高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習總教案94　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、9.4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓錐曲線交點問題【例1】若曲線y2ax與直線y(a1)x1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值.【解析】聯(lián)立方程組(1)當a0時，方程組恰有一組解為(2)當a0時，消去x得y2y10，若0，即a1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蘺10，方程組恰有一組解若0，即a1，令0，即10，解得a，這時直線與曲線相切，只有一個公共點.綜上所述，a0或a1或a.【點撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù)0，即a1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證一下：當a0時，曲線y2ax，即直線y0，此時與已知直線

2、yx1 恰有交點(1,0)；當a1時，直線y1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零)；當a時直線與拋物線相切.【變式訓(xùn)練1】若直線ykx1與雙曲線x2y24有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為()A.1，1，B.(，)C.(，11，)D.(，1)，)【解析】由(1k2)x22kx50，k，結(jié)合直線過定點(0，1)，且漸近線斜率為1，可知答案為A.題型二直線與圓錐曲線的相交弦問題【例2】(2019遼寧模擬)設(shè)橢圓C：1(ab0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，2.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|A

3、B|，求橢圓C的方程. 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y10，y20.(1)直線l的方程為y(xc)，其中c.聯(lián)立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因為2，所以y12y2，即2.解得離心率e.(2)因為|AB|y2y1|，所以.由得ba，所以a，即a3，b.所以橢圓的方程為1.【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2by21與直線y1x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為.【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標

4、為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)02ax02by00ax0by00.故.題型三對稱問題 【例3】在拋物線y24x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：ykx3對稱，求k的取值范圍.【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，由題意知k0.設(shè)直線AB的方程為yxb，聯(lián)立消去x，得y2yb0，由題意有124b0，即10.(*)且y1y24k.又b.所以k(2kb).故AB的中點為E(k(2kb)，2k).因為l過E，所以2kk2(2kb)3，即b2k.代入(*)式，得2100k(k1)(k2k3)01k0，故k的取

5、值范圍為(1,0).【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點坐標滿足l的方程；(2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.【變式訓(xùn)練3】已知拋物線yx23上存在關(guān)于xy0對稱的兩點A，B，則|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【解析】設(shè)AB方程：yxb，代入yx23，得x2xb30，所以xAxB1，故AB中點為(，b).它又在xy0上，所以b1，所以|AB|3，故選C.總結(jié)提高1.本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組 通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2bxc0進行討論.這時要注意考慮a0和a0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a0，0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交