定積分概念ppt課件

1、一、定積分的定義 如果當(dāng)n時，S 的無限接近某個常數(shù)， 這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出, 通過“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取極限得到解決. niiniinabfxfS11.)()( 小小矩矩形形面面積積和和 badxxf,)().( fnablimdx)x( fin1iban 即即定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。Oabxy)(xfy ).( fnablimdx)x( fin

2、1iban 被積函數(shù)被積表達式積分變量積分下限積分上限).( fnablimdx)x( fin1iban 怎樣的分法，怎樣的分法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式 積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，和和S總趨于總趨于確確 定定 的的 極極 限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))( xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和1. dxxf)(與 badxxf)(的差別 dxx

3、f)(是 )(xf的全體原函數(shù) 是函數(shù) badxxf)(是一個和式的極限 是一個確定的常數(shù) 2 .當(dāng) xfini)(1的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù) 及積分區(qū)間 有關(guān)，而與區(qū)間 ba,的分法及 i點的取法無關(guān)。 f(x)a,b注注意意3定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有 bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注注意意, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值二、定積分的幾何意義二、定積分的幾何意義y)(xfy ax

4、bxxoAy)(xfyaxbxAxoabyx1A2A3A4A5A( )dbaf xx各部分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和12345AAAAA性質(zhì)性質(zhì)1 1：bababadxxgdxxfxgxf)()()()(（差）分等于它們定積分的和函數(shù)的和（差）的定積性質(zhì)性質(zhì)2 2：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外為常數(shù)）， kdxxfkkf(x)dxbaba()(三、定積分的基本性質(zhì)三、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3 3：對調(diào)定積分上下限，改變符號：對調(diào)定積分上下限，改變符號badxxf)(abdxxf)(0 0f f( (x x) )d dx xa aa a當(dāng)當(dāng)a=ba=

5、b時時性質(zhì)性質(zhì)4 4：（積分的可加性）：（積分的可加性）bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(，則一定有對任意的.,1103的的值值計計算算利利用用定定積積分分的的定定義義例例dxx .3xxf 令令解解 .11), 2 , 1(,11 , 0,11 , 0)1(nninixninininn 每每個個小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度為為個個小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成把把區(qū)區(qū)間間分分點點上上等等間間隔隔地地插插入入在在區(qū)區(qū)間間分分割割 xnifSdxxfnininini 110, 2 , 1)2(則則取取近似代替、作和近似代替、作和 nnini131 .,1103的的值值計計算算利利用用定定積

6、積分分的的定定義義例例dxx niin1341 2241411 nnn.11412 n.411141limlim)3(2103 nSdxxnnn取極限取極限例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(

7、x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1

8、成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號。20sinxdx212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x21 20 xy=f(x)y=g(x)aby例例4dxx 1021計計算算積積分分義義知知，該該積積

9、分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12 xxxxyx1y面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 dxx所所以以練練 習(xí)習(xí) 題題 niiixf10)(lim 被積函數(shù)被積函數(shù) 圍成的各個部分面積的代數(shù)和圍成的各個部分面積的代數(shù)和 積分變量積分變量 積分區(qū)間積分區(qū)間 badx練練 習(xí)習(xí) 題題 1 -15A 2 0cos dx x20(1)cos dx x 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)幾何意義推出定積分的值：如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)幾何意義推出定積分的值： 11(2)dxx 4A 3A23453535

10、()()0AAAAAAA 111d221 112xxA 與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；與區(qū)間及被積函數(shù)有關(guān)；B.B.與區(qū)間無關(guān)與被積函數(shù)有關(guān)與區(qū)間無關(guān)與被積函數(shù)有關(guān) C.C.與積分變量用何字母表示有關(guān)；與積分變量用何字母表示有關(guān)；D.D.與被積函數(shù)的形式無關(guān)與被積函數(shù)的形式無關(guān) )(xfy 在在 ba,上連續(xù)，則定積分上連續(xù)，則定積分 badxxf)(的值的值4.4. 及及x x軸所圍成軸所圍成的曲邊梯形的面積，用定積分表示為的曲邊梯形的面積，用定積分表示為 12 xy與直線與直線 3, 1xx 由曲線由曲線dxx) 1(2312 2-2-2-2,2-2,20 0A A222) 1(dxx3.3.定積分定積分練習(xí)練習(xí)223sin tdt中，積分上限是中，積分上限是 積分下限是積分下限是_ 2.2