以 q=2.(2)設(shè) Cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列Cn的前 n 項和為 S.解得 Cn=4n-1.由(1)可

12、知 an=2 ,所以 bn+i-bn=(4n-1) ,故 bn-bn-i=(4n-5)- ,n疑,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ - +(b3-b2) + (b2-b1)=(4 n-5) -+(4 n-9) -+73.設(shè) Tn=3+7+11 - +(4n-5)- ,n支，-Tn=3 -+7 +(4n-9) -+(4n-5) -, 所 以_耳=3+4 丄+4 - +4 -(4n-5)-,因此 Tn=14-(4n+3) - ,n絲，又 b1=1,所以 bn=15-(4n+3)-.C組教師專用題組考點一數(shù)列求和1.(2017 天津,18,13 分)已知an為等差數(shù)列，前 n

13、 項和為 Sn(n N*),bn是首項為 2 的等比數(shù)列，且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,Sn=11b4.(1)求an和bn的通項公式；求數(shù)列a2nb2n-1的前 n 項和(n N ).解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,等比數(shù)列bn的公比為 q.由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而 6=2,所以 q2+q-6=0,解得 q=2 或 q=-3,又因為 q0,所以 q=2.所以,bn=2n.由 b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由 Su=11b4,可得 a1+5d=16,聯(lián)立，解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2.所以，數(shù)列an的通項

14、公式為 an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為 bn=2n.設(shè)數(shù)列a2nb2n-1的前 n 項和為 Tn,由 a2n=6n-2,b2n-1=2x4n-1,有 a2nb2n-1=(3n- 1)X4n,由Cn=故 Tn=2x4+5x42+8X43+-+(3n- 1)X4n,4Tn=2X42+5X43+8X44+(3n- 4)X4n+(3n- 1)X4n+1,上述兩式相減，得-3Tn=2X4+3X42+3X43+-+3X4n-(3n- 1)X4n+1=-4-(3n- 1)X4n+1=-(3n- 2)X4n+1-8.得Tn=X4n+1+ _.所以，數(shù)列a2nb2n-1的前 n 項和為X4n+1+-.方法

15、總結(jié)（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列中有五個量a1,n,d（或 q）,an,Sn, 般可以 知三求二”通過列方程（組）求關(guān)鍵量 a1和 d（或 q）,問題可迎刃而解.數(shù)列an是公差為 d 的等差數(shù)列，bn是公比 q 為的等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前 n 項和適 用錯位相減法.2.（2015 湖北,18,12 分）設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,前 n 項和為 S,等比數(shù)列bn的公比為 q. 已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.（1）求數(shù)列an,bn的通項公式；當(dāng) d1 時，記 Cn=-,求數(shù)列cn的前 n 項和 Tn.解析（1）由題意有解得或 _故_或n 1(2)由 d1,知 an=2n-

16、1,bn=2-,故 Cn=于是 耳=1+-+，-Tn=-+ + .3.(2015 天津，18,13 分)已知數(shù)列 an 滿足 an+2=qan(q 為實數(shù)，且 q書,n N*,ai=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列.(1)求 q 的值和an的通項公式；設(shè) bn=- ,n N*,求數(shù)列bn的前 n 項和.解析(1) 由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1). 又因為 q 為，故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2.當(dāng) n=2k-1(k N )時,an=a2k-

17、1=21=;當(dāng) n=2k(k N )時,an=a2k=2k=.所以,an的通項公式為 an=為奇數(shù)為偶數(shù)(2) 由(1) 得bn=.設(shè) bn 的前 n 項和為Sn,則s=1x+2X+3X_+(n- 1)X+nx，$=1X_+2x_+3x_ +(n- 1)x+ nx_,上述兩式相減 ,得-Sn=1+-+ +-=-=2-,整理得,Sn=4-.所以，數(shù)列bn的前 n 項和為 4-一,n N*.4.(2014 江西,17,12 分)已知首項都是 1 的兩個數(shù)列an,bn(bn電n N*)滿足 anbn+仁an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令 Cn=,求數(shù)列Cn的通項公式；若 bn=3n-1,求數(shù)

18、列an的前 n 項和 Sn.*解析(1)因為 anbn+1-an+lbn+2bn+1bn= 0,bn0(n N ),-可得-齊=2+-+ +=3 -,故 Tn=6-所以-=2,即 Cn+1-cn=2.所以數(shù)列cn是以 1 為首項,2 為公差的等差數(shù)列，故 6=2n-1.(2)由(1)及bn=3”1知an=cnbn=(2n-1)3n1,于是數(shù)列an的前 n 項和S=1 30+3 31+5 32+(2 n-1) 3n-1,3Sn=1 31+3 32+(2 n-3) 3n-1+(2 n-1) 3n,相 減 得-2Sn=1+2 (31+32+-+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所

19、以 S=(n-1)3n+1.5.(2014 山東,19,12 分)已知等差數(shù)列an的公差為 2,前 n 項和為 S,且 S,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；n 1令 bn=(-1)-,求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.解析(1)因為 S1=a1,S2=2a1 x2=2ai+2,S=4a1+x2=4a計12,所以由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得 a1=1,所以 an=2n-1.n-1n-1(2)bn=(-1)=(-1)-當(dāng) n 為偶數(shù)時，Tn=一 - 一 一 + +=1-當(dāng) n 為奇數(shù)時,為奇數(shù)一-所以 Tn=或 -為偶數(shù)考點二數(shù)列的綜合應(yīng)用1.（2018

20、江蘇,14,5 分）已知集合 A=x|x=2n-1,n N*,B=x|x=2n,n N*.將 AUB 的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an.記 S 為數(shù)列an的前 n 項和，則使得 S12an+1成立的=(-1)n-1+=1+n 的最小值為_ .答案 272.(2018 江蘇,20,16 分)設(shè)an是首項為 ai,公差為 d 的等差數(shù)列，bn是首項為 bi,公比為 q 的等比數(shù)列.(1) 設(shè) ai=0,bi=1,q=2,若|an-bn|住i對 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范圍;(2) 若 ai=bi0,m N ,q (i,_,證明:存在 d R,使得 |an-bn| 的對

21、n=2,3,m+i 均成立,并求 d 的取值范圍(用 bi,m,q 表示).n i解析 (i)由條件知 an=(n-i)d,bn=2-.因為 |an-bn| 4)i對 n=i,2,3,4 均成立,即 il,i 詣 W,3 2d5,7 Wd 電，得-它務(wù)因此,d 的取值范圍為- -.n i(2)由條件知:an=bi+(n-i)d,bn=biq-.若存在 d R,使得|an-bn|住i(n=2,3，,m+i)均成立,即|bi+(n-i)d-biqn-i| bi(n=2,3,m+i).即當(dāng) n=2,3,m+i 時,d 滿足bi冬一 bi.因為 q (i,_,所以 i0,對 n=2,3,m+i 均成立

22、.因此,取 d=0 時,|an-bn|電i對 n=2,3,m+i 均成立.下面討論數(shù)列 -的最大值和數(shù)列的最小值(n=2,3，,m+i).當(dāng) 2 竊舸時，一=-=一,當(dāng) iqw_時,有 qn0.故數(shù)列的最大值為.設(shè) f(x)=2x(1-x),當(dāng) x0 時，f (x)=(In2-1-xln 2)2x0.所以 f(x)單調(diào)遞減，從而 f(x)f(0)=1.當(dāng)2 竊奇時,=_-一=f - -=-.所以 Tn -x - x - Xx .綜上可得對任意的n N*,均有 TnA.4. (2015 陜西,21,12 分)設(shè) fn(x)是等比數(shù)列 1,x,x2,xn的各項和，其中 x0,n N ,n A(1)證明：函數(shù) Fn(X)=fn(X)-2 在一 內(nèi)有且僅有一個零點(記為 Xn