高考數(shù)學(xué)第一輪1067空間角距離綜合

1、g3.1067空間角.空間距離綜合一:高考真題:圖911.（2003京春文11，理8）如圖91，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（）A.90°B.60°C.45°D.0°2.（2002全國(guó)理，8）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°3.（2001全國(guó)，11）一間民

2、房的屋頂有如圖94三種不同的蓋法：?jiǎn)蜗騼A斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.圖94若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（）A.P3P2P1B.P3P2P1C.P3P2P1D.P3P2P14.（2001全國(guó)，9）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（）A.60°B.90°C.105°D.75°5.（2000全國(guó)文，12）如圖95，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（）A.B.C.D.6.（1995全國(guó)文，10）如圖

3、97，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（）A.B.C.D.7.（2003上海春，10）若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖911所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為.9.（2002上海，4）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 cm，體積為4 cm3，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是.圖91310.（20

4、00上海春，8）如圖913，BAD90°的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點(diǎn)，則AE與平面BCD所成角的大小為_(kāi).11.（2003京春文，19）如圖919，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面邊長(zhǎng)為2，E是棱BC的中點(diǎn).（）求三棱錐D1DBC的體積；（）證明BD1平面C1DE；（）求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.圖919圖920圖92112.（2003京春理，19）如圖920，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EFBD=G.（）求證：平面B1EF平面BDD1B1；（

5、）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d；（）求三棱錐B1EFD1的體積V.13.（2002京皖春文，19）在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如圖921）（）證明：SCBC；（）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大??；（）求三棱錐的體積VSABC.14.（2002全國(guó)理，18）如圖926，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0a）.（）求MN的長(zhǎng)；（）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小；（）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小.圖926圖92

6、715.（2001春季北京、安徽，19）如圖927，已知VC是ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在ABC的高CD上.ABa，VC與AB之間的距離為h，點(diǎn)MVC.（）證明MDC是二面角MABC的平面角；（）當(dāng)MDCCVN時(shí)，證明VC平面AMB；（）若MDCCVN（0，求四面體MABC的體積.答案解析圖9431.答案：B解析：將三角形折成三棱錐如圖943所示.HG與IJ為一對(duì)異面直線.過(guò)點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.評(píng)述：本題通過(guò)對(duì)折疊問(wèn)題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過(guò)程中正確理解已知圖

7、形的關(guān)系是關(guān)鍵.通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.2.答案：B解析：連結(jié)FE1、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE1BC1.在EFD中，EF=ED=1，F(xiàn)ED=120°，F(xiàn)D=.在RtEFE1和RtEE1D中，易得E1F=E1D=.E1FD是等邊三角形.FE1D=60°.BC1與DE1所成的角為60°.評(píng)述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法.3.答案：D解析：由S底S側(cè)cos可得P1P2而P3又2（S1S2）S底P1P 2P 3圖948 4.答案：B

8、解析：如圖948，D1、D分別為B1C1、BC中點(diǎn)，連結(jié)AD、D1C，設(shè)BB11，則AB，則AD為AB1在平面BC1上的射影，又DE2BE2BD22BE·BD·cosC1BC而B(niǎo)E2DE2BD2圖949BED90°AB1與C1B垂直圖9505.答案：D解析：如圖950，由題意知，r2hR2h，r又ABOCAO，OA2r·R，cos6.答案：A解析：這是兩條異面直線所成角的問(wèn)題，如圖951將DF1平移至AG1，A1G1，再將AG1平移至EE1，其中AE，B1E1，BE1E即是異面直線BE1與DF1所成的角.圖951設(shè)正方體棱長(zhǎng)為l，可求得EE1BE1，EB

9、，在BEE1中由余弦定理得cosBE1E故應(yīng)選A.評(píng)述：利用直線平移，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題來(lái)解決.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，這種思想在近幾年的試題里明顯地、有意識(shí)地進(jìn)行了考查.圖9537.答案：arctan解析：設(shè)棱錐的高為h，如圖953，則V=·4×4×sin60°·h=1，h=.D為BC中點(diǎn)，OD=AD=··4=.易證PDO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角tan=.故=arctan評(píng)述：本題考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計(jì)算.圖9548.答案：解析：過(guò)M

10、作MOEF，交EF于O，則MO平面BCFE.如圖954，作ONBC，設(shè)OM=x，又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BE·MB·sinMBE=BE·MESMBC=BC·MB·sinMBC=BC·MNME=MN，而ME=，MN=，解得x=.9.答案：30°解析：如圖960，作BC邊中點(diǎn)M，VMBC過(guò)V作VO底面ABCDVOMO，MOBC，VMO為其側(cè)面與底面所成二面角的平面角V錐=SABCD·VO4=·（2）2·VO，VO=1又OM=，VOMO，VMO=30°側(cè)面與底面所成的二面角為

11、30°.10.答案：45°解析：過(guò)點(diǎn)A作AFBD于F，則AF面BCD，AEF為所求的角設(shè)BDa，則AF，EF，在RtAEF中，AEF45°11.（）解： =·2·2·1=.（）證明：記D1C與DC1的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE.O是CD1的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，EOBD1，BD1平面C1DE，EO平面C1DE.BD1平面C1DE.（）解：過(guò)C作CHDE于H，連結(jié)C1H.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C平面ABCD，C1HDE，C1HC是面C1DE與面CDE所成二面角的平面角.DC=2，CC1=1，CE=1.CH=tanC1HC=.

12、即面C1DE與面CDE所成二面角的正切值為.評(píng)述：本題考查正四棱柱的基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.12.（）證法一：連接AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形.ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.證法二：BE=BF，EBD=FBD=45°，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1.（）解：在對(duì)角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足為H，點(diǎn)D1到平面B

13、1EF的距離d=D1H.解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，D1B1=A1B1=4.sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4·解法二：D1HBB1BG，圖964d=D1H=.解法三：如圖964，連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半.即B1G·D1H=BB12.d=.（）·d·.評(píng)述：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力.并進(jìn)行一定的邏輯推理.在研究本題時(shí)，要注意摘出平面圖形，便于計(jì)算.13.（）證明：SAB=SAC=90°，S

14、AAB，SAAC.又ABAC=A，SA平面ABC.由于ACB=90°，即BCAC，由三垂線定理，得SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在RtSCB中，BC=5，SB=5. 得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.（）解：在RtSAC中，SA=.SABC=·AC·BC=×5×5=.VSABC=·SACB·SA=.圖97014.解：（）作MPAB交BC于點(diǎn)P，NQAB交B

15、E于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，如圖970MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC=BF=，.即CP=BQ=.MN=PQ=（0a）.（）由（），MN=，所以，當(dāng)a=時(shí)，MN=.即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為.圖971（）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，如圖971AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn)AGMN，BGMN，AGB即為二面角的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有cos=.故所求二面角=arccos（）.評(píng)述：該題考點(diǎn)多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計(jì)算交錯(cuò)為一

16、體；以兩個(gè)垂直的正方形為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查.體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證和計(jì)算為重點(diǎn)，轉(zhuǎn)到既考查空間概念，又考查幾何論證和計(jì)算.但有所側(cè)重，融論證于難度適中的計(jì)算之中.反映教育改革趨勢(shì)，體現(xiàn)時(shí)代發(fā)展潮流.此外解答過(guò)程中，必須引入適當(dāng)?shù)妮o助線，不僅考查識(shí)圖，還考查了基本的作圖技能.充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系”，較為深入和全面考查各種數(shù)學(xué)能力.圖97215.（）證明：CDAB，VN平面ABC，AB平面ABC，VNAB.又CDVNN平面VNCAB又MD平面VNCMDABMDC為二面角MMABC的平面角.如圖972（）證明：VC平面VCN，ABVC又在VCN和CDM中，CVNMDC，V

17、CNVCNDMCVNC90°.DMVC又ABDMD，AB、DM平面AMBVC平面AMB（）解：MDAB且MDVC，MD為VC與AB的距離為h.過(guò)M作MECD于E圖973VMABCAB·CD×ME·ah2tan四、作業(yè)同步練習(xí)g3.1067 空間角距離綜合1、已知半徑是B的球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB=6 ,BC=8, AC=10;則球心O到截面ABC的距離為（）A、12 B、8 C、6 D、52、已知三棱錐P-ABC，PA平面ABC，,AB=1,D、E分別是PC、BC的中點(diǎn)，則異面直線DE與AB的距離是（）A、 B、 C、 D、與PA的長(zhǎng)有關(guān)3、設(shè)兩平行

18、直線a、b間的距離為2m，平面與a、b都平行且與a、b的距離都為m，這樣的平面有（）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)4、一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則這兩個(gè)二面角（ ）A、相等 B、互補(bǔ) C、相等或互補(bǔ) D、不確定5、平面CD，P為這兩個(gè)平面外一點(diǎn)，PA于A，PB于B，若PA=2,PB=1AB=則二面角的大小為（ ）A、 B、 C、 D、6、P是平面ABC外一點(diǎn)，若PA=PB=PC,且則二面角P-AB-C的余弦值為 .7、正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為2：3，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為。8、已知,過(guò)O點(diǎn)引所在平面的斜線OC與OA、OB分別成

19、、角，則以O(shè)C為棱的二面角A-OC-B的余弦值為。9、平面的一條垂線段OA（O為垂足）的長(zhǎng)為6，點(diǎn)B、C在平面上，且,那么B、C兩點(diǎn)間距離的范圍是。10、正方體的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P 在棱上運(yùn)動(dòng)，那么過(guò)P、B、D1三點(diǎn)的截面面積的最小值是11、直三棱柱中，,AC=AA1=a，則點(diǎn)A到截面A1BC的距離是12、（05湖南）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D13、（05湖北）如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB

20、=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長(zhǎng)；（）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.參考答案A B C D D 12、解法一（I）證明由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）圖3O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II）解：因?yàn)樗訠O1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，ABOCO1D所以cos，>=即二面角OACO1的大小是解法二（I）證明由題設(shè)知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，圖4即OAOB.