力距 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量

1、4-3 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Pz*OFdFrMzsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且且在轉(zhuǎn)動在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 MzOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和32

2、1MMMM 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故故 對轉(zhuǎn)軸的力矩對轉(zhuǎn)軸的力矩zFFzzzzMMMM321定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動先確定轉(zhuǎn)動方向，先確定轉(zhuǎn)動方向，再確定再確定力矩的正負。力矩的正負。3） 剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijfjifdOijMjiM4）力矩的單位只能用牛頓力矩的單位只能用牛頓 米，而不能用焦耳。米，而不能用焦耳。Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFtrFrFMsinmrmaFtt2iiiirmMM內(nèi)2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外力外力 ，內(nèi)力內(nèi)力iFifM 1）單個質(zhì)點單個質(zhì)點 與轉(zhuǎn)軸剛性連接

3、與轉(zhuǎn)軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzimiriFif 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度角加速度與它所受的與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比 . 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律IM 2iiirmI轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量:2iiiirmMM內(nèi)iiiiiiirmMM2內(nèi)0iiM內(nèi)iiiiirmM)(2OzimiriFifmrIrmIiiid ,22三三 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量的物理轉(zhuǎn)動慣量的物理意義意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度：轉(zhuǎn)動慣性的量度 .1、與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：、與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)

4、軸的位置剛體的質(zhì)量分布剛體的質(zhì)量分布環(huán)環(huán):質(zhì)量質(zhì)量m、半徑、半徑R，.o盤盤:質(zhì)量質(zhì)量m、半徑、半徑R，.oI大大I小小木木鐵鐵ooI大大I小?。嘿|(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量mrrmIjjjd222 對質(zhì)量線分布的剛體：對質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd線分布線分布2 對質(zhì)量面分布的剛體：對質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd面分布面分布2 對質(zhì)量體分布的剛體：對質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd體分布體分布對對AA 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量222422mamamaIAA370.8a0.6aaaaaAABB2

5、m2mmm對對BB 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量22222)8 . 0(22)6 . 0(maamamIBB例例1iiirmI2lO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22 例例2 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 、長為長為 的的均勻細長棒，求均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒試比較大小試比較大小例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m, 長為長

6、為 L 的的均質(zhì)空心圓柱體均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒）（即圓筒）,其其內(nèi)、外半徑分別為內(nèi)、外半徑分別為 R1 和和 R2 。求對幾何軸。求對幾何軸 oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 .z orrd2dS解：解：)(2122RRLm薄圓薄圓柱殼的體積柱殼的體積,d2drLrV薄圓薄圓柱殼的質(zhì)量柱殼的質(zhì)量Vmdd薄圓薄圓柱殼對柱殼對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 dd2mrIzrrLrLrrd 2d 23221d 23RRzrrLI)(214142RRL因與因與L無關(guān)，所以該式也是無關(guān)，所以該式也是均質(zhì)圓環(huán)對均質(zhì)圓環(huán)對oz 的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。)(212221RRmIz均質(zhì)圓筒對均質(zhì)圓筒對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的

7、轉(zhuǎn)動慣量討論：討論：（1）若內(nèi)）若內(nèi)半徑半徑R1 =0，得，得均質(zhì)實心圓柱體對均質(zhì)實心圓柱體對oz 的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量：2221mRIz（2）若）若圓筒壁很薄圓筒壁很薄R1 R2 = R, 得得薄圓筒對薄圓筒對oz 的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量：)(212221RRmIz2mR均質(zhì)圓盤對均質(zhì)圓盤對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細圓環(huán)對均質(zhì)細圓環(huán)對oz 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量2mdIIC四四 平行軸定理平行軸定理 正交軸定理正交軸定理P 轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置 . 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為其

8、質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，則則對任一對任一與該軸平行與該軸平行，相距為相距為 d 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CImdCOm注意注意2221mRmRIP例：例：圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO1. 平行軸定理平行軸定理例例4 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？何計算？(棒長為棒長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為mL ,圓圓盤盤半徑為半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m0）2131LmIL）（其中221RmIoo2002dmII22221)(2131RLmRmLmIIIooLO解：直桿部分對解：直桿部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量圓盤部分

9、對圓盤部分對O軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？2. 正交軸定理正交軸定理對薄板狀剛體：對薄板狀剛體：對對板面內(nèi)相互垂直的兩個定軸板面內(nèi)相互垂直的兩個定軸的轉(zhuǎn)動慣量之和的轉(zhuǎn)動慣量之和等于該剛體對通過兩軸交點且垂直于板面的定軸的轉(zhuǎn)動慣量。等于該剛體對通過兩軸交點且垂直于板面的定軸的轉(zhuǎn)動慣量。yxzIII例例5：細圓環(huán)，已知均質(zhì)細圓環(huán)對過中心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)動慣量為：細圓環(huán)，已知均質(zhì)細圓環(huán)對過中心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)動慣量為：2mRI 對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為221mRI 回旋半徑回旋半徑 R回：回：2回回mRI 五五. 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)

10、用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用選擇選擇隔離體隔離體：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。：平動物體、轉(zhuǎn)動物體。受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。受力分析：對轉(zhuǎn)動物體分析力矩；對平動物體分析力。 繪繪出示力圖。出示力圖。畫出隔離體的畫出隔離體的加速度方向加速度方向； 先用文字符號求解，后帶入數(shù)據(jù)計算結(jié)果先用文字符號求解，后帶入數(shù)據(jù)計算結(jié)果. 取坐標(biāo)系，取坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸盡量順著運動方向坐標(biāo)軸盡量順著運動方向；對轉(zhuǎn)動物體對轉(zhuǎn)動物體列列轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律方程，方程， 對平動物體應(yīng)用對平動物體應(yīng)用牛頓第二定律分量式方程；牛頓第二定律分量式方程；找出平動物體、轉(zhuǎn)動物體之間的聯(lián)系；找出平動物體、轉(zhuǎn)動物體之間的聯(lián)系； 利用其它

11、的約束條件列利用其它的約束條件列補充方程補充方程；解：解：動力學(xué)關(guān)系動力學(xué)關(guān)系對輪：對輪：TRI (1), 對對：mmg T ma (2) 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例 定軸定軸ORthmv0=0繩繩mmgT = - T aTGRN已知：已知： R =0.2 m， m =1 kg ， h =1.5 m，繩輪無相對滑動，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間繩不可伸長，下落時間t t= =3s s求：輪對求：輪對o o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量00例例運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系： aR(3)hat 122(4)(1)(4)聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：IgthmR ()2221 (.).9832151102114 222 k

12、gm對對：m (2)maTmg對輪：對輪： (1) ITR 例例 一根長為一根長為l、質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度。（已知棒對（已知棒對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ）231mlI Ox解：解：（1）計算棒所受重力對計算棒所受重力對O軸的力矩軸的力矩棒在下擺任意棒在下擺任意角時，質(zhì)元角時，質(zhì)元dm所受重所受重力對力對O軸的力矩大小是軸的力矩大小是mgxd棒所受重

13、力對棒所受重力對O軸的力矩軸的力矩mgxMdmmxmgdCmgx說明：重力對整個棒的合力矩和全部重力集中作用于說明：重力對整個棒的合力矩和全部重力集中作用于 質(zhì)心質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。所產(chǎn)生的力矩一樣。gmdgmxxCCmd+（2）計算棒在下擺任意）計算棒在下擺任意角時的角時的角加速度和角速度角加速度和角速度cos2lxC由于由于 ，cos21mglM 由轉(zhuǎn)動定律得棒的角加速度由轉(zhuǎn)動定律得棒的角加速度lgmlmglIM2cos331cos212dcos23dd000lgddddddddtt注意lgsin3棒在下擺任意棒在下擺任意角時的角時的角速度角速度O . 0 0水平面水平面例：例：在粗糙的

14、平面上，有一長為在粗糙的平面上，有一長為L的均勻細棒，它以角速度的均勻細棒，它以角速度 0 0 繞繞其一端其一端 O 點且垂直于該平面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。若細棒與粗糙平面之間的點且垂直于該平面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。若細棒與粗糙平面之間的滑動摩擦系數(shù)為滑動摩擦系數(shù)為 m m 。求此細棒停止其轉(zhuǎn)動花多長的時間。求此細棒停止其轉(zhuǎn)動花多長的時間。分析：分析：MIMdtdtt )( 解：解：（1）求摩擦力矩）求摩擦力矩rdfdrrmddmgfddmdrmgfrMfdddrrgmdrd0rgMMLffm22Lgm2Lmgm +2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 例例 一長為一長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細桿勻質(zhì)細桿豎直放置豎直放置，其下端，其下端與一固定鉸鏈與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動 . 由于此豎直放置由于此豎直放置的細桿處于的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細，當(dāng)其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 . 試計算細試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度 .lm 解解 細桿受重力和