不等式有關(guān)概念精析

1、不等式有關(guān)概念精析 山東省嘉祥縣第二中學(xué)（272404）任憲偉1不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)對(duì)于任意，都有,.等價(jià)符號(hào)的左邊反應(yīng)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，右邊反應(yīng)是書的大小順序，合起來是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間的關(guān)系。這是不等式的理論基礎(chǔ)，正是實(shí)數(shù)比較大小、求解不等式、不等式性質(zhì)證明以及證明不等式的重要依據(jù)。比較實(shí)數(shù)的大小，歸根結(jié)底為判斷兩者差的符號(hào)，即符號(hào)運(yùn)算的符號(hào)法則。將兩個(gè)實(shí)數(shù)作差，作差后通常變形為：常數(shù)；常數(shù)或幾個(gè)平方和的形式（常用配方法或?qū)崝?shù)）判斷差的符號(hào)；幾個(gè)因式積的形式（常用因式分解法）等。兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法，通常采取 “三步一結(jié)論”的步驟：作差；變形（配方法、因式分解

2、）；判斷差的符號(hào)；結(jié)論。其中“判斷差的符號(hào)”是解決問題的目的，“變形”是解決問題的關(guān)鍵。比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，有時(shí)可借助作商法：作比，變形，判斷與的大小，結(jié)論。用此法只需兩實(shí)數(shù)同號(hào)即可：若,則，；若，則，。比如：“設(shè)的大小”宜用此法。（2）不等式的性質(zhì)定理不等式的性質(zhì)有“單向性”和“雙向性”兩類：單向性：，雙向性：,，單向性主要應(yīng)用于證明不等式；雙向性是解不等式的基礎(chǔ)，也能用于證明不等式。不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)主要區(qū)別在于發(fā)生在與數(shù)（或恒為正、負(fù)的整式）相乘（或相除）時(shí)，不等式兩邊所乘（或除）的數(shù)的符號(hào)不同，結(jié)論不同；而等式則不然。（3）不等式性質(zhì)的應(yīng)用熟練不等式的性質(zhì)，可以：證明簡單的不等式

3、；判斷一些命題的真假；比較實(shí)數(shù)的大小；求一些取值范圍問題等。（4）不等式所涉及的幾個(gè)常見問題不等式作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，主要涉及以下幾個(gè)問題：理解不等式基本性質(zhì)的條件和結(jié)論；注意條件的加強(qiáng)和放寬與結(jié)論間的關(guān)系；正確利用不等式的性質(zhì)，注意結(jié)論成立的條件；掌握證明不等式的常用方法，能利用不同問題選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解決，注意每一方法的解題步驟和使用范圍，以及含參數(shù)（字母）不等式的討論與驗(yàn)證等。含參數(shù)的討論要注意：根據(jù)實(shí)際問題，做到分類不重復(fù)、不遺漏；不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，克服分類討論中的主觀性和盲目性；要養(yǎng)成簡化或避免分類討論的習(xí)慣來優(yōu)化解題過程。2不等式的解法 （1）一元一次不等式(組)與一元二次

4、不等式(組)的解法解一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）是解其他不等式（組）的基礎(chǔ)，利用數(shù)軸及二次函數(shù)的圖象是解一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的常用解法之一，熟練掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”的運(yùn)用以及集合的“并”、“交”運(yùn)算是解不等式的關(guān)鍵。一元一次不等式：將不等式整理成一般形式或或，；，。一元二次不等式：關(guān)于的一元二次不等式總可以整理成一般形式，。 不等式圖象 （2）可化為一元二次不等式（組）的不等式解法分式不等式與高次不等式：、分式不等式的解法：、若能判斷分母（子）的符號(hào)，則可直接化為整式不等式；、若不能判定分母、分子的符號(hào)，則，。、解一元高次不等式時(shí)，通常進(jìn)行因式分解，

5、化為（或）的形式，然后利用區(qū)間法、或化為不等式組，或用數(shù)軸標(biāo)根法求解。、用數(shù)軸標(biāo)根法解一元高次不等式的步驟為：a化簡，將原不等式化為與其同解的不等式（或），其中為的實(shí)數(shù)根，通常情況下它們兩兩不相等，且，且均為自然數(shù)，可以相等；b標(biāo)根，將的根標(biāo)在數(shù)軸上，將數(shù)軸分成個(gè)區(qū)間；c求解，若，則從最右邊區(qū)間的右上方開始畫一條連續(xù)的曲線，一次穿過每一個(gè)零點(diǎn)（即的根對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)），穿過最左邊的零點(diǎn)后，曲線不再改變方向，向上或向下的方向無限延伸，這樣不等式（或）的解救形象而又直觀的表示在圖上，這種方法稱數(shù)軸標(biāo)根法（或穿針引線法）。當(dāng)不全為1時(shí)，即的根出現(xiàn)重根（出現(xiàn)重因式）時(shí)，對(duì)于奇次重因式對(duì)應(yīng)的根，仍穿軸而過；對(duì)于偶次重因式對(duì)應(yīng)的根，則應(yīng)穿而不過（使曲線與軸相切）。簡而言之，函數(shù)中有重因式時(shí)，曲線與軸的關(guān)系是“奇穿偶切”。指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法及注意點(diǎn)、解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的依據(jù)是指數(shù)、對(duì)數(shù)的概念和性質(zhì)，同底法解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式是最基本的方