橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)(課堂PPT)

1、1 5.2 橢圓橢圓2第一節(jié)第一節(jié) 橢圓的橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程3 2008年年9月月25日晚日晚21時(shí)時(shí)10分分04秒，秒， “神舟神舟 七號(hào)七號(hào)”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空 ，實(shí)現(xiàn)了太空行走，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了實(shí)現(xiàn)了太空行走，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階。一個(gè)新臺(tái)階。45生活中的橢圓6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：新課講解7結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及“圓的定義圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？如何定義橢圓？思考：思考：F1F2M8F1F2M1 1、橢圓的定義、橢圓的定義 如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)到兩定

2、點(diǎn)的距離和為的距離和為常數(shù)常數(shù)2a，兩定點(diǎn)之間的距離為，兩定點(diǎn)之間的距離為2c，則橢圓定義還可，則橢圓定義還可以用集合語(yǔ)言表示為：以用集合語(yǔ)言表示為：P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）9（1 1）平面曲線）平面曲線（2 2）到兩定點(diǎn)）到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離等于定長(zhǎng)的距離等于定長(zhǎng)2a2a（3 3）定長(zhǎng)）定長(zhǎng)|F|F1 1F F2 2|(2a2c)|(2a2c)理解：理解：橢圓上的點(diǎn)要滿足怎樣的幾何條件？橢圓上的點(diǎn)要滿足怎樣的幾何條件？10MF1 F2 時(shí)，即a=c時(shí)當(dāng)2121FFMFMF=+時(shí)，即ac時(shí)當(dāng)2121FFMFMF0)，M與與F1和和F2的距離的的

3、距離的和等于正和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的坐的坐標(biāo)分別是標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .（想一想：下面怎樣（想一想：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）aMFMF2|21=+222221)(| ,)(|ycxMFycxMF+=+=aycxycx2)()(2222= =+ + + + + +得方程由由橢圓的定義橢圓的定義，代入坐標(biāo)代入坐標(biāo)OxyMF1F213PxyoacbcaOP=22|令12222=+byax122222=+cayaxb0ab（ ）14) 0( 12222=+babxay012222=+babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y y軸：軸：焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸：軸：橢圓的標(biāo)

4、準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c ）、F2（0，c） 15注意理解以下幾點(diǎn)：注意理解以下幾點(diǎn)： 在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有0 ba的要求；的要求； 在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，由于在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，由于 ，22ab所以可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)所以可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上；在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上；, ,a b c222abc=+0,0,abacbc和 橢圓的三個(gè)參數(shù)橢圓的三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是 ，其中其中大小不確定大小不確定16思考：思考： （1）將一個(gè)底面圓

5、半徑為）將一個(gè)底面圓半徑為5的圓柱沿與底面成的圓柱沿與底面成600角作一個(gè)截面，截面為橢圓，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。角作一個(gè)截面，截面為橢圓，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）橢圓的中心在點(diǎn)（）橢圓的中心在點(diǎn)（m,n），標(biāo)準(zhǔn)方程式什么？），標(biāo)準(zhǔn)方程式什么？1711625)1(22=+yx）0(11)4(2222=+mmymx123)3(22=yx分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，反之亦然。分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，反之亦然。注意：注意：1.下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？哪個(gè)坐標(biāo)軸上？0225259)2(22=yx跟蹤練習(xí)18變式一

6、變式一:將將上題上題焦點(diǎn)改為焦點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？結(jié)果如何？192522=+xy將將上題上題改為改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8 8，橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P P到兩到兩焦點(diǎn)的距離和等于焦點(diǎn)的距離和等于1010，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？192522=+yx192522=+xy已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P到到兩焦點(diǎn)距離的和等于兩焦點(diǎn)距離的和等于10；2212 59xy+=2.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X X軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)

7、在Y Y軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為：19)0(12222=+babxay例例1. 橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P ，求標(biāo)準(zhǔn)方程。，求標(biāo)準(zhǔn)方程。解解：法法1： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2523， 1)()(22232225=+ba聯(lián)立聯(lián)立可求得：可求得：6,1022=ba橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022=+xyxyF1F2P2523，例題講解20法法2： 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)

8、方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222=+=+=cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022=+xy求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：（1）先判斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；（先定位）（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b. （后定量)0(12222=+babxay211寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）a=4,b=3,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x 軸；軸；（2）a=5,c=2,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y 軸上軸上191622=+yx1FCDF22橢

9、圓橢圓的焦距是的焦距是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；的弦，則的弦，則的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 若若CD為過(guò)左焦點(diǎn)為過(guò)左焦點(diǎn)跟蹤練習(xí)222222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷不不 同同 點(diǎn)點(diǎn) 圖圖 形形 焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)探究定義探究定義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOa2-c2=b2(ab0)P= M| |MFP= M| |MF1 1 |+|MF|+|MF2 2|=2

10、a|=2a（2a2c2a2c） 知識(shí)總結(jié)23例例1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)和和(4,0)，且，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和和(1,0)一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例題講解24解：解： (1)由于橢圓的焦點(diǎn)在由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0) 2a 54 2 54 210a5.又又c4，b2a2c225169. 故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為x225y

11、291. 25(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在由于橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2x2b21(ab0)由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和和(1,0) 4a20b210a21b21 a24，b21.故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為y24x21.261.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2) 和和B(12， 3)； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)且與橢圓且與橢圓9x24y236 有有共同的焦點(diǎn)共同的焦點(diǎn) 跟蹤練習(xí)27解：解： (1)設(shè)所求橢圓的方程為設(shè)所求橢圓的方

12、程為x2my2n1(m0，n0 且且 mn) 橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)、B(12，3)， 0m4n1，14m3n1，解得解得 m1，n4. 所求橢圓方程為所求橢圓方程為x2y241. 28(2)橢圓橢圓 9x24y236 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為(0， 5)則可設(shè)所求橢圓則可設(shè)所求橢圓方程為方程為x2my2m51(m0) 又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，-3) 則有則有4m9m51. 解得解得m10或或m2(舍去舍去) 所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為x210y2151. 29例例2. 已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)A(3,0)，并且內(nèi)切于，并且內(nèi)切于定圓定圓B：(x3)2y264，求動(dòng)圓圓

13、心，求動(dòng)圓圓心M的軌的軌跡方程跡方程二、利用橢圓的定義求軌跡方程二、利用橢圓的定義求軌跡方程例例3. 已知圓已知圓B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C為圓上任意為圓上任意一點(diǎn)，一點(diǎn)，AC中垂線與中垂線與CB交于點(diǎn)交于點(diǎn)P，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程。的軌跡方程。30解：解： 設(shè)動(dòng)圓設(shè)動(dòng)圓 M 的半徑為的半徑為 r，則則|MA|r，|MB|8r， |MA|MB|8，且，且 8|AB|6， 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)分別是的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)分別是A( 3,0)，B(3,0)，且，且 2a8，a4，c3a2c21697. 所求動(dòng)圓圓心所求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程是的軌跡方程是x216

14、y271. b231例例4. 有一顆地球衛(wèi)星沿地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的有一顆地球衛(wèi)星沿地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，衛(wèi)星近地點(diǎn)約橢圓軌道運(yùn)行，衛(wèi)星近地點(diǎn)約200公里，遠(yuǎn)地公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)約點(diǎn)約500公里，地球半徑公里，地球半徑R約約6400公里，求運(yùn)行公里，求運(yùn)行軌道方程。軌道方程。xoFF1ABy規(guī)律：近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)規(guī)律：近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)一定是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。一定是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。321. 已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄AM和定圓和定圓C1：x2(y3)264內(nèi)切，內(nèi)切，而和定圓而和定圓C2：x2(y3)24外切求動(dòng)圓圓心外切求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程的軌跡方程跟蹤練習(xí)33解：解：設(shè)動(dòng)圓設(shè)動(dòng)圓 M 的半徑為的半徑為

15、r，圓心，圓心M(x，y)，兩定圓，兩定圓圓心圓心 C1(0,3)，C2(0， 3） ，半徑，半徑 r18，r22. 則則|MC1|8r，|MC2|r2. |MC1|MC2|(8r)(r2)10. 又又|C1C2|6，動(dòng)圓圓心動(dòng)圓圓心 M 的軌跡是橢圓，且焦的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)為點(diǎn)為 C1(0,3)，C2(0，3)，且，且 2a10， a5，c3， b2a2c225916. 動(dòng)圓圓心動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程是的軌跡方程是y225x2161. 342. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-5,0)，(5,0)。直線直線AM，BM相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之，且它們的斜率之積為積為 ，

16、求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程。的軌跡方程。94思考：斜率之積為思考：斜率之積為m(m2c)的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。這兩。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距(2c)。1、橢圓的定義、橢圓的定義注意注意“常數(shù)常數(shù)2a”的條件：的條件：2a=2c 等于等于線段線段 2ab0)為例為例由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式都適合不等式1 , 即即x2a2 , y2b2， x a , y b.22ax22by12222=+byax1 , 橢圓的幾何性質(zhì)新課講解44x這說(shuō)明橢圓位于

17、直線這說(shuō)明橢圓位于直線x=a和和y=b所圍成所圍成的矩形里。的矩形里。oya-ab-b45 在橢圓上，任取一點(diǎn)在橢圓上，任取一點(diǎn)(x,y),其其關(guān)于關(guān)于x軸、軸、 y 軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)仍在橢圓上。所以橢圓軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)仍在橢圓上。所以橢圓關(guān)于關(guān)于x軸軸、 y 軸軸和和坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)都是對(duì)稱的。都是對(duì)稱的。xo(x, y)(x, y)(x, y)(x, y)y、對(duì)稱性、對(duì)稱性 其中坐標(biāo)軸是橢圓的其中坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸對(duì)稱軸,原點(diǎn)是橢圓的原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心對(duì)稱中心.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.46、頂點(diǎn)、頂點(diǎn) 橢圓與它的對(duì)稱軸有橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)四

18、個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)線段線段A1A2，B1B2分別叫做分別叫做橢圓的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸和和短軸短軸，a和和b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和和短半軸長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B2474 4、離心率、離心率【定義】【定義】焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比【范圍】【范圍】0e0即3k2+k+3/40恒成立（事實(shí)上，點(diǎn)（事實(shí)上，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)在橢圓內(nèi),直線與橢圓恒相交）直線與橢圓恒相交）K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1（法二）（法二）：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4x

19、22+4y22=4點(diǎn)差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0即2+4k=0K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1代入方程由弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)。代入方程由弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)。733.橢圓橢圓C中心在原點(diǎn)，交點(diǎn)在中心在原點(diǎn)，交點(diǎn)在x軸上軸上, 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線的直線L與橢圓交于與橢圓交于A，B，直線，直線y=x/2過(guò)過(guò)AB中點(diǎn)，同時(shí)，橢圓上存在一點(diǎn)中點(diǎn)，同時(shí)，橢圓上存在一點(diǎn)N與右焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)F關(guān)于關(guān)于L對(duì)稱，求對(duì)稱，求L及橢圓及橢圓C.22=exoAByFN744.長(zhǎng)軸為長(zhǎng)軸為4的橢圓上有的橢圓上有A,B,C三點(diǎn)，三點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸一端點(diǎn)，為長(zhǎng)軸一端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓

20、中心過(guò)橢圓中心O，且，且AC.BC=0，|BC|=2|AC| (1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓方程；建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓方程；(2)如果橢圓上有兩點(diǎn)如果橢圓上有兩點(diǎn)P,Q，使角，使角PCQ的平分線垂直于的平分線垂直于AO,證明：證明：PQ=tABxoAByCPQ75解解:(1):(1)方程：方程：x x2 2+3y+3y2 2=4=4(2)(2)解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故兩直線都有斜率，令:(1)11CP yk xkxk=+ =+xoAByCPQ:(1)11CQ yk xkxk= + = +222221(13)6 (1)3610340ykxkkxk kxkkxy=+ =+=Px由從這里就要解出 來(lái)（呵呵。很多人已經(jīng)沒(méi)勇氣再算下去了，解析幾何在高