一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、課題：九年級上冊第二十三章第3節(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系科目數(shù)學(xué)教學(xué)對象九年級課時1課時提供者孫小俊單位東許九年制學(xué)校一、教學(xué)目標1、知識與技能：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù)，會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。2、過程與方法：通過韋達定理的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。3、情感態(tài)度與價值觀：通過情境教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗數(shù)學(xué)活動中充滿

2、著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學(xué)活動中的成功感，建立自信心。，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力。二、教學(xué)內(nèi)容分析一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后通過4個例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計算的知識。三、學(xué)情分析我班級學(xué)生在平時訓(xùn)練中已經(jīng)形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發(fā)揮合作的優(yōu)勢，注重課堂教學(xué)的有效性。1、授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較差，教學(xué)中應(yīng)給予充分思考的時間，謹防填塞式教學(xué)。2、本班為自己任課的班級，平時對學(xué)生比較了解

3、，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力的學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生的積極性。3、在練習(xí)題的設(shè)計上要針對學(xué)生的差異采取分層設(shè)計的方法。1）學(xué)生已學(xué)習(xí)用求根公式法解一元二次方程。2）本課的教學(xué)對象是初中三年級學(xué)生，學(xué)生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，3）在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計1、本課的教學(xué)對象是初中三年級學(xué)生，學(xué)生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，2、在教

4、學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。五、教學(xué)重點及難點1、重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。2、難點：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點。六、教學(xué)過程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖問題引探解下列方程：2x2+5x+3=03x2-2x-8=0并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表（略）請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什

5、么關(guān)系嗎？問題4.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：_。 問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 分小組討論以上的問題，并作出推理證明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根為x1= ，x2= 。則 x1+x2= + = ；x1 x2= = 這個關(guān)系是一個法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達定理。此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。探索發(fā)現(xiàn)問題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)） 二次項系數(shù)a是否為

6、零，決定著方程是否為二次方程；當a0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；當a0時，=b2可判定根的情況當a0，b20時，x1+x2= x1x2= 。 當a0，c=0時，方程必有一根為0。學(xué)生合作交流自行探討本設(shè)計采用“實踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，使學(xué)生既動手又動腦，且又動口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。嘗試發(fā)展根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _ 2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2

7、=_ 3）5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _此練習(xí)嘗試試、鞏固知識、加深理解拓展創(chuàng)新利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。 討論：解上面問題的思路是什么？x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式師生共同歸納小結(jié)本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a0時，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當a0，b2-4ac0時，x1+x2= ，x1x2= 。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與

8、系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。回顧總結(jié)七、教學(xué)評價設(shè)計本節(jié)課充分讓學(xué)生分析、觀察、提高了學(xué)生的歸納能力及推理論證的能力 八、板書設(shè)計一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2+bx+c=0（a0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。問題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當a0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；當a0時，=b2可判定根的情況；當a0，b20時，x1+x2= ，x1x2= 。 當a0，c=0時，方程必有一根為0。九、教學(xué)反思1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。2以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進行。它深化了