高考復(fù)習(xí)之概率統(tǒng)計(jì)理科

1、熱點(diǎn)一：分布列、數(shù)學(xué)期望和方差1、分布列: x1x2xiPP1P2Pi2、分布列的兩個(gè)性質(zhì)： Pi0，i1，2，； P1+P2+=13、數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱(chēng) 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望性質(zhì):4、方差：稱(chēng)為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱(chēng)為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望性質(zhì)：（1）；（2）；5、二項(xiàng)分布:B(n，p)，并記b(k；n，p)01knPE=np,np(1-p)例1、袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào).（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,試求a,b的值.小結(jié)

2、：求期望和方差的步驟S1確定隨機(jī)變量的允許值；S2計(jì)算相應(yīng)的概率；S3寫(xiě)出分布列；S4代入期望和方差公式求解。練習(xí)：1、甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：（）至少有1人面試合格的概率;（）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.2、某射擊測(cè)試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為，求隨

3、機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望3、某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷(xiāo)售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：周銷(xiāo)售量234頻數(shù)205030（）根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷(xiāo)售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；（）已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元，表示該種商品兩周銷(xiāo)售利潤(rùn)的和（單位：千元）若以上述頻率作為概率，且各周的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望幾種常見(jiàn)題型的解法一、從分類(lèi)問(wèn)題角度求概率例2（日本高考題）袋內(nèi)有9個(gè)白球和3個(gè)紅球，從袋中任意地順次取出三個(gè)球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。二、從不等式大小比較的角度看概率例3 “幸運(yùn)52”知識(shí)競(jìng)猜電視節(jié)目，為每位選手準(zhǔn)備5

4、道試題，每道題設(shè)“Yes”與“No”兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，選手每答對(duì)一題，獲得一個(gè)商標(biāo)，假設(shè)甲、乙兩位選手僅憑猜測(cè)獨(dú)立答題，是否有99%的把握斷定甲、乙兩位選手中至少有一位獲得1個(gè)或1個(gè)以上的商標(biāo)？三、從“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90、0.95和0.95，各取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）。四、從“或”、“且”的角度看概率例5甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或被乙解出的概率為0.92。（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)

5、期望和方差。相關(guān)練習(xí)1.（山東卷7）在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1，2，3，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為（A）（B）（C）（D）2.（福建卷5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是A.B. C.D.3.（遼寧卷7）4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）ABCD4.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（

6、）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率5.某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立），1）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；2）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？6.甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)。甲、乙二人依次各抽一題。 （I）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？關(guān)于統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1.（天津卷11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超過(guò)45歲的有80人為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)

7、45歲的職工_人2.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車(chē)，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車(chē)依次應(yīng)抽取_，_，_輛。3.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）:其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是。4.一個(gè)工廠在若干個(gè)車(chē)間，今采用分層抽樣方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為128的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若一車(chē)間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車(chē)間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為5（江蘇卷）某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則xy

8、的值為（A）1 （B）2 （C）3 （D）46（四川卷）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（A）人，人，人（B）人，人，人（C）人，人，人（D）人，人，人7(重慶卷)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在56.5,64.5的學(xué)生人數(shù)是(A)20 (B)30 (C)40 （D）508(重慶卷)某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。為了

9、掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本。若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是（A）2 （B）3 （C）5 （D）139（全國(guó)II）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如右圖）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出人10（山東卷）某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是.09年高考復(fù)習(xí)之概率統(tǒng)計(jì)（答案）

10、熱點(diǎn)一：分布列、數(shù)學(xué)期望和方差1、分布列: x1x2xiPP1P2Pi2、分布列的兩個(gè)性質(zhì)： Pi0，i1，2，； P1+P2+=13、數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱(chēng) 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望性質(zhì):4、方差：稱(chēng)為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱(chēng)為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望性質(zhì)：（1）；（2）；5、二項(xiàng)分布:B(n，p)，并記b(k；n，p)01knPE=np,np(1-p)例1、袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào).（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,試求a,b的值.解：

11、本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運(yùn)算能力.（滿分12分）解：（）的分布列為：01234P（）由，得a2×2.7511，即又所以當(dāng)a=2時(shí)，由12×1.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=-2時(shí)，由1-2×1.5+b，得b=4.或即為所求.小結(jié)：求期望和方差的步驟S1確定隨機(jī)變量的允許值；S2計(jì)算相應(yīng)的概率；S3寫(xiě)出分布列；S4代入期望和方差公式求解。練習(xí)：1、甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否

12、合格互不影響.求：（）至少有1人面試合格的概率;（）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解: 用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨(dú)立，且P（A）P（B）P（C）.（）至少有1人面試合格的概率是（）的可能取值為0，1，2，3. = =所以，的分布列是0123P的期望2、某射擊測(cè)試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響（）求該射手恰好射擊兩次的概率；（）該射手的得分記為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望解：（）設(shè)該射手第次擊中目標(biāo)的事件為，則，（）可能取的值為0，1，2，

13、3 的分布列為01230.0080.0320.160.8.3、某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷(xiāo)售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：周銷(xiāo)售量234頻數(shù)205030（）根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷(xiāo)售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；（）已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元，表示該種商品兩周銷(xiāo)售利潤(rùn)的和（單位：千元）若以上述頻率作為概率，且各周的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）周銷(xiāo)售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3（）的可能值為8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（=1

14、2）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09的分布列為810121416P0.040.20.370.30.09=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）幾種常見(jiàn)題型的解法一、從分類(lèi)問(wèn)題角度求概率例2（日本高考題）袋內(nèi)有9個(gè)白球和3個(gè)紅球，從袋中任意地順次取出三個(gè)球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。解：設(shè)A1=“三次都是白球”，則P（A1）=A2=“一、三次白球，第

15、二次紅球”，則P（A2）=A3=“第一次紅球，二、三次為白球”，則P（A3）=;A4=“一、二次紅球，第三次白球”，則P（A4）=而A1、A2、A3、A4互斥，又記A=“第三次取出的球是白球”，則P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=說(shuō)明：本題中關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出結(jié)論，主要以“+”號(hào)連接，另外本題也可由P= 得出，請(qǐng)讀者琢磨。二、從不等式大小比較的角度看概率例3 “幸運(yùn)52”知識(shí)競(jìng)猜電視節(jié)目，為每位選手準(zhǔn)備5道試題，每道題設(shè)“Yes”與“No”兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，選手每答對(duì)一題，獲得一個(gè)商標(biāo)，假設(shè)甲、乙兩位選手僅憑猜測(cè)獨(dú)立答題，是否

16、有99%的把握斷定甲、乙兩位選手中至少有一位獲得1個(gè)或1個(gè)以上的商標(biāo)？解：設(shè)甲沒(méi)有獲得商標(biāo)的事件為A，乙沒(méi)有獲得商標(biāo)的事件為B，則P（A）=P（B）=甲、乙沒(méi)有獲得商標(biāo)的事件為C，則P（C）=P（A·B）=P（A）·P（B）。又設(shè)甲、乙兩選手中至少有一位獲得1個(gè)或1個(gè)以上的商標(biāo)的事件為D。P（D）=1- P（C）=1- 故有99%的把握作出如此斷定。說(shuō)明：本題中關(guān)鍵要熟悉事件D對(duì)立事件是C，則P（D）=1-P（C），主要以“-”號(hào)連接，本題也可由1-進(jìn)行比較。三、從“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90、0.95和0.95，各取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。

17、（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）。解：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件是合格產(chǎn)品的事件分別為A、B、C。（I）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，因?yàn)锳、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為（II）至少有兩件不合格的概率答：（略）。說(shuō)明：本題重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件積的概率，主要以“×”連接P（A）、P（B）、P（C）以及P、P、P。另外（II）也可由P=1-P（A·B·C）-0.176=1-P（A）·P（B）·P（C）-0.176得出。四、從“或”、“且”的角度看概率例5甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)

18、學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或被乙解出的概率為0.92。（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B。設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙為P2則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1-P0.6+P2-0.6P2=0.92.則0.4P2=0.32 即P2=0.8（5分）（2）的概率分布列：012P0.080.440.48E=0×0.08 + 1×0.44+2×0.48=1.4D=（0-1.4）2×0.08 + (1-1.4)2×0.44 +

19、(2-1.4)2×0.48=0.4或利用D=E（2）-（E）2 = 2.36-1.96=0.4另外如將此題中的“或”改為“且”，處理方法怎樣，請(qǐng)同學(xué)思考。相關(guān)練習(xí)1.（山東卷7）在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1，2，3，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為B（A）（B）（C）（D）2.（福建卷5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是BA.B. C.D.3.（遼寧卷7）4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ C ）AB

20、CD4.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率解：本小題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分12分（）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由題意得，于是或（舍去），故所以乙投球的命中率為（）解法一：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概

21、率為解法二：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率為（）由題設(shè)和（）知，甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為，所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為5.某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立），1）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；2）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？解： 1）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率，即。2）至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為，因此，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于。6.甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的

22、題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)。甲、乙二人依次各抽一題。 （I）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。 或 ，所求概率為。關(guān)于統(tǒng)計(jì)問(wèn)題1.（天津卷11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超

23、過(guò)45歲的有80人為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的職工_人102.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車(chē)，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車(chē)依次應(yīng)抽取_6_，_30_，_10_輛。3.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）:其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲種。4.一個(gè)工廠在若干個(gè)車(chē)間，今采用分層抽樣方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為128的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若一車(chē)間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車(chē)間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為 16 5（江蘇卷）某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則xy的值為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路】本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法【正確解答】由題意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出，設(shè)x=10+t, y=10-t, ，選D6（四川卷）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分