2013年高考湖北卷(文)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（文史類）、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的1 已知全集 U =1,2,3,4,5,集合 A =1,2 , B 二2,3,4,則(U A =A 2B. 3,4C.1,4,5D. 234,5n2 .已知 0：4則雙曲線 G :2x2y=1 與C22 2yx=1 的sincos2rcosJsinJA 實軸長相等B .虛軸長相等C.離心率相等D. 焦距相等3 在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p 是“甲降落在指定范圍”，q 是“乙降落在指定范圍”，則命題“至

2、少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為A（一卩）V（一 q） BpV（-q）C.（-p）A（-q）DpVq4 四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y 之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：y 與 x 負(fù)相關(guān)且 y =2.347x6.423 ;y 與 x 負(fù)相關(guān)且 y =-3.476x 5.648 ;y 與 x 正相關(guān)且 y =5.437x 8.493;y 與 x 正相關(guān)且 y = ,.326x 4.578 .其中一定不.正確的結(jié)論的序號是A .B .C.D .5小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖

3、象是6.將函數(shù) y 二 3cosx sinx（x，R）的圖象向左平移 m （m 0）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y 軸對稱，則 m 的最小值是A .上B. nC. nD .5n126367.已知點 A(-1,1)、B(1,2)、C(2 一 1)、D(3,4),則向量 AB 在 CD 方向上的投影為A .3邁B .3厲廠3邁C .D .3.1522228 . x 為實數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù), 則函數(shù)f(x) =x_x在R上為A .奇函數(shù)B.偶函數(shù)C .增函數(shù)D .周期函數(shù)9.某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排 900 名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36 人和60 人，租金分別

4、為 1600 元/輛和 2400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 車 7輛.則租金最少為A . 31200 元B. 36000 元C. 36800 元10.已知函數(shù) f(x) =x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a 的取值范圍是 1A . (-：，0)B. (0, )C . (0, 1)D . (0,：)2二、填空題：本大題共7 小題，每小題 5 分，共 35 分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號.的位置上答錯位置,書寫不清，模棱兩可均不得分11.i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù) 乙，Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若乙=2-3i，則 Z2二_12 .某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10 次，命中環(huán)數(shù)如下：

5、7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4則(I)平均命中環(huán)數(shù)為 _ ；(n)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 _ .13.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序若輸入 m 的值為 2,則輸出的結(jié)果i二_.14.已知圓 O : x2 y2=5，直線I: xcosysin -1 ( 0 ： :n).設(shè)圓 O 上到直線l的距離等于 1 的點221 輛，且B型車不多于A型D. 38400 元的個數(shù)為 k，則k =.515在區(qū)間241 上隨機地取一個數(shù) x,若 x 滿足|xm 的概率為-，則 m 二.616我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口

6、直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸.(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)17.在平面直角坐標(biāo)系中，若點P(x,y)的坐標(biāo) x ,y均為整數(shù)，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為 N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中厶ABC是格點三角形，對應(yīng)的S=1,N =0,L=4.(I)圖中格點四邊形 DEFG 對應(yīng)的 S, N, L 分別是_ ;(n)已知格點多邊形的面積可表示為S =aN亠bL亠c，其中 a, b, c 為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N =71

7、,L =18,則 S =(用數(shù)值作答).18.(本小題滿分 12 分)在厶ABC中，角A,B, C 對應(yīng)的邊分別是 a , b , c.已知 cos2A-3cos(B C1.(I)求角 A 的大??；4)若厶 ABC 的面積 S=5】3 , b=5，求 sin Bs inC 的值.19.(本小題滿分 13 分)已知 Sn是等比數(shù)列an的前 n 項和，S4, S2, S3成等差數(shù)列，且 a2 a3a-18.(I)求數(shù)列an的通項公式；(H)是否存在正整數(shù) n,使得 Sn-2013 ?若存在，求出符合條件的所有n 的集合；若不存在，說明理由.20.(本小題滿分 13 分)如圖，某地質(zhì)隊自水平地面 A

8、, B, C 三處垂直向地下鉆探，自 A 點向下鉆到 A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A處后下面已無礦，從而得到在 A 處正下方的礦層厚度為 AA2=d1.同樣可得在 B, C 處正下方的礦層厚 度分別為B1B2=d2, C1C2=d3，且 d1 :d2 3.過AB, AC 的中點M, N 且與直線 AA?平行的平面截 多面體 A1BC1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為 S 中 .的個數(shù)為 k，則k =.(I)證明：中截面DEFG是梯形；(H)在 ABC 中，記BC=a , BC 邊上的高為 h，面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體 ABI

9、G A2B2G 的體積 V )時，可用近似公式 v 估二 S中h 來估算已知1v=丄(di d23)s，試判斷 v估與 v 的大小關(guān)系，并加以證明321.(本小題滿分 13 分)設(shè)a 0,b 0，已知函數(shù) f(x)二竺衛(wèi).x+1(I)當(dāng) a M 時，討論函數(shù) f (x)的單調(diào)性；(H)當(dāng)x 0時，稱 f (x)為 a、b 關(guān)于 x 的加權(quán)平均數(shù)(i)判斷 f(1), f(,b) , f(-)是否成等比數(shù)列，并證明Ya a(ii) a、b 的幾何平均數(shù)記為 G.稱-2ab為 a、b 的調(diào)和平均數(shù)，記為 H.若 HMf(x)MG，求 x a +b的取值范圍22.(本小題滿分 14 分)如圖，已知橢

10、圓 G 與 C2的中心在坐標(biāo)原點 0，長軸均為MN且在 x 軸上，短軸長分別 為2m, 2n (m)，過原點且不與 x 軸重合的直線 l 與 C1, C2的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A, B, C, D 記，=m, BDM和厶ABN的面積分別為3和 S2.n(I)當(dāng)直線 I 與y軸重合時，若SS2，求，的值；(n)當(dāng)變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I,使得S：-.S2?并說明理由.第 22 題圖第 20 題圖2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)(文史類)試題參考答案1即(2cos A -1)(cosA 2) =0，解得 cosA 或cosA - -2(舍去) 2因為0

11、：:A :n所以A二n.3(n)由 s =bcsin A =bc3=3be = 5、3,得 be =20 .又b = 5，知c=4.2224由余弦定理得 a2=b2c2-2bccosA =25 16 -20 =21,故 a =21 .又由正弦定理得前閘。卻“壯恥孚引幾嗡 冷(I)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則印=0 , q=0.由題意得2即 -aqa1qaiq ,Qq(1+q +q2) =18,n 1故數(shù)列an的通項公式為 an=3(-2).一、選擇題：1.B 2.D3.A 4.D二、填空題：11.-2 3i12. (I)714.415.3三、解答題：18. (I)由 cos2A-3cos(B C)

12、 =1,5.C 6.B7.A 8.D9.C(n)213.416.317. (I)3, 1,6/口2得 2cos A 3cos A -2 = 0 ,19.S2 -S4二S3 -S2,a2a3a418,解得a1二3,q 二-210. B() 79()由(I)有Sn /1-3=1_(_2)n.1-3)若存在 n，使得 Sn_2013，則 1 -(/)n_2013，即(_2)n乞_2012.當(dāng) n 為偶數(shù)時，(二)n. 0 ,上式不成立；當(dāng) n 為奇數(shù)時，(-2)-22012，即 22012，則n _11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的 n 的集合為nn =2k1,k.二 N ,k5.20

13、.(I)依題意AA_ 平面ABC, B1B2_ 平面ABC, C1C2_ 平面ABC,所以 A1A2/ B1B2/ C1C2.又 AA2=d1, B1B2=d2, C1C2=d3，且 d1：d2：d3. 因此四邊形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.由 AA2/平面MEFN, AA2=平面 AA2B2B，且平面 AA2B2B 平面MEFN =ME, 可得 AA2/ME, 即卩 A1A2/ DE.同理可證 A1A2/ FG,所以 DE / FG.又M、N 分別為AB、AC 的中點，則D、E、F、G 分別為 A1B1、A,B2、A,C2、A1C1的中點，即DE、FG 分別為梯形A1A2B2

14、B1、A1A2C2C1的中位線.1111因此 DE(A1A2B1B2)(did2), FG(AA2C1C2)(did3),2222而 di :：:d2 : d3，故DE:：:FG，所以中截面DEFG是梯形.(D)V估:V.證明如下：由 AA2_平面ABC,MN平面ABC，可得 _ MN .而 EM / A1A2，所以EM _ MN，同理可得FN _ MN.11由MN是厶ABC的中位線，可得 MN=1BC=即為梯形DEFG的高，22因此 S 中二 S梯形 DEFG=1(dl3 9 3) - =- (2did2d3),2 2 2 2 8ah即 V估二S中h(2did2d3).81iah又 S ah

15、，所以 V(did2d3)S(did2d3).236ahahah于是 V -V估(did2d3)(2did2d3)(ddi) (ddi).6824由 di : d2:d3，得 d2-di0 , d3di0，故 V估:V .-1)(i)計算得故 f宀口a 2f(1)f(b)=f(b)2.a a所以 f(1), f(b), f(b)成等比數(shù)列.y a a(ii )由(i)知 f (b) =H， f (JP) =G.故由 H(I)f(x)的定義域為(_：, _1)_1,;),a _b(x 1)f(x)在(_：,_1), (_1,；)上單調(diào)遞增；f(x)在(_：,_1), (1,：)上單調(diào)遞減.f (

16、x)二a(x 1) (ax b)當(dāng)a . b時,當(dāng)a : b時,2(x 1)f (x) 0 ,f (x) :：: 0 ,函數(shù)函數(shù) ,：:ab，即 f(1)_f.由得f(-fcb).a . a22.f (嘰 f(x) Efa當(dāng)a=b 時，f (3 = f (x) = f (J) =a .這時，x 的取值范圍為(0,；)；從而b，由 f(x)在(0,訟)上單調(diào)遞增與式, a a得 x ，即 x 的取值范圍為|, aa| a當(dāng)a b時，0 :-：1，a當(dāng)a 1，可解得，=21.S2 -1故當(dāng)直線 I 與y軸重合時，若 S =，S2，則怎=竝1.(n)解法 1:如圖 2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線點

17、M (_a, 0),M因為 d1=匕竺VVbk0距離分別為*，為|ak0| ak不妨設(shè)直線 I :二 kx(N X0二d1，使得yS =丸 3 . ”根據(jù)對稱性,Cd1 k21k2Dd2，所以&辭心郵圖 AB，又 s JIBD第122S 題解答12 2由對稱性可知 | AB|=|CD|，所以 |BC |=|BD | _| AB| = (，-1)| AB|,| AD I =| BD I I AB| =( 1)| AB |，于是|AD| _，1|BC| 一 -1.將I的方程分別與 C1, C2的方程聯(lián)立，可求得amanXA：rT22，xB ：.2.a k 亠 ma k 亠 n根據(jù)對稱性可知

18、 xC - -xB, XD- -XA| AD I1 k2|XAXDI| BC |1k2I XB-XcI從而由和式可得2XA2XB, -222m a k亠 nn a2k2m2a2k2n2a2k2m2令，則由mn，可得日，于是由可解得k22# 22nt -1)22a (1 t )因為k =0，所以 k20.于是式關(guān)于 k 有解，當(dāng)且僅當(dāng)1 1等價于(t2一 1)(t2-p) 0 .由人：1 ,可解得一 t 1 ,即111，由，解得 -.2，所以(,_ 1)當(dāng) 1：: _V 2 時，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I，使得 S = S2；當(dāng)2 時，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I 使得 S 二，S2.2 / 2,2n( t T)022 k U，a (1t )解法 2:如圖 2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I，使得 S = .S2.根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線 I : y = kx (k . 0)，點 M ( _a, 0)，N(a, 0)到直線I的距離分別為 d1，d2，貝 U因為 dak一嘰ak, d2ak=ak，所以 a2.Ji +k2+k2Ji +k2Ji +k2,11SIBD |又Si| BD | di, S2| AB I d2，所以.22b 丨AB 1| BD |i1k|XB-XD丨 _XA*XB_ 所以XA1| AB