初中幾何反證法專題(75[1]5K).

1、初中幾何反證法專題學(xué)習(xí)要求rr9 了解反證法的意義，懂得什么是反證法。理解反證法的基本思路，并掌握反證法的一般證題步驟。知識(shí)講解對(duì)于一個(gè)幾何命題，當(dāng)用直接證法比較困難時(shí)，則可采用間接證法，反證法就是一種間接證法，它不是直接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命 題結(jié)論的反面不能成立。從而推出命題的結(jié)論必然成立，它給我們提供了一 種可供選擇的新的證題途徑，掌握這種方法，對(duì)于提高推理論證的能力、探 索新知識(shí)的能力都是非常必要的。下面我們對(duì)反證法作一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。1. 反證法的概念：不直接從題設(shè)推出結(jié)論，而是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而 證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。2反證法的基本思路：

2、首先假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，然后再在這個(gè)假定條件下進(jìn)行一系列的正確邏輯推理，直至得出一個(gè)矛盾的結(jié)論來(lái)，并據(jù)此否定原先的假設(shè)，從而確認(rèn)所要證明的結(jié)論成立。這里所說(shuō)的矛盾是指與題目中所給的已知條件 矛盾，或是與數(shù)學(xué)中已知定理、公理和定義相矛盾，還可以是與日常生活中 的事實(shí)相矛盾，甚至還可以是從兩個(gè)不同角度進(jìn)行推理所得出的結(jié)論之間相 互矛盾(即自相矛盾)。3反證法的一般步驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2) 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出矛盾；(3) 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。簡(jiǎn)而言之就是 反設(shè)-歸謬-結(jié)論”三步曲。例1.已知：AB、CD是O O內(nèi)非直徑的兩弦(如圖 1)

3、,求證AB與CD不能互 相平分。(1)證明：假設(shè) AB與CD互相平分于點(diǎn) M、則由已知條件 AB、CD均非O O直徑, 可判定 M不是圓心 0,連結(jié)0A、OB、OM。 0A = 0B , M 是 AB 中點(diǎn) 0M丄AB (等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)同理可得：0M丄CD，從而過(guò)點(diǎn) M有兩條直線 AB、CD都垂直于 0M這與已知的疋理相矛盾。故AB與CD不能互相平分。例2.已知：在四邊形 ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn),且 MN =2 (AD + BC)。 求證：AD / BCC8證明：假設(shè) AD*BC，連結(jié)ABD，并設(shè)P是BD的中點(diǎn)，再連結(jié) MP、PN。在 ABD中/ BM =

4、 MA , BP = PD丄 MP= 2 AD，同理可證 PN= 2 BC丄從而 MP + PN=2 (AD + BC)這時(shí)，BD的中點(diǎn)不在MN上 若不然，則由 MN / AD , MN / BC,得AD / BC與假設(shè)AD* BC矛盾,于是M、P、N三點(diǎn)不共線。從而MP + PN> MN I.(AD + BC)由、得 2 (AD + BC )> MN，這與已知條件 MN =相矛盾，故假設(shè)AD* BC不成立，所以AD / BC。課堂練習(xí)1.求證:三角形中至少有一個(gè)角不大于60 °求證: 已知：設(shè) 求證：m2.一直線的垂線與斜線必相交。m, n分別為直線I的垂線和斜線(如圖

5、)，垂足為A，斜足為B 和n必相交。AD與BE不能被點(diǎn)H互相平分。CD3. 在 ABC中，AD丄BC于D, BE丄AC于E, AD與BE相交于H , 求證：求證：直線與圓最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。求證：等腰三角形的底角必為銳角。已知： ABC 中，AB = AC求證：/ B、/ C必為銳角。參考答案：/ B、/ C都大于60°O1證明：假設(shè) ABC中的/ A、 則/ A + / B + / C>3X60° = 180 這與三角形內(nèi)角和定義矛盾，所以假設(shè)不能成立。故三角形中至少有一個(gè)角不大于60°。2. 證明：假設(shè)m和n不相交則m / n/ m 丄 I n 丄 I這與

6、n是I的斜線相矛盾，所以假設(shè)不能成立。 故m和n必相交。H互相平分，則ABDE是平行四邊形。BCC點(diǎn)矛盾，3證明：假設(shè)AD、BE被交點(diǎn) AE / BD，即 AC / 這與AC、BC相交于 故假設(shè)AD、BE被交點(diǎn)H平分不能成立。所以AD與BE不能被點(diǎn)H互相平分。4. 證明：假設(shè)一直線 I與O O有三個(gè)不同的交點(diǎn) A、B、C,M、N分別是弦AB、BC的中點(diǎn)。 OA = OB = OC在等腰 OAB和 OBC中 OM 丄 AB , ON 丄 BC從而過(guò)O點(diǎn)有兩條直線都垂直于 I，這是不可能的，故假設(shè)不能成立。 因此直線與圓最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。5證明：假設(shè)/ B、/ C不是銳角，則可能有兩種情況：(1)

7、/ B=/ C= 90°/ B=/ C> 90°若/ B =/ C = 90° 則/ A + / B + / C> 180° 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。若/ B =/ C>90° 貝U /A + / B + / C> 180° 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。所以假設(shè)不能成立。故/ B、/ C必為銳角。本講小結(jié)對(duì)于一個(gè)幾何命題，當(dāng)用直接法證比較困難或甚至不能證明時(shí)，則可采用簡(jiǎn)接證法，反證法就是一種最常見(jiàn)的間接證明方法、掌握并 運(yùn)用好這種方法，對(duì)思維能力的提高大有裨益。所謂反證法，就是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，從結(jié)論的反

8、面入手,進(jìn)行正確的邏輯推理，導(dǎo)致結(jié)果與已知學(xué)過(guò)的公理、定理，從而得 出結(jié)論的反面不成立，于是原結(jié)論成立。反證法證題的一般步驟是:(1) 反設(shè)：將結(jié)論的反面作為假設(shè)；(2) 歸謬：由反設(shè)”出發(fā)，利用已學(xué)過(guò)的公理、定理，推出與已知 矛盾的結(jié)果；(3) 結(jié)論：由推出的矛盾判斷反設(shè)”錯(cuò)誤，從而肯定命題的結(jié)論正確。運(yùn)用反證法”的關(guān)鍵:反證法的主要手段是從求證的結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果, 因此，如何導(dǎo)出矛盾，就成了使用反證法的關(guān)鍵。反證法”宜用于證明否定性命題、唯一性命題、至少”至多”P(pán)BV PC。APB >/ APC,求證:C60°命題和某些逆命題等，一般地說(shuō)正難則反”凡是直接法很

9、難證明的命題都可考慮用反證法。課后作業(yè)1. 求證：在平面上，不存在這樣的凸四邊形ABCD，使 ABC、 BCD、 CDA、 DAB都是銳角三角形。2. 在 ABC中，AB = AC , P是內(nèi)部一點(diǎn)且/C3. 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或者等于4. 求證：在 ABC的BC邊上任取一點(diǎn) D、AC邊上任意取一點(diǎn) E,連結(jié) AD、 BE,則AD和BE必定不能互相平分。c5. 已知 ABC為不等邊三角形， AD丄BC于D點(diǎn)，求證：D點(diǎn)到AB、AC邊的 距離必不相等。D參考答案:1證明：假設(shè)存在凸四邊形 ABCD使ABC BCD CDAADAB都是銳角三角形。則/ A+/ B+/ C+/

10、D< 360 °。這與四邊形ABCD中/ A+/ B+/ C+/ D= 360° 矛盾。故假設(shè)不能成立,所以原命題成立。2.證明：假設(shè)P聯(lián)PC,即PB>PC或 PB=PC(1)當(dāng) PB>PC時(shí)（如圖）在PBC中，可得< PCB>/ PBC A吐 AC/ ABC=/ ACB 從而/ ABP>/ ACP 在 BAP與 CAP 中 A吐 AC, A吐 AP, PB>PC / BAP>/ CAP 由和三角形內(nèi)角和定理，可得/ APBc/APC這與已知/ APB>/APC相矛盾。C(2)當(dāng)P吐PC時(shí)，在APB與APC中 A吐 AP

11、, B吐 CP AB= AC ABPAACP / APA/APC這與已知/ APB>/APC相矛盾,由(2)可知假設(shè)P舒PC不成立。故 PB>PGC3證明：不妨設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角為/ A、/ B/C假設(shè)/ A、/ B/C中設(shè)有一個(gè)大于或等于60°,則它們都小于60 °。即/AV 60°、/ BV 60°、/ CV 60° / A+/ B+/ CV 180°這與三角形內(nèi)角和定理矛盾,這說(shuō)明假設(shè)不成立。故/ A、/ B/C中至少有一個(gè)大于或等于 60°。4.證明：假設(shè)AD和BE互相平分于P點(diǎn)，則ABDE應(yīng)是一個(gè)平行四邊形。所以 AE/ EB 即 AC/ BC這與AC與 BC相交于C點(diǎn)矛