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1、不等式有關(guān)概念精析 山東省嘉祥縣第二中學(xué)(272404)任憲偉1不等式的性質(zhì)(1)不等式的基本性質(zhì)對于任意,都有,.等價符號的左邊反應(yīng)實數(shù)的運算性質(zhì),右邊反應(yīng)是書的大小順序,合起來是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序間的關(guān)系。這是不等式的理論基礎(chǔ),正是實數(shù)比較大小、求解不等式、不等式性質(zhì)證明以及證明不等式的重要依據(jù)。比較實數(shù)的大小,歸根結(jié)底為判斷兩者差的符號,即符號運算的符號法則。將兩個實數(shù)作差,作差后通常變形為:常數(shù);常數(shù)或幾個平方和的形式(常用配方法或?qū)崝?shù))判斷差的符號;幾個因式積的形式(常用因式分解法)等。兩個實數(shù)比較大小,通常用作差法,通常采取 “三步一結(jié)論”的步驟:作差;變形(配方法、因式分解
2、);判斷差的符號;結(jié)論。其中“判斷差的符號”是解決問題的目的,“變形”是解決問題的關(guān)鍵。比較兩個實數(shù)的大小,有時可借助作商法:作比,變形,判斷與的大小,結(jié)論。用此法只需兩實數(shù)同號即可:若,則,;若,則,。比如:“設(shè)的大小”宜用此法。(2)不等式的性質(zhì)定理不等式的性質(zhì)有“單向性”和“雙向性”兩類:單向性:,雙向性:,,單向性主要應(yīng)用于證明不等式;雙向性是解不等式的基礎(chǔ),也能用于證明不等式。不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)主要區(qū)別在于發(fā)生在與數(shù)(或恒為正、負(fù)的整式)相乘(或相除)時,不等式兩邊所乘(或除)的數(shù)的符號不同,結(jié)論不同;而等式則不然。(3)不等式性質(zhì)的應(yīng)用熟練不等式的性質(zhì),可以:證明簡單的不等式
3、;判斷一些命題的真假;比較實數(shù)的大??;求一些取值范圍問題等。(4)不等式所涉及的幾個常見問題不等式作為高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,主要涉及以下幾個問題:理解不等式基本性質(zhì)的條件和結(jié)論;注意條件的加強和放寬與結(jié)論間的關(guān)系;正確利用不等式的性質(zhì),注意結(jié)論成立的條件;掌握證明不等式的常用方法,能利用不同問題選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解決,注意每一方法的解題步驟和使用范圍,以及含參數(shù)(字母)不等式的討論與驗證等。含參數(shù)的討論要注意:根據(jù)實際問題,做到分類不重復(fù)、不遺漏;不斷總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn),克服分類討論中的主觀性和盲目性;要養(yǎng)成簡化或避免分類討論的習(xí)慣來優(yōu)化解題過程。2不等式的解法 (1)一元一次不等式(組)與一元二次
4、不等式(組)的解法解一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)是解其他不等式(組)的基礎(chǔ),利用數(shù)軸及二次函數(shù)的圖象是解一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的常用解法之一,熟練掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”的運用以及集合的“并”、“交”運算是解不等式的關(guān)鍵。一元一次不等式:將不等式整理成一般形式或或,;,。一元二次不等式:關(guān)于的一元二次不等式總可以整理成一般形式,。 不等式圖象 (2)可化為一元二次不等式(組)的不等式解法分式不等式與高次不等式:、分式不等式的解法:、若能判斷分母(子)的符號,則可直接化為整式不等式;、若不能判定分母、分子的符號,則,。、解一元高次不等式時,通常進(jìn)行因式分解,
5、化為(或)的形式,然后利用區(qū)間法、或化為不等式組,或用數(shù)軸標(biāo)根法求解。、用數(shù)軸標(biāo)根法解一元高次不等式的步驟為:a化簡,將原不等式化為與其同解的不等式(或),其中為的實數(shù)根,通常情況下它們兩兩不相等,且,且均為自然數(shù),可以相等;b標(biāo)根,將的根標(biāo)在數(shù)軸上,將數(shù)軸分成個區(qū)間;c求解,若,則從最右邊區(qū)間的右上方開始畫一條連續(xù)的曲線,一次穿過每一個零點(即的根對應(yīng)的數(shù)軸上的點),穿過最左邊的零點后,曲線不再改變方向,向上或向下的方向無限延伸,這樣不等式(或)的解救形象而又直觀的表示在圖上,這種方法稱數(shù)軸標(biāo)根法(或穿針引線法)。當(dāng)不全為1時,即的根出現(xiàn)重根(出現(xiàn)重因式)時,對于奇次重因式對應(yīng)的根,仍穿軸而過;對于偶次重因式對應(yīng)的根,則應(yīng)穿而不過(使曲線與軸相切)。簡而言之,函數(shù)中有重因式時,曲線與軸的關(guān)系是“奇穿偶切”。指數(shù)、對數(shù)不等式的解法及注意點、解指數(shù)、對數(shù)不等式的依據(jù)是指數(shù)、對數(shù)的概念和性質(zhì),同底法解指數(shù)、對數(shù)不等式是最基本的方
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