習(xí)題與復(fù)習(xí)題詳解線性空間高等代數(shù)

1、習(xí)題 5. 11 判斷全體n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間答 是因?yàn)槭峭ǔＲ饬x的矩陣加法與數(shù)乘, 所以只需檢驗(yàn)集合對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算的封閉性 .由 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)知，n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣加n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣仍然是n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，數(shù)乘n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣仍然是n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 所以集合對(duì)矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉, 構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.2全體正實(shí)數(shù)R+, 其加法與數(shù)乘定義為a b abkoa ak其中 a, b R ,k R判斷R+按上面定義的加法與數(shù)乘是否成實(shí)數(shù)域上的線性空間答 是 . 設(shè) , R.因?yàn)?a, b R a b ab R ,R,a R oa a R ,

2、所以 R 對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律(1) a b ab ba b a ;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c) ;(3) R 中存在零元素1, a R , 有 a 1 a 1 a ;(4) 對(duì) R 中任一元素a ，存在負(fù)元素a 1 Rn , 使 a a 1 aa 1 1 ;1(5) 1oa a a ;(6)o oa oa a aoa ;oa a a a a a oa oa；所以R+對(duì)定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.3 .全體實(shí)n階矩陣，其加法定義為按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間 答否.A

3、 B與B A一定相等.全體實(shí)n階矩陣按定也就是說(shuō)集合對(duì)加法不故定義的加法不滿足加法的交換律即運(yùn)算規(guī)則（1 ）義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間4 .在P22中，W A/ A 0,A P2 2 ,判斷W是否是P2 2的子空間.答否.1211 23例如 和的行列式都為零，但的行列式不為零，1 23 34 5封閉.習(xí)題1 .討論P(yáng)2 2中的線性相關(guān)性.ax1 x2 x3 x4 0a 1 1 1即x1ax2 x3 x4 0 .由系數(shù)行列式1 a 1 1(ax1 x2 ax3 " 01 1 a 1x1 x2 x3 ax4 0111a解 設(shè) x1A x2A2 X3A3 x4A4 O ,33)

4、(a 1)知，a 3且a 1時(shí)，方程組只有零解，這組向量線性無(wú)關(guān);2 .在R4中，求向量在基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo).其中X4 41 000M11234M1210M01111M00301M01101M1初等行變換0100010M00M10001M0故向量在基 12, 3, 4下的坐標(biāo)為 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).解設(shè)x1 1x2 2x3 3x4 4x1 0x2 x3 x42則有x1x2 x3 0x4x1 x2 0x3 0x4 4x1 0x2 0x3 0x471011M2110M310 0M4初等行變換1000M71000M70100M110010M210001M307 1 11

5、 2 21 3 30 4 . 故向量在基 1, 2 , 3, 4下的坐標(biāo)為 （ -711， -21 ， 30)4已知R3 的兩組基1111= 1 ，2= 0 ，3= 01-111231= 2 ，2= 3 ，3= 4143（1）求由基（I）到基（n）的過(guò)渡矩陣;12） 已知向量在基 1, 2 , 3下的坐標(biāo)為0 ,求 在基 1, 2, 3下的坐標(biāo)；-113） 已知向量在基 1, 2, 3下的坐標(biāo)為-1 ,求 在基 1, 2, 3下的坐標(biāo);24） 求在兩組基下坐標(biāo)互為相反數(shù)的向量解（1）設(shè)C是由基（I）到基（n）的過(guò)渡矩陣 ,由1, 2, 31, 2, 31即2123434311110110 C,

6、1知基到基（n）的過(guò)渡矩陣為（2）首先計(jì)算得C1201232132于是在基1, 2,下的坐標(biāo)為C32012（3）在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為C設(shè)在基3下的坐標(biāo)為y1y2y3,據(jù)題意有y1y2y3y1y2y3V10解此方程組可得y2 =k 4 , k為任意常數(shù).生 34k123k 3 k 07,k為任意常數(shù).5.已知P X 4的兩組基f1（x）231 X X X , f2（X）2X , f3（X） 1 X,f4（x）（n）：g1（x）23X X X , g2（X） 1X3, g3（X）1 XX3, g4（X）1(1)求由基(i)到基(n)的過(guò)渡矩陣;(2)求在兩組基下有相同坐標(biāo)的多項(xiàng)式 f (x

7、).解(1 ) 設(shè)C是由基(I)到基(n)的過(guò)渡矩陣，由 g1,g2,g3,g4f1,f2,f3,f4 c有(1,x,x2,x3)01111011110111101231(1,x, x , x )110110110010 C .0010 c01101111110123(2)設(shè)多項(xiàng)式f (x)在基下的坐標(biāo)為T(mén) (x1,x2,x3,x4).x1據(jù)題意有C x2x3xx1x2x3x4(CE)xx2x3x*)0001111111010122所以方程組(*)只有零解，則f(x)在基(下的坐標(biāo)為(0,0,0,0) T，所以f(x)習(xí)題證明線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rx3同構(gòu).證明 設(shè)線性方程組為

8、 AX= 0,對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換.Q R(A) 2線性方程組的解空間的維數(shù)是 5- R(A) 3 .實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rx3的維數(shù)也是3,所以此線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù) 多項(xiàng)式空間Rx3同構(gòu).習(xí)題1 .求向量 1, 1,2,3的長(zhǎng)度.解. 12 ( 1)2 22 32,15 .2 .求向量 1, 1,0,1與向量 2,0,1,3之間的距離.解 d( , ) |(1 2)2 ( 1 0)2 (0 1)2 (1 3)27.3 .求下列向量之間的夾角(1) 1,043,1,21 1(2) 1,2,2,3 ,3,151解(1) Q(3) 1,1,1,2 ,3,1, 1,01 ( 1) 0 2 4

9、 1 3 ( 1) 0, a,1 3 2 1 2 5 3 1 18,18arccos6 18(3) Q1 3 1 1 1 ( 1) 2 0 3,| |1-1_1_47 ,| |四一11一0 .11 ,arccos77.3.設(shè)，為n維歐氏空間中的向量，證明：d( , ) d( , ) d(,).證明 因?yàn)镮 I|2 (,)所以 I (| I|)2,從而 d( , ) d( , ) d(,).習(xí)題1.在R4中，求一個(gè)單位向量使它與向量組11,1, 1, 1 ,21, 1, 1,1 ,31, 1,1, 1 正交.解設(shè)向量(Xi ,X2, X3,X4)與向量 1, 2,3正交，則有即X1X1X2X2X

10、2X3X3X3X4X4X*)齊次線性方程組(*)的一個(gè)解為X2x4 1.(1,1,1,1),將向量單位化所得向量=(-，-2 21 1 一,)即為所求.2 22.將R3的一組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.(1 )正交化，取(2 )將1 , 2,3單位化(1,( 1,2)1)1112 111111111323131*, 2, 3為R的一組基標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.求齊次線性方程組的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.所以只需求出一分析 因齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基,個(gè)基礎(chǔ)解系再將其標(biāo)準(zhǔn)正交化即可解對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系1110 ,001

11、01 ,0010041由施密特正交化方法，取1/21/31/21/3111/3n1110,221200將1, 2, 3單位化得單位正交向量組因?yàn)辇R次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以1*, ；, ；是解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.設(shè)1, 2, n是n維實(shí)列向量空間Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, A是n階正交矩陣,證明：A 1, A 2，, A n也是Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明 因?yàn)?, 2, , 0是門(mén)維實(shí)列向量空間Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以T 0 i j(i, j) i j d . (i,j 1,2,L ,n).1 i j又因?yàn)锳是n階正交矩陣,所以ATA E .則故A

12、1,A 2, ,A n也是Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.5.設(shè)1, 2, 3是3維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明由題知所以1 , 2, 3是單位正交向量組,構(gòu)成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.習(xí)題五(A)一、填空題1 .當(dāng) k 滿足 時(shí)，11,2,1 , 22,3,k , 13,k,3 為R3的一組基.解三個(gè)三維向量為R3的一組基的充要條件是| 1, 2, 3 0,即k 2M k 6.2 .由向量 1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為.解 向量 1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為向量組 的秩，故答案為1.3 .R3中的向量3,7,1在基11,3,5, 26,3,2 , 33,1,0下的坐

13、標(biāo)為 .解根據(jù)定義，求解方程組就可得答案.設(shè)所求坐標(biāo)為（X1,X2,X3）,據(jù)題意有X 1X22X33 .為了便于計(jì)算，取下列增廣矩陣進(jìn)行運(yùn)算M 154M 82 ,M 33361M3100133M7初等行變換010025M1001所以(X1,X2,X3)= (33,-82,154).1,0,1 , 32, 5, 1的過(guò)渡矩陣為4 .R3中的基 1, 2, 3到基 12,1,3 , 221解因?yàn)?1, 2, 3)( 1, 2, 3)103122125 ,所以過(guò)渡矩陣為10513115 .正交矩陣A的行列式為 解AT A |E|A2 1 A 1 .6 .已知5元線性方程組 AX= 0的系數(shù)矩陣的秩

14、為3,則該方程組的解空間的維數(shù)為 .解 5元線性方程組AX = 0的解集合的極大無(wú)關(guān)組（基礎(chǔ)解系）含 5-3 =2個(gè)向量，故解空間的維數(shù)為2.7 .已知 12,1,1,1, 22,1,a,a , 33,2,1,a, 44,3,2,1 不是 R4 的基且 a 1,則a 滿 足 解 四個(gè)四維向量不是R4的一組基的充要條件是| 1, 2, 3, 4 0,則a 3或1.故答案為a 2二、單項(xiàng)選擇題1.下列向量集合按向量的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間的是().(A)Vi，,0,0,xn x1,x,(B)X1 x2xn 0,為(0V3x1,x2,xnx1 x2xn 1, xi(D)V4X1,0,L

15、,0,0 X1R解（C ）選項(xiàng)的集合對(duì)向量的加法不封閉故選（C）.2.在P33中，由A生成的子空間的維數(shù)為（3(A)(B)(C)(D) 41向量組A生成的子空間的維數(shù)是向量組A的秩，故選（A）.選項(xiàng)中（,23 3,3 31)=( 1, 2,又因,3線性無(wú)關(guān)且可逆，所以12 2,23 3,3 31線性無(wú)關(guān).故選（B）.2)(23)0,所以（C）選項(xiàng)中向量組線性相關(guān)，故選（C）.5. n元齊次線性方程組AX= 0的系數(shù)矩陣的秩為r,該方程組的解空間的維數(shù)為s,貝M ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r選 ( B)6. 已知 A, B 為同階正交矩陣,

16、則下列 () 是正交矩陣.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA ( k 為數(shù))解 A, B 為同階正交矩陣AB(AB)T ABBT AT AAT E 故選(C) .7. 線性空間中，兩組基之間的過(guò)渡矩陣() .是正交矩(A) 一定不可逆(B) 一定可逆(C) 不一定可逆(D)陣選 ( B)(B)1已知R4 的兩組基(I ) 1， 2，3，4(U) 1 12 34， 2 23 4， 334， 44(1 )求由基(n)到(i)的過(guò)渡矩陣；( 2 ) 求在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量.解(i)設(shè)C是由基(I)到基(n)的過(guò)渡矩陣，已知1000()()1100( 1 , 2, 3,

17、4) ( 1 , 2, 3, 4),1234123411101111所以由基(n)到基(I)的過(guò)渡矩陣為100011100C.01100011（2）設(shè)在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量為，又設(shè) 在基（I）和基（n）下的坐標(biāo)均為（Xi,X2,X3,X4）,由坐標(biāo)變換公式可得XiXiX2X2CX3X3X4X4Xi即(E C) X20X3X4(*)齊次線性方程（*）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(0,0,0,1),通解為 X (0,0,0, k) (k R).故在基（i）和基（n）下有相同坐標(biāo)的全體向量為010 2 0 3 k 4 k 4 (k R).解(1 ) 由題有0,所以1，2，3線性無(wú)關(guān)001100111222故

18、1，2，3是3個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，構(gòu)成 R3的基.(2 ) 因?yàn)? 10所以從基1, 2, 3到基1, 2, 3的過(guò)渡矩陣為-1 -1 20 1011， 2， 3.1, 2, 3)-1 -1 22-52所以向量在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為5 .1解（1）因?yàn)橛苫?, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的過(guò)渡矢I陣為C =2 10 0110 00 0 3 50 0 12所以(1,2， 3,1， 2， 3， 4)C12 0 02 10 00 0 120 0 2 11-100-12000 02-50 00010 0 37所以13000037(2 ) Q111232 4( 1, 2 , 3, 4)/12111( 1, 2 , 3, 4)C1201(1, 2 , 3,