概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)資料點(diǎn)情況總結(jié)分析匯總(詳細(xì))

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念§ 2 .樣本空間、隨機(jī)事件1 .事件間的關(guān)系 A B 則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生A B xx A或x B稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B xx A且x B稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng) A, B 同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A- B xx A且x B稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B ,則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件 A與事 件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的A B S且A B ,則稱事件A與

2、事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件2 .運(yùn)算規(guī)則交換律ABBAABBAA(B C)結(jié)合律(A B) C A (B C) (A B)C分配律A(B C) (A B) (A C)A (B C) (A B)(A C)德摩根律ABA3 3.頻率與概率定義 在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A), 稱為事件的概率1 .概率P(A)滿足下列條件：(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件 A 0 P(A) 1(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件

3、S P(S) 1nn(3)可列可加性：設(shè)Ai, A2, , An是兩兩互不相容的事件， 有P( Ak)P(Ak)(n可k 1k 1以取 )2 .概率的一些重要性質(zhì)： P( ) 0nn(ii)若Ai,A2, , An是兩兩互不相容的事件，則有P( Ak)P(Ak) (n可以取 )k 1k 1(iii)設(shè) A, B 是兩個(gè)事件若 A B,則 P(B A) P(B) P(A) , P(B) P(A)(iv)對(duì)于任意事件 A, P(A) 1(v) P(A) 1 P(A)(逆事件的概率)(vi)對(duì)于任意事件 A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)

4、等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件 a 包含 k 個(gè)基本事件，即 a 佰 e e ,里 i1i2ik'i1，i2, ik是12 n中某k個(gè)不同的數(shù),則有_k f ,k A包含的基本事件數(shù)P(A) j 1P" 7 s中基本事件的總數(shù)§ 5 條件概率(1) 定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且 P(A) 0,稱P(B|A) 迪 為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率(2) 條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1非負(fù)性：對(duì)于某一事件 B ,有P(B | A) 02。規(guī)范性：對(duì)于必然事件 S, P(S|A) 13可列可加性：設(shè)B1

5、，B2,是兩兩互不相容的事件，則有P( Bi Ai 1P(Bi A )1(3)乘法定理設(shè)P(A) 0,則有P(AB) P(B)P(A| B)稱為乘法公式n(4) 全概率公式：P(A)P(Bi)P(A|Bi)i 1貝葉斯公式:P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A| Bi)i 1§ 6.獨(dú)立性定義設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式 P(AB) P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A, B是兩事件，且 P(A) 0,若A, B相互獨(dú)立，則 P(B| A) P B一 一 一 一定理二若事件A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B,A與B,A與B第二章

6、隨機(jī)變量及其分布§ 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. XX(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X X(e)為隨機(jī)變量§ 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1 .離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P(X Xk)Pk滿足如下兩個(gè)條件(1) Pk 0, (2)Pk =1k 1 2.三種重要的離散型隨機(jī)變量(1) (0- 1)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 只能取 0 與 1 兩個(gè)值，它的分布律是 P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (0 p 1),則稱X服從以p為參數(shù)的(0 - 1)分布或兩 點(diǎn)分布

7、。(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布一設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A ,則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)P(A) p (0 p 1),此時(shí)P(A) 1-p.將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。n k n-kP(X k) pq , k 0,1,2, n 滿足條件(1) pk 0, (2)Pk =1 注意kk 1到n pkqn-k是二項(xiàng)式(p q)n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)k為n, p的二項(xiàng)分布。(3)泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為k -eP(X k) ,k 0,1,2 ，其中 0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k

8、!X ()§ 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x) PX x,- x稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x) P(X x),具有以下性質(zhì)(1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2)0 F(x) 1,且5() 0,F( ) 1(3) F(x 0) F (x)，即 F (x)是右連續(xù)的§ 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)可積函數(shù) f (x),使x對(duì)于任意函數(shù)x有F(x) f (t) dt,則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度f(x)dx 1 ；1概率密度f(

9、x)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f(x) 0, (2)(3) P(XiX x2)2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量x2fx1(x)dx；(4)若f (x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F (x) f (x)(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X具有概率密度f (x)均勻分布記為X U (a, b)(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)a x bb-a ' a x b ,則成X在區(qū)間(a,b)上服從0 ,其他e"，x. 0其中0,其他0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。(3)正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為f(x)其中，(0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分

10、布，記為特別，當(dāng) 0,1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§ 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 fx(x),-x ，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù),(x) 0Y= g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量其概率密度為fY(y)fX h(y) h,(y), y0,其他第三章多維隨機(jī)變量§ 1二維隨機(jī)變量X(e)和Y Y(e)是定義在S上定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 S e. X的隨機(jī)變量，稱 X X(e)為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量( X, Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x , y ,二元函數(shù)F (x, y) P(X x) (Y

11、 y)里區(qū)PXx, Y y稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量 (X, Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。我們稱P(X xi, Y Yj) Pij, i, j 1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的 分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x, y),如果存在非負(fù)可積函數(shù) f(x,y),y x_ ,、.使對(duì)于任息*,丫有5 (x,y)f(u,v)dudv,則稱(X ,Y)是連續(xù)性的隨機(jī)變量，-函數(shù)f (x, V)稱為隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。§ 2邊緣分布二維隨機(jī)變量

12、(X, Y)作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F (x, y).而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為FX(x), FY(y),依次稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。Pi? Pij PX xi, i 1,2, j 1P?jPjPY y>, j12分別稱pi? p?j為(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。f x (x) f (x, y) dyfY(y)f (x, y) dx分別稱fx(X)，fY (y)為x, 丫關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣概率密度。33條件分布定義 設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j,若PYyj0,PX xi,Y yj 則稱 P

13、X xi Y yj-jPY yjPij .一 ,iP?j1,2,為在Yyj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣PY yj X XiPX xi,YPX xiyjPjPi?,j 1,2,為在X xi條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為f(x, y), (X, Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y),若對(duì)于固定的v, fY(y)0,則稱f (x, y)、.' "為在Y=y fY(y)的條件下X的條件概率密度，記為 fX|Y(xy) =f(x,y)fY(y)§ 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X, Y)的分布函y,即定義設(shè)F (x, y)及FX(x)

14、, FY(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有PX x,Y y PX xPYFx,y FX(x)Fy(y), 則稱隨機(jī)變量 X和Y是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X , Y) , X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)§ 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1, Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f (x, y).則z=x+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為 fx Y (z) f(z y, y) dy或fx Y (z)f (x,z x) dx又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X , Y的邊緣密度分別為 fX (x), fY (y)則f

15、x Y(z)fX (z y) fY(y)dy 和 fX y(z)fX(x) fY(z x)dx這兩個(gè)公式稱為fX , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y 一2, Z的分布、ZXY勺分布X一八一J 、口一 一、Y設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f (x, y),則Z , Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fYX (z)x f (x, xz)dxfXY ( z)If (x,Z)dx又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X, Y)關(guān)于X, Y的邊緣密度分別x x為 fX (x), fY(y)則可化為 fY/X (z)fX (x) fY (xz)dxfX

16、Y (z):fX(x)fYgdx3 M maxX,Y及 N min X,Y的分布設(shè)X, y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX (x),FY(y)由于M maxX , Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又由于X和丫相互獨(dú)立，得到 M maxX , Y的分布函數(shù)為FmaxFx(z)Fy(z)N minX,Y的分布函數(shù)為 Fm. (z) 1 1 Fx (z) 1 Fy(z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§ 1 .數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PX xkPk, k=1,2,若級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)k 1收斂，則稱級(jí)數(shù)xkPk的和為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)

17、期望，記為E(X),即E(X)xk Pkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),若積分xf(x)dx絕對(duì)收斂，則稱積分xf(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X),即E(X) xf(x)dx定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y= g(X)(g是連續(xù)函數(shù))如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX xk pk,k=1,2,若g(xk)pkk 1絕對(duì)收斂則有E(Y) E(g(X)g(xk)pkk 1(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為 f(x),若g(x) f (x)dx絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E

18、(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX) CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X Y) E(X) E(Y);4設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY) E(X)E(Y)§ 2方差2._2_定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若 E X E(X) 存在，則稱E X E(X) 為*的方差，記為D (x)即D (x) =E X E(X) 2,在應(yīng)用上還引入量 jD(x),記為(x),稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。_2_2_2D(X) E(X E(X )2 E(X2) (EX)2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C) 0,2 _2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有 D(CX) CD

19、(X), D(X C) D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特別，若X,丫相互獨(dú)立，則有 D(X Y) D(X) D(Y)4D(X) 0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X),即PX E(X)1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E(X) 2,則對(duì)于任意正數(shù)，不等式2P X - F成立§ 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量EX E(X)Y E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)而XYCov(X, Y)D(X)

20、 . D(Y)稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y, D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)lCov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(Xi X2,Y) Cov(Xi,Y) Cov(X2,Y)定理 1 XY 12 XY 1的充要條件是，存在常數(shù) a,b使PY a bx 1xy 0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué) 期望力差兩點(diǎn)分 布0 p 1PX k)pk(1 p)1k,k 0,1,pp(1 p)二項(xiàng)式 分布n 10 p 1P(X k) C：pk(1 p)nk,k 0,1, n,npnp(1 p)泊松分 布0k eP(X k) ,k 0,1,2,k!幾何分 布0 p 1k 1P(X k) (1 p) p,k 1,2,工 p1 p2 p均勻分 布a b1.一、,a x bf(x)